آموزشی.اطلاعات مفید علمی . سوال های درسی . تدریس ریاضی

صلوات

تاریخ:دوشنبه 3 تیر 1392-03:52 ب.ظ

.

لطفاً برای اطلاع از مطالب گذشته به فهرست مطالب و یا آرشیو  مطالب قبلی مراجعه نمائید




عبارت جبری- مشابه- کلاس هفتم

تاریخ:چهارشنبه 26 شهریور 1393-05:40 ب.ظ

                     اتحادهای جبری
ضرب عبارت های جبری تمرین
عبارت جبری به ازای- کلاس هفتم
ضرب عبارت های جبری- کلاس هفتم
چندجمله ای مسئله
چندجمله ای تمرین
حل معادله یا عبارت جبری  
جبر وعبارت جبری
حل معادله یا عبارت جبری

-برهان یا قضیه جبری فیثاغورث
چند جمله ای های مشابه در عبارتهای جبری ، دو یا چند جلمه ای را متشابه گوییم هر گاه قسمت حرفی آن ها یکسان باشند : مانند
  3a , ۵a

    این سه جمله مشابه    که در   x²  مشابه هستند.جمع وتفریق شدند.4x² − 5x² + x²

از سمت چپ ضریب     x²  در اولین جمله  4 وضریب   x²   دومین جمله 5- و    ضریب در سومین جمله 1+   هست.


در 3جمله زیر:

x² − 2xy + y²

ضریب  x²چه عددی است؟    1+

ضریب  xy  چه  عددی  ?   2-

ضریب   چه عددی  است؟ y²    1  

درجمله 4ab  ضریبb  می شود،   4a.وضریب   a  می شود 4b 


x(x − 1 در  این جمله ضریب     (x − 1)  هست x

جمله های مشابه را در 4 جمله زیر  پیدا کرده حل کنید:

2x + 3y + 4x − 5y

-- جمله های مشابه      = 5y- و 4x=6x            3yو2x

حاصل جمله های مشابه را در زیر مشاهده کنید.:

2x + 3y + 4x − 5y = 6x − 2y.

تمرین 1 :   6x − 4yz

a) در تمرین قبل ضریب   x     چیست  ?   6 

b)  در تمرین قبل ضریب   y     چیست  ?  4- 

c) در تمرین قبل ضریب  z     چیست  1- .

  تمرین2.   ضریب xدر تمرین های زیر چه عددی ؟

  a)   x
2
  ضریب xمساوی                              1
2

  .
  b)   3x
 4
ضریب xمساوی  
3
4
زیرا :
   3x
 4
3
4
· x   (.) علامت ضرب است.

  تمرین3.   جمله های مشابه را  محاسبه کن.? با توجه به قانون علامت ها  محاسبه کنید. به پاسخ ها توجه کن

.
     6x + 2x = 8x
    6x − 2x = 4x
 
     5x + x = 6x
    5xx = 4x
 
      4x - 5x = x-
    4x − 5x   x-
 
        درتمرین زیر توجه کنید که در بعضی حروف ضریب دیده نمی شود.  که
 در این صورت ضریب را 1+ویا1- در نظر می گیریم.
 
           5x − 3x -= 8x-
         xx -= 2x-

به حل تمرین ها توجه کنید که جمله های مشابه چه گونه محاسبه شدند؟

i)  −3x − 4 + 2x + 6  =x + 2

j)  x − 2 − 4x − 5  = −3x − 7

k)  4x + y − 2x + y = 2x + 2y

l)  3xy − 8x + 2y  = −5x + y

m)  4x² − 5x² + x² = 0 

تمرین5.   جمع جمله های مشابه.

a)   2a + 3b   این دو جمله مشابه نیستند زیرا حروف متفاوت دارند.در این صورت نه جمع ونه تفریق می شوند..درزیرجمله های مشابه  هم رنگ اند. و حل شده است.مثال:

b)   2a + 3b + 4a − 5ab  = 6a + 3b − 5ab.
    

تمرین 6.    جمله های مشابه را در هر تمرین جمع یا تفریق کنید. اول از پرانتز خارج کردیم.

     2a − 3b + c + 5a − 6b + c   = (
2a − 3b + c) +( 5a − 6b + c
 
   
  7a − 9b + 2cپاسخ=
  b)    (a + 2b + 4c − 3d) − (3a − 8b − 2c + d)
 
   = a + 2b + 4c − 3d −3a + 8b + 2cd
 
   `پاسخ= 10b - 2a + 6c − 4d
  c)    (4x − 3y) + (3y − 5x) + (5z − 4x)
 
   = 4x − 3y + 3y − 5x + 5z − 4x
 
   پاسخ= 5z - 5x
  d)    (5xy − 3x + 2y − 1) − (2xy − 7x − 8y + 6)
 
   = 5xy − 3x + 2y − 1 −2xy + 7x + 8y − 6
 
   پاسخ= 3xy + 4x + 10y − 7
  e)   (xy) − (y + xyx) − (2x − 4xy − 2y)
 
   = xyyxy + x − 2x + 4xy + 2y
 
   پاسخ= 3xy
  f)   (4x² − 7x − 3) − (x² − 4x + 1)
 
   = 4x² − 7x − 3 − x² + 4x − 1
 
   پاسخ= 3x² − 3x − 4
  g)   (6x3 + 4x² − 2x − 6) − (2x3 − 8x² + x − 2)
 
   = 6x3 + 4x² − 2x − 6 − 2x3 + 8x² − x + 2
 
   پاسخ= 4x3 + 12x² − 3x − 4
  h)   (x² + x + 1) + (2x² + 2x + 2) − (x² − x − 1)
 
   = x² + x + 1 + 2x² + 2x + 2 − x² + x + 1
 
   = 2x² + 4x + 4

تمرین 7.   5abc + 2cba.  این دو جمله مشابه هستند و با هم جمع می شوند.     

            5abc + 2cba=7abc                      ?

تمذین 8.   جمله های مشابه.را حل کنید.

   a)    4xy − 9yx  = −5xy   b)    8x − 5xy − 4x + 4yx  = 4xxy

c)   9xyz + 3yzx + 5zxy  = 17xyz

d)   3xy4xyz + 3x − 8yx + 5yzx 9x  = −5xy + xyz − 6x

تمرین 9.   جمله ها مشابه. را حل کنید..

a)   2n + 2 − n =  n + 2

b)   n − 2 − 3n + 1 =  −2n − 1

c)   2n + 4 − 2n − 2 = 2

قانون تفریق حروف ها

دقت کنی که در تفریق بای در پاسخ به علامت ها توجه شود و در پاسخ علامت عددبزرگتر انتخاب شود."

مثال.   تفریق کنید.  2x − 3  از  5x − 4

=5x − 4 − 2x + 3 =(5x − 4) − (2x − 3)
 
  = 3x − 1.

  توجه کردید که علامت منفی  بین دو پرانتز را در پرانتزدومی ضرب کردیم و   2x,+3-  شد. ,وبه ساده ترین صورت نوشتیم.

تمرین 10.   تفریق کنید. 4a − 2b  از  a + 3b.

علامت ها را تغییر می دهیم:زیرا    4a − 2b  را از  a + 3b     کم کرد پس علامت منفی در   4a − 2b  ضرب می شود.

a + 3b − 4a + 2b = −3a + 5b.

تمرین 11.  تفریق کن  x² − 5x + 7  از   3x² − 8x − 2

به علامت ها توجه کنید.
3x² − 8x − 2 x² + 5x − 7
 
2x² − 3x − 9.




میلاد حضرت امام رضا(ع)

تاریخ:شنبه 15 شهریور 1393-02:54 ب.ظ




قانونها-درریاضی

تاریخ:سه شنبه 11 شهریور 1393-01:47 ب.ظ


درریاضی  فرمولها، وعللمتهایی به شکلهای مختلف، وبا مفاهیم مختلف ،کاربرد دارد.  4=2+2
   a):                                    a-b=a+(-b
عدد×1=خودعدد

            
1×    a =  
a
 
  (1 این تساوی ها را در ریاضی کاربرد فراوان دارد.   ضرب علامتها ، و)  
 
 ضرب عدددرمنفی1                 (1-)     a   =  a-
 
 قرینه قرینه عددصحیح برابر خودان عدد.
                    (a-)-               =  a+  
 
 
                         a + (−b   =  ab.  
 
 
                  a − (−b   =  a + b.  
 
 

جابه جایی در تساوی ها:

اگر  a  =  b,  پس  :  b  =  a.
تفریق درعدد از راه   جمع با قرینه
                                                      p+(-q                                        p     =  pq
 
 



اگر  
  15  =  2x + 7,
 
  میتوانید تساوی را این گونه هم بنویسید.
 
  2x + 7  =  15.
قوانین زیر در ریاضی کاربرد زیاد دارد.
   a) ضرب در1 یا
1· x  =  x x = 1· x   b)   (1-)x  =  −x x =-x (−1
 
   c) جمع با صفر یا 1
x + 0  =  x x = x + 0   d)   10  =  3x + 1 3x + 1 = 10
   e)ساده شدن 
x
y
 =  ax
ay
  ax
ay
 =  x
y
  f)   x + (−y) = xy   xy = x + (−y
   g) جمع کسرها      
a
2
 +   b
2
  =   a + b
   2
  a + b
   2
 =  a
2
 +  b
2
جابه جایی درجمع در دو جمله یا چند جمله:

a + b   =  b + a

a + b − c + d  =  b + d + a − c  =  −c + a + d + b.

                                       pq   =   p + (−q).
 
          بنابراین:
 
                                          q −   p   =  q p-

*

جابه جایی در ضرب دوعدد :

ab  =  ba        2×4=4×2

ویا ضرب چند عدد

abcd  = dbac  = cdba.              1×2×3×4=4×3×2×1=2×3×4×1

جابه جایی در ضرب مقسوم علیه های یک عدد.

(abc)d = b(dac) = (ca)(db).


مثال 2.   ضرب کنید.        2x  · 3y  · 5z.

نتیجه .  عددهارا درهم ضرب کنیدو حروف را کنارهم سمت راس عدد بنویسید. .

2x· 3y· 5z = 2· 3· 5xyz = 30xyz.

تمرین2.   ضرب کنید..   مقسوم علیه های یک عدد را داریم درهم ضرب کنید.تا عدداصلی حاصل شود.

   a)   3x  · 5y  = 15xy   b)   7p  · 6q = 42pq   c)   3a  · 4b · 5c = 60abc

تمرین 3.   جابه جایی درجمع یا ضرب پرانتزها:


   c)   (x − 2) + (x + 1) = (x + 1) + (x − 2)
 
   d)   (x − 2)(x + 1) = (x + 1)(x − 2)

قانون صفر

جمع  عددبا صفر  بی اثر می گوییم.

a + 0 = 0 + a = a

جمع صفربا معکوس عدد هم =خود معکوس

tدرتمرین     4+5 زیر : اگر یکی از دوجمله رابا قرینه اش جمع کنیم صفر می شود و حاصل ما مساوی  عدد دیگر است:

5 + 4 + (4-)  =  5 + 0  =  5.

جمع هر عدد با قرینه اش =صفر:

a + (−a)  =  (−a) + a   =  0

صفررا در تمرینها ی یا معادله های زیر بررسی کنید.

   a)   xyz + 0 = xyz   b)   0 + (q) = (−q   c)   ¼ - )+ 0 = ¼ -
 
   d)   ½ + (½ -) = 0   e)   pqr - pqr = 0   f)   x + abcabc = x

 g)                      sin x + cos x + (−cos x) = sin x


   a)   pq + (−pq) = 0   b)   z  + (−z) = 0   c)   &2$ - &2$ = 0
 
 جمع صفربا عددتوان   
d:   x 1/2+ 0 =x ½x     0 + f:  -qr = −qr   f)   0+e:     -π   = −π

 g)                    tan x + cot x + (−cot x) = tan x.

مادوقانون در تساوی ها داریم:
قانون
1.
  
اگر  
    a  =  b
  پس:  
 
  a + c  =  b + c

یعنی به طرفین یک مقدارجمع کنید  یا کم کنید باز مساوی هستند.: ازاین راه برای حل معادله کاربرد دارد.

زیرا برای ساده کردن معادله ها وحذف اعدا دوقتی طرفین تساوی را با قرینه عدد را بدهیم صفر می شود. حاصل=صفر است  0=2+2-

   مثال 3.    اگر داشته باشیم:    
  x − 2  =  6,
 
برای محاسبه    x یک مقدار مساوی با  طرفین
جمع کنیم
                                                                  2+  2-  x  =  6 + 2
 دراینجا با 2+ جمع کنید.
   x 8

-- در تمرین زیر از طرفین  2-  تفریق  کنید:

   مثال 4.    اگر داشته باشیم:    
                    
x + 2  =  6,
 
محاسبه  x    
                                       2-  2+  x  =2-
6
                    
  x 4


       تمرین     =برای محاسبه    x یک مقدار مساوی با  طرفین کم یا زیاد کنید.

   a)    اگرداشته باشیم:     b) اگرداشته باشیم:
 
    x − 1  =  5,     x + 1  =  5,
طرفین رابا 1+ جمع کنید.
  
  1+x − 1 = 1+5,
       
 ازطرفین 1- کم کنید
  1-x + 1 =1-
5,

                          
                                         x  =  6.                                         x  =  4.
 
  برای حل معادله به طرفین عددمناسب اضافه کنید.. ازطرفین عددمناسب  کم کنید.
 
   c)    اگرداشته باشیم:     d) اگرداشته باشیم:
 
    x − 4  =  6-     x + 4  =  6-
 
  x − 4+4+ =(4+ )
−6,
   
 
  4-x + 4 = (4-)−6,
                                          x  =  2-                                              x  =  10-.
 
  4تا اضافه کردیم.. منفی4 کم کردیم.
قانو ن2.   اگریعنی به طرفین دریک مقدارضرب کنید  یا تقسیم کنید باز مساوی هستند.: ازاین راه برای حل معادله کاربرد دارد.  
    a  =  b
  طرفین را در  c  ضرب کردیم.
 
 
  ca  =  cb.

مثال:

مثال:   اگر داشته باشیم:

2x  =    3

 

10x  =  ?

اگر2 را در5 ضرب کنیم، طرف دیگرتساوی=؟

                                

2x×5 5× 3

10x = 15.

مثال 6.  اگر داشته باشیم:

  x
2
 =  5          ,
 
اگر 5را 2برابرکردیم x هم 2برابر می شود.  که 2با2مخرج ساده می شود.
 
2x
2
 = 5×2          ,
 
  x  =  10

مثال 7.  اگرداشته باشیم.

  2x  =  14                  ,
 
طرفین را بر2 تقسیم می کنیم.
 
 
  x  =  7

مثال 7.

   a) اگرداشته باشیم.     b) اگرداشته باشیم.
    x  =  5               ,             x  =  7-               ,
 
طرفین را در2 ضرب کردیم

 طرفین در4 ضرب شد                   
                                2x  =  10 −                                      4x   =  28-
 
   c) اگرداشته باشیم.     d) اگرداشته باشیم.
  x
3
 =  2   x      
 4
 =  2-
 طرفین را در3 ضرب کردیم                                         طرفین را در4 ضرب کردیم
                            

 
                                 x  =  6.                                          x  =  8-.
 

.
   برای محاسبه  x:     تمرین برای تقسیم طرفین.

 
   a)    اگرداشته باشیم.     b) اگرداشته باشیم.
 
    3x  =  12,     2x  =  14-
 
طرفین را بر3 تقسیم کردیم
 طرفین را بر2 تقسیم کردیم
 
                                      x  =  4                                      x  =  7-
 
 

 
   c)    اگرداشته باشیم.     d) اگرداشته باشیم.
 
    6x  =  5,        3x  -=  6-
 
طرفین را بر6 تقسیم کردیم .  طرفین را بر3 تقسیم کردیم
 
                                    x  =  5
6
                                       x  =  2

تساوی ها ی مهم در ریاضی 

   a)   x - =  5   b)   x  -=  5-   c)   x - =  0  
 
  x  =  5-     x  =  5     x  =  0 -= 0  


   a)   اگر  x = 9,  پس  x−9-   b)   اگر  x = −9,  پس  x = 9-.
 
   c)   اگر  x = 2-, پس  x−2.   d)   اگر  x = −2  پس  -x2






توان کسری-منفی

تاریخ:دوشنبه 10 شهریور 1393-03:05 ب.ظ

قبل از مطالعه این صفحه به دنباله درس قبل روی لینک زیر کلیک کنید.

رادیکال-فرجه-توان کسری-منفی

جذر-مجذور-ریشه عدد-رادیکال -کلاس هفتم درس1

جذر - ساده کردن رادیکال -جمع وتفریق  کردن رادیکال - درس2

رادیکال-ضرب کردن رادیکال-تقسیم کردن رادیکال-گویا کردن رادیکال  - درس3

جذرتقریبی

گویا کردن- رادیکالها

  مسئله 10.   محاسبه کن                
                                             3/2-(  

16    
25

  3/2-( 16/25) = شانزده بیست وپنجم به توان منفی 3چهارم

ریشه دوم یا جذر       16/25  مساوی.    4/5(/ )  علامت خط کسری

 4(4/5)

  

                         125/16 
=     1  
 3(  4/5 )
=        1      
3( 16/25)

       

قانون توانها:10

. اگرتوان ها ی عددما u, v باشد.و   a   عددما باشد قانون توانها به این صورت است.

au   av = au + v  ضرب دو عدد با توان مختلف
 
    au
     av
= au − v  تقسیم دو عدد توان دار  ( یا به کسر)
                                یاau÷ av
ab)u )= aubu  ضرب دوعدد با توانهای مساوی
 
 au)v )= auv  ضرب توان عددداخل پرانتز در توان پشت پرانتز
 
a/b)u)
 

= au
  bu
 تقسیم دوعدد تواندار با توان مشابه یا کسری

مثال 3.   قانون توان  کسری ورادیکال.11

                        x 1/3 . x 1/2 = e: 3x.√x=    


  =  1/2+1/3 x

  =   x5/6

مهارت یابی در  ضرب عدد با توان کسری ورادیکالها

مسئله 11.    چگونگی محاسبه کردن .

 a)    2 = 1/2 4  = 1/6+1/3 4  =41/3 . 41/6
 b)   2

 = 1/3 8  =1/2-1/6  81/2
                                 81/6
 c)  
   1   
1000 = 3- 10  =  9/2-×2/3 10= 
    
9/2-(2/3 10 )

مسئله 12.   هر تمرین رادیکال را  به توان بنویس.( مهارت یابی)

 a)   x xx· x 1/2 =  x  1+1/2 =  x3/2
 b)    
            =  x2   =     x2÷x-1/3     
                             e:                  3x
            2-1/3 x 5/3  =    x  :جواب 
 c)


 

   
          جواب:       3/10- (  x+1 )=   1/5-1/2( x+1 )
 
  =    
x+1
  x+1
5    =            (c:
              



=

قانون ضرب رادیکالها:,13

a   b    = ab    

-- تبدیل قانون تبدیل رادیکال به توان کسری:


a   b   =     a1/2×b1/2    =(ab)1/2          = ab     

قانون توانها  14:  اگر     x  به توان کسری      m/n   مساوی   b     باشد :

          x m/n   =b

وما بخواهیم  b    رابا  توان کسری بنویسیم که مساوی  x   باشد باید توان   b    معکوس توان   x   باشد.

چرا؟:هرکسری ×معکوس خودش=1

               x m/n )n/m  =b  n/m  )         
,
       x = (x m/n )n/m  =x 1 

 مثال:    x را  محاسبه کنید اگر:      8 =  x3/2
باتوجه به قانون باید 8رابه توان معکوس        xبنویسیم:           
  8 =  x3/2


                          82/3 x                     




باتوجه به مثال بالا  مقدار  x را محاسبه کن.

  a)   x3/2 = 8     b)   x5/3  =  32-  
 
  4  =  82/3
= x   8-  =  3/5(32-) = x
  c)   3/4(x − 1) = 64 d)   x7  =  5
 
              644/3  =    x − 1         x  =  5 7
                                                                           
                   x  =  256 + 1 = 257  
  e)   x1/5  =    7   e:              5  =  3x4


 
             x  =  75             125 4    =   3/4  5   =     x  
   




رادیکال-فرجه-توان کسری-منفی

تاریخ:شنبه 8 شهریور 1393-01:58 ب.ظ


جذرتقریبی

گویا کردن- رادیکالها

رادیکال-ضرب-تقسیم-گویا کردن رادیکالدرس3

جذر - ساده کردن رادیکال -جمع وتفریق درس2

جذر-مجذور-ریشه عدد-رادیکال -کلاس هفتم درس1

دنباله درس گویا کردن رادیکال

به تمرینهای زیر توجه کنید. که چگونه می خوانیم  اگر به تون داریم وریشه عددی را بخواهیم  چه کنیم؟

ریشه عددرا بخواهیم ،عددرا زیر رادیکال نوشته وتوان  یا ریشه مورد نظر  را بالای رادیکال(فرجه) مینویسیم.

مثال,                              8  = 23        می خوانیم ریشه سوم8  مساوی2  :    2   =  83

                     8-  =  3(2-)    زیرا   می خوانیم ریشه سوم منفی8مساوی2-    :    2-   =  8-3

          64  =  6(2)    زیرا   می خوانیم ریشه ششم 64   مساوی 2  :               2   =  646      
(/ )  علامت خط کسری       
   
            81/16  = 4 (3/2)    زیرا   ریشه چهارم 81 شانزدهم  مساوی دوسوم         3/2   =  81/164

 ریشه پنجم 32  مساوی2                                                  32  =  5(2)    زیرا           2   =  325

   منظورما :    a = bn    یعنی b =n a

 برابربا      n a )n   = a     

بخوانید: n a  "ریشه    n ام   a "

مثال:درمثال زیر ببینید که توان پشت پرانتز  عددما  با توان فرجه ساده شده است.

  مثال 1.ریشه هشتم11 به توان 8
8( 118)   = 11

 
   325 = 2,   زیرا 25 = 32.
 
      100004 = 10,   زیرا 104 = 10,000.
 
    =  32-5 = 2-,   زیرا 5(2-) = 32-

اگر فرجه رادیکال عددی زوج باشد وعددیا عبارت زیر رادیکال همواره منفی باشد. در این صورت عددیا عبارت رادیکالی در مجموعه عددهای حقیقی بی معنی است. 

تمرین1.   به تساوی ها توجه کنید.

   a)    273 =   b)  
 27-3= 3-
  c)  
 164=
   d)  
 16-4= عددمنفی ریشه زوج ندارد.
  e)  
 125-3= 5-
   f)  
 16=  1    g)  
 1-6= ریشه زوج ندارد..   h)  
 1-7= 1-
   مسئله 2.   اثبات:  
                         a
 2x;          ( 3ax    


rational exponents

  قانون:توان کسری(/ )  علامت خط کسری     رادیکال2= 2به توان  یک دوم                          2 √= 21/2              

     2 √× 2 √=2          برابر با      21/2

  قانون: دقت کنید که       a1/2   = رادیکالa                

                                             2 (  a=( a     یا برابربا                  a1/2    =   a

 قانون:           a1/2  )2  =  a1=a=a1/2

قانون:  اگررادیکال عدد را به توان  کسرنوشتیم ،عددزیررادیکا ل به توان کسر می نویسیم   ، که مخرج کسر همان توان فرجه است  .وصورت  کسر همان توان عددزیر رادیکال   است.      

                      1/3 8   =    83               یا         n a    = a 1/n 


یا       rational exponents  =  rational exponents

  مثال 2. 81/3  یعنی 8به توان یک سوم یاریشه سوم 8, مساوی 2.
 
                  =
811/4  یعنی81به توان یک چهارم یاریشه چهارم1 8, مساوی  3.
 
                    =
1/5(32-)  یعنی( 32- ) به توان  یک پنجم یاریشه پنجم 32-, مساوی 2-.

               83     =81/3

مسئله 3.   محاسبه کنید وتساوی هریک را بنویسید..

   a)   91/2 =  3   b)   161/2  =  4   c)   251/2 =  5
 
   d)   271/3=  3   e)   1251/3  =  5   f)   1/3(125-)rational exponents  =  5-
 
   g)   811/4  =  3   h)   1/5(243-)  =  3-   i)   1281/7  =  2
 
   j)   16.25  =  161/4 = 2

مسئله 4.   عددبه توان های کسری را به صورت رادیکال بنویسید.

   
   e:  x=x 1/4    b)   a1/3    =3a  

  c)   32-5  = 1/5(32-)

توجه داشته باشید که      a2/3   را می خوانیم  a  به توان 2سوم

 قانون: توان پشت پرانتز × توان عدد داخل پرانتز             e:  (a1/3 )2   =(a )1/3  = a2/3

قانون توان کسری ورادیکال:  مخرج توان کسری همان توان فرجه است.   وصورت توان کسری همان توان عددزیر رادیکال است.
                 r:                           = ( 3a) 2   =a 2/3    ) = 3a2                      


مثال:                                                                                       4 =         2 2   =   2(    81/3   =  82/3

زیرا              a) :                      =8 2/3    ) = 382   =       3(23)2        =     2 2  =4                            


به طور عمومی:                                       =         n am   =   ( n a )m = a m/n

مسئله 5.   تساوی هریک از توان های کسری را بنویسید..(/ )  علامت خط کسری

   a)   272/3  =  2(1/3 27 ) = 32 = 9   b)   43/23(41/2) = 23 = 8
 
   c)   324/54(1/5 32) = 24 = 16   d)   3/5(32-)  =  3(2-)= 8-
 
   e)   815/45(811/4) = 35 = 243   f)   4/3(125-)  =  4(5-) = 625
 
   g)   95/2  =  35 = 243   h)   5/3(8-)  = 5 (2-) = 32-

مسئله 6.   تساوی هریک از رادیکالهارا به توان کسری بنویسید..

   a)        e:  x=x 1/2            b)   e:  3x=x 1/3   c)     e:  4x5=x 5/4  
 
   d)   e:  5x4=x 4/5   e)   e:  x5=x 5/2  


f)   nam   =    a m/n

توان منفی: یک عددبا توان منفی را می توان با توان مثبت در مخرج  کسر با صورت 1 نوشت.


a−v  =    1 
av

a−v را به صورت  avدرمخرج کسربا صورت 1 نوشتیم. 

بنابراین عددبا توان  کسر منفی را میتوان  به صورت رادیکال در مخرج کسری با صورت 1 نوشت.

 1 
a
=  1 
a1/2
= a-1/2

تمرین 7.   عددها با توان منفی یا کسر منفی را به صورت تساوی  یک کسر دارای رادیکال بنویسید..

   a)     1  
53
  =    1 
51/3
  =  1/3- 5      b)     1  
95
  = 1/5-
9
 
   c)     1  
543
  =    1 
84/3
  =      4/3-
8      d)     1  
nam
  =   a -m/n

lمسئله 8.   توان کسری را به صورت رادیکال بنویسید..

 a)   a1/2 = a   b)  
a-3/5=   1  
n5a3
 
 c)   a-1/3 = 1        
n3a
  d)  
a-4/5= 1        
n5a4

نکته ها:   اگرما عددتوان دار      24  - را داشته باشیم فقط 2به توان4 می رسد.    16- =      24  -       ومنفی دراخر کنار پاسخ قرارمی گیرد.

اما دراین تمرین           4 (2- )  هردوعددوعلامت به توان می رسند.             16+ =  4 (2- )         دقت کنید به پاسخ

توجه کنید:   به دوتمرین زیر :

8-2/3 یعنی منفی8به توان 2سوم=       82/3

 الف)           4 -=   22 -    =  82/3

ب)          4 +=   2(2-)    = 2/3( 8-)    


مسئله 9.   تساویها را  دقت کنید..

   a)   9−2   =    1 
92
  =    1 
81
  b)   91/2   =   3   c)   9-1/2   =   1
3
   d)   91/2-   =   3-   e)        92 -  =   81-   f)   2(9-)   =   81
 
   g)           2-
9 -=  
 1 -
81
  h)   2-(9-)   =    1 
81
  i)   272/3-   =   9-
  j)   2/3(27-)   =   9   k)   27-2/3   =   1
9
  l) -2/3
(27-)   =   1
9
دنباله همین درس بعدی را ببینید.






گویا کردن -رادیکال ها 2

تاریخ:جمعه 7 شهریور 1393-08:02 ب.ظ

جذرتقریبی

گویا کردن- رادیکالها

رادیکال-ضرب-تقسیم-گویا کردن رادیکال درس3

جذر - ساده کردن رادیکال -جمع وتفریق درس2

جذر-مجذور-ریشه عدد-رادیکال -کلاس هفتم درس1

دنباله درس گویا کردن رادیکال
قتی دورادیکال درهم ضرب شدند، رادیکال ها ناپدید می شوند. به این صورت  که     2 √× 2 √=2
نکته=برای حل این تمرین ها باید مخرج را گویا کنیم در جمله ایی ضرب کنیم که رادیکال مخرج ساده شود  وهمان جمله که در مخرج ضرب شده در صورت هم ضرب می شود.مخرج رادر جفت خودش × کنید ولی با علامت مخالف. تا ساده شود.  مثال:از اتحادها  به خصوص دراینجا مزدوج کمک می گیریم و

مثال 5.   ساده کنید: 
             _1_                 
   1     + 
   6          5
مخرج ها کسری هستند(صورت 1مخرج  6  )+(صورت 1ومخرج 5)6 √/1+5√/1
 راه حل.
    _1_         
5√+ 6      = 
  6 5
     _1_         
1    +    1
6
        5
  =  
 دوکسر در مخرج را ،مخرج مشترک می گیریم.
 
 =    _  6 5    
5√+ 6
 دور در دور ،نزدیک در نزدیک کردیم شد
 
 = 6 5            
      ( 5√+6)
 گویا می کنیم باکمک اتحاد مزدوج ضرب کنند.,
 
 ( 6√5-56)=( 6 5 ) ( 5√-6)                     
     ( 5√-6) ( 5√+6)
 رادیکال مخرج رفت..
                                                                            6-5=1
  مسئله 9.  (/)  علامت خط کسری است.  ساده کنید. 
     _1_         
  1     ـ  
3
         2
  
=      _1_         
2√- 3         
  3 2
  دو کسر در مخرج را مخرج مشترک گرفتیم
 
  =   3 2    
2√- 3
  دور در دور ،نزدیک در نزدیک کردیم.
 
  = ( 3 2 ) ( 2√+3)                     
     ( 2√+3) ( 2√-3)
  1 = 2 − 3
  گویا می کنیم ,
 
  =  23 + 3 2=جواب  

مسئله 10.   تمرین زیر را حل کنید.وقدم به قدم بررسی کنید.

  1 _     ـ              1          

_x+h             x              
       h                   دو کسر در صورت را مخرج مشترک بگیرید.
              


به صورت زیر قدم به قدم انجام شده.


  =   1
h
×   

          x - x+h          

       (  x+h ) ( x)
صورت و مخرج کسررا در x + x+h ضرب  می کنیم تا رادیکال صورت ناپدید شود. 
    =   1
h
× 
_____xx + h_____        
x + x+h  )(  x+h ) ( x)
 
 ماhوh را ساده کرده   =   1
h
× 
____xx h_____
xx+h +x (x + h  
 
 جواب:
  =  


 
_______1-_______
                                                           xx+h +x (x + h
    =    





گویا کردن -رادیکال ها

تاریخ:جمعه 7 شهریور 1393-05:56 ب.ظ


جذر-مجذور-ریشه عدد-رادیکال -کلاس هفتم درس1

جذر - ساده کردن رادیکال -جمع وتفریق درس2

رادیکال-ضرب-تقسیم-گویا کردن رادیکال3

ادامه درس3
وقتی دورادیکال درهم ضرب شدند، رادیکال ها ناپدید می شوند. به این صورت  که
    
2 √× 2 √=2
نکته=برای حل این تمرین ها باید مخرج را گویا کنیم در جمله ایی ضرب کنیم که رادیکال مخرج ساده شود  وهمان جمله که در مخرج ضرب شده در صورت هم ضرب می شود.مخرج رادر جفت خودش × کنید ولی با علامت مخالف. تا ساده شود.  مثال:از اتحادها  به خصوص دراینجا مزدوج کمک می گیریم و

تمرین 8.   بایدبرای گویا کردن  تمرین زیرصورت ومخرج را در        ( 3√-5  ضرب کنید. .

  a)        1        
( 3√+5 

 3√-5√)       1  
    2
  =   3√-5
  5 − 3
  =   3√-5
     3-5
  =           1 ×( 3√-5 )                
              ( 3√-5 ( 3√+5 )


تمرین 9.   بایدبرای گویا کردن  تمرین زیرصورت ومخرج را در       ( 5√-3)  ضرب کنید. .

  
   

  

    
  =           2                         
               ( 5√+3) 

 5√-3)     1  
    2
  =  5√-3)2
  4
  ساده=  ( 5√-3)×2
     9-5
  =           2× ( 5√-3)                 
              ( 5√-3)  ( 5√+3) 
  c)         _7_    
35√3
  =   بایدبرای گویا کردن   این تمرین صورت ومخرج را در       ( 3√-53)  ضرب کنید. .
    
 3√-5

  =     7×  ( 3√-53)
    42
  =     7×     ( 3√-53)
      5-3×9
  =      7×     ( 3√-53)           
     ( 3√-53)  ( 3√+53)
  d) بایدبرای گویا کردن   این تمرین صورت ومخرج را در       ( 1+ 2)  ضرب کنید.
.
 
1 +2
  1- 2
  =  
       جواب:
22 + 3   =   2 (1+ 2)
  1 − 2
  =       ( 1+ 2) (1+2
( 1+ 2) ( 1- 2)
 
 
 تمرین 10-گویا کنید.

   

                                      1- x+1
          =                         1 +e)          x+1


  =                                            
     
          
 
                
  =   1- x+1-1) (x+1  )
                                  1- x+1+1) (x+1  )
    =   2(1- x+1√  )  
    1-  1 + x

 
    =   x+2 - 2√x+1     
          x
 
 
درس بعدی گویا کردن




توان علمی پاسخ به سوال

تاریخ:دوشنبه 3 شهریور 1393-06:37 ب.ظ

سوال :
تساوی زیر را به صورت توان علمی پاسخ دهید:
                  5- 10× 0.264 + 6- 10 ×4.28   - 7- 10 ×31.2


توان علمی همه  را با  7-  10    میرسانیم .کمبود هارا با حرکت  ممیز به سمت راست به توان اضافه می کنیم.
         
                       7- 10× 26.4 + 7- 10 ×42.8   - 7- 10 × 31.2
حالا از 7- 10  فاکتور می گیریم.
                
  = (26.4   +  42.8 - 31.2)  7- 10
 و پاسخ می شود
14.8  ×  7-  10 


رادیکال-ضرب کردن رادیکال -تقسیم کردن رادیکال -گویا کردن رادیکال

تاریخ:یکشنبه 2 شهریور 1393-04:42 ب.ظ

جذر-مجذور-ریشه عدد-رادیکال -کلاس هفتم درس2

جذر - ساده کردن رادیکال -جمع وتفریق درس2

درس 3 گویا کردن رادیکالها

قانون : جذرعدد× جذرعدد=جذرحاصل ضرب (درضرب دورادیکال عددهای زیر رادیکال درهم ضرب می شوند.

a   b    = ab     

تمرین 1.   ضزب رادیکالها.(  نقطه( .) بین دو رادیکال علامت×

   a)  
  15   =    .      
    42   6=    3×   2  
 
   c)    6= 36   =    .   18       = 6     20 =  5×4 = 2( 2 )  
   e)    =  a2 - b2 = a +b    .a - b      

تمرین- اول ساده کنید وبه ضرب کنید.:

                                                                                   =       7x9  .   14x5 

    7x7 =    :  پاسخ = x):   7.2.7x14          

تمرین2- اول ساده کنید وبه ضرب کنید.:

                                                                              =(    6 +     )(  -   )

نتیجه.   :از اتحاد مزدوج کمک می گیریم

                        4 =  6-2 =2( )-2( )

تمرین3- اول ساده کنید وبه ضرب کنید.درحل تمرین 3 از اتحاد مزدوج کمک می گیریم.

a)                                     =(   5 + 3       )( - 3   )      =  5 − 3 = 2

b)                                           =( 2  3 + 6       )( 2√ - 6   )   =  4· 3 − 6 = 12 − 6 = 6

c)                                     =(  1+ x +1   )( 1-√ x+1   )      =  1 − (x + 1)  =  1 − x − 1  = x

d)         (  a   b    )   a   b   )=       =  ab

تمرین4- اول ساده کنید وبه ضرب کنید.:

                                                 (  1-    a   )                      (  2   + x+ 1 -        )(x
`پاسخ = x − 1)2
 
 

تمرین5- اول ساده کنید وبه ضرب کنید.:




 
        x+ 3 + 3   )( x+ 3 + 3 =
)
 
=x2 + 6x + 9 − 3
= (x + 3)2 − 3
 
 پاسخ:=x2 + 6x + 6


تقسیم رادیکالها: درتقسیم رادیکال ها    b مخالف صفر باشد. هردو عدد a  و    b زیر یک رادیکال قرار می گیرد. برهم تقسیم می شوند..




a/b =a
  b
مثال:
20/2 =20
  2
 
=
10 =

تمرین6- اول ساده کنید وبه ضرب کنید.:

   a)  

 
2 =6
  3
 

  b) 
 
10 6
  2 √8
 


  =   5   3
4

 
 
a a3
  a
  =  
a3 /a=   a· a  =a2


اتحاد مزدوج به صورت زوج مشابه امابین دوجمله یک مثبت ددیگری منفی است.  شبیه زیر :

f :          (    ab  ),(  a )                                           (   a(اتحاد مزدوج هستند.

وقتی دورادیکال درهم ضرب شدند، رادیکال ها ناپدید می شوند. به این صورت  که     2 √× 2 √=2                    پس: و6×6=36
f :          (    6 + 2  ),(  6 )   =  36    - 2  =  34                          مراحل را بررسی کن.   (   a

تمرین 7.   برای هر تمرین زیر جفت دیگر پرانتز را بنویسیدتا  به صورت اتحاد مزدوج در آید سپس  `پاسخ ضرب  را کنید.  

a)         (    ab  ),(  a )                             = a2 − b

b)    (   2+ 3  ),23 )  = 4 − 3 = 1

  c) 
y:          (   4- 3  ),4 +3 )    = 1 6 −3 = 13

d)   (   4- √5  ),4 +5 ) =   16 − 5 = 11

تمرین: برای حل این تمرین  باید مخرج را گویا کنیم در جمله ایی ضرب کنیم که رادیکال مخرج ساده شود  وهمان جمله که در مخرج ضرب شده در صورت هم ضرب می شود.مخرج رادر جفت خودش × کنید ولی با علامت مخالف. تا ساده شود.  مثال:از اتحادها کمک می گیریم و 

    1    
(2+ 3 )

نتیجه.   بایدبرای گویا کردن صورت ومخرج را در       (2- 3 )  ضرب کنید. .

   (2+ 3 )  
9-2=7
=         (2- 3 )
 (2- 3 ) (2+ 3 )
=     3   
(2+ 3 )

بایدبرای گویا کردن  تمرین زیرصورت ومخرج را در       ( 3-2√)  ضرب کنید. .

  مثال4.
 32 - 33  
3-4
=        ( 3-2√) 3
 ( 3-2) ( 3+2
=     3 
( 3+2 )
  جواب:     = 3 − 32   =  32 -3                                                                                                          
                                              1-   
                                                             
درس بعدی رادیکالها ادامه.......

گویا کردن -رادیکال ها




جذر - ساده کردن رادیکال -جمع وتفریق رادیکال

تاریخ:یکشنبه 2 شهریور 1393-02:09 ب.ظ

جذر-مجذور-ریشه عدد-رادیکال -کلاس هفتم درس1

جذر - ساده کردن رادیکال -جمع وتفریق درس2

ساده کردن رادیکال

تمرین 1.   برای ساده کردن رادیکال در درس  یک توضیح دادیم که به مقسوم علیه های عدداحتیاج داریم. ?از راه تجزیه درختی یا تجزیه خطی

به سوال زیر توجه کنید

   تمرین 2.   کدام درست است?    4√7   7×4 √  یا      7  √2  =    7×4 √   

   

می دانیم که البته چون 4مجذوراست از رادیکال خارج می شود.پس      √2   درست است.اما جذر7 به همان صورت نوشته می شود. چون جذر  کامل ندارد.

تمرین 3.   رادیکالهارا ساده کنید..  دقت کنید که هرعددرا در صورت امکان به صورت حاصل ضرب مجذور درعدد یا هرراهی که بتوان ساده کرد.    مجذور مثل:  4, 9, 16, 25, وادامه...

جذر28=            7   2=    .   4 7×4    = 28 

a)   جذر50  =   2   5=    .   25  2×25    = 50 

b) جذر 45 =    5   3=    .   5×9    = 45 

c)  جذر98= 2   7=    .   49  2×49    = 98 

d)   جذر48= 3   4    3×2×2×2×2    = 48  √   خلاصه کردیم.

e)    جذر300= 3   10    3×100    = 300 

f)  جذر150=  6   5=    6×25    =  150

g)  جذر80= 5   4   5×16    =  80

رادیکال کسری را ساده کنید.

تمرین 4.   به ساده ترین صورت رادیکال های کسری را بنویسید..

  a)        
20
   2
= 4×5
   2
= 5 2
  2
= 5 √ساده شد 2بر2
  b)   
72
   6
=2×36
   6
=2 6
  6
=5 √ساده شد 6بر6
c) 22
   2
= این رادیکال ساده نمی شودزیرا 22 از ضرب2×11 هست که هیچکدام مجذور نیستند.

       جمع وتفریق :رادیکال هارا ساده کنید.

  باتوجه به قانون علامتهای وجمع وتفریق عددهای صحیح ،رادیکالهاییکه جذ ر ها مساوی دارند یعنی عددزیر رادیکال وفرجه رادیکال(عددبالای رادیکال)دارند را انتخاب کرده وعددهای صحیح سمت چپ رادیکالهای مشابه را جمع یا تفریق می کنیم ( باتوجه به قانون عددهای صحیح

                                            جمله های مشابه هم رنگ هستند.

 7+ √8 + √4- = 7+   3 √2+   3 √6 2 5 -


شرح موضوع:توجه کنید که 3 √2و   3 √ 6 مشابه هتند که فقط عددهای بیرون رادیکال
یعنی6و2 جمع شدندوجذر3 هم  همان طورکنار 8 می نویسیم.   3 √8

وبرای 2 5 - √ 1توجه کنید که  را   یک رادیکال 2 می خوانیم   1    ولی عددیک را نمی گذاریم مثل    
√ 5- و1مساوی4 که پاسخ ما    √4-     شد. در آخرعدد7 را  درکنار پاسخ می نویسیم.زیرا مشابه ندارد.

تمرین 5.   اول رادیکالهارا  ساده کنید به  جمع وتفریق  رادیکالها.

a)    ساده کن بعد جمع یا تفریق کن           √5 =    2 √2+   2 √3 8   - 18 

  b) ساده کن بعد جمع یا تفریق کن   = 49×3 √225×3 √4+ 3147 2- 75  √4
 
  =   33 √2×7- √5×4 
 نکته:جذر 25یعنی 5 از رادیکال خارخ شده درعدد4 ضرب می شود.
همینطو جذر49 در عددپشت رادیکال ضرب شده
                     جواب:         3√7 =  31+  3 14- 20
 
 تمرین 2 ساده کن بعدجمع وتفریق کن


=16×7  2- 22×4 7×4 √3 1122+  88 - 28 √3
 
  √ 4×2- 22 2 + 7 √2×3                               

  =     8- 22 2 + 7 6  
  22 2 +  7 √2-

 تمرین 3 ساده کن بعدجمع وتفریق کن
   6×4 6×9 √+3   24 √+ 54√+3

=
6 2+  6 √3+3
 
=6 26 3+3
  =   6 3+5
 تمرین 4 ساده کن بعدجمع وتفریق کن
 
 2×64 2×9 √-1   128 √+ 18√-1
= 2 √82 √ 1-3

= 2 8 +  2 √ 1-3
   2 √ 1+5

تمرین 5 ساده کن بعدجمع وتفریق کن
 
                             
2 √2 -4
    2
=2×4 √-4
   2
=8 √-4
  2
=ساده شد 2بر2

   2یاهرجمله از صورت  با مخرج ساده شد:             
                  =2 √4-2
  2
     2 √-2 =    جواب                            








         تمرین 6 ساده کن بعدجمع وتفریق کن                
  a)
   
5یاهر دو جمله از صورت با مخرج ساده شد:                2√+2 =  جواب 
2 √10+5
   5
=2×25 √+10
   5
=50 +10
  5

    
=




تمرین 7: ساده کن بعدجمع وتفریق کن

هرجمله از صورت با مخرج بر2 ساده شد:             
      جواب:            =2 √+3      =
  3
درس بعدی ضرب وتقسیم رادیکالها
6 √6+2
   6
=6×4 √+6
   6
=24 +6
  6















تجزیه عدد

تاریخ:شنبه 1 شهریور 1393-12:01 ب.ظ

این مطلب کامل  می شود.
 مقسوم علیه های یک عدد: هر عدد طبیعی بر تعدادی از عددها بخشپذیر است که مقسوم علیه های آن عدد می باشند.

 مثال: عدد 20 بر عددهای 1 , 2, 4 , 5 , 10 , 20 بخشپذیر است، پس:

 {20, 10, 5, 4, 21} = مجموعه مقسوم علیه های عدد 20


 

 عدد اول Prime number ):

هر عدد طبیعی بزرگتر از یک که غیر از خودش و یک مقسوم علیه دیگری نداشته باشد ، عدد اول نامیده می شود. 2, 3 , 5 , 7 اعداد اول کوچکتر از 10 هستند.

 5 عددی اول است و عددهای 10 , 12 , 20 عدد اول نمی باشند.

 

مقسوم علیه های اول یک عدد:

مقسوم علیه های اول یک عدد را به دو روش می توانیم بدست آوریم:

 تجزیه درختی     و تجزیه خطی

 در روش درختی  به این ادرس مراجعه کن http://fathi5.mihanblog.com/post/1011
در این روش برای تجزیه یک عدد از تقسیم آن عدد به عددهای اول کمک می گیریم.

 



تجزیه عدد 72 به عددهای اول به روش خطی
خطی سمت راست 72 به صورت عمودی رسم می کنیم وهرعددرا بر اعداداول به ترتیب تقسیم می کنیم وخارج قسمت را زیر عددمی نویسیم :
                                                               23×32=72
عدداول              عدداصلی
 2 72
 2 36
 2 18
 3 9
 3 3
  1
 
  
  

 
  
  
  
  
                    


جذر-مجذور-ریشه عدد-رادیکال -کلاس هفتم

تاریخ:شنبه 1 شهریور 1393-09:43 ق.ظ



مجذور و جذر:

مجذوراعداد 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
ریشه یا جذراعداد
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

مثال:

    5 2 =  5

"ریشه یاجذر25 =5"

به این علامت        رادیکال یا ریشه یا جذر اعداد گوییم.به   5 2 می گوییم رادیکال 25  واینطورمیخوانیم.:

ریشه دوم یا جذر عدد25 رابا     5 2     و 5 2 - نشان دادیم و  مساوی5   هست.

تنمرین1.   ریشه یا جذر عددها را محاسبه کنید.. سعی کنید  پاسخ هارا بپوشانید خودتان جواب دهید وبعد مقایسه کنید.

مجذورعددصفر همان صفراست.

   a)   64 =  8   b)   144 =  12   c)   400 =  20
 
   d)   289   =  17   e)     1   =  1   f)  کسر 81 /49  =   7
9
 

مثال 1.  مفاهیم جذر وریشه وتوان دوم ومجذور

جذر 13×13 √مساوی13

, 13× 13      یعنی مجذور13                           وعدد13 ریشه د وم  یا جذر   13× 13 هست exclamation و  132 را توان دوم یا مجذور13   گوییم.

توان دوم یا مجذور13- را با 2(13-) نمایش می دهیم.

زیشه دوم یا جذر2 a   رابه این صورت نوشتیم  :

     a=  a  .a 

( درریاضی    نقطه (.)  بین دوعدد  یعنی ضرب    a.a=   a×a

تمرین 2.   حل کنید وریشه یا جذراعدادرا حساب کنید..


   a)      28×28  √   =  28   b)       135×135  √   =  135.  
  c)      2.3.5.2.3.5  √   =  2· 3· 5 = 30.

مجذوریک عدد=عدد×خودش

 الف-ازاین مجذوراستفاده میکنیم در  این که ببینیم اعداداز ضرب چه عددهای ایجاد شده واگر مجذور کنیم چه می شود؟.و اعدادی جدید  ایجادکنیم که هریکمجذور یک عددباشند.

برای مثال:

36· 81 = 6· 6· 9· 9 = 6· 9· 6· 9 = 54· 54

ب-درتمرین زیر  از ضرب دوعدد   ببینید  جه اعدادی می سازیم که  مجذور یک عدد باشند. ازچپ به راست

a)  25· 64 = 5· 8· 5· 8 = 40· 40

b)  16· 49 = 4· 7· 4· 7 = 28· 28

c)  4· 9· 25 = 2· 3· 5· 2· 3· 5 = 30· 30

نسبتها ی دوعدد

تناسب

اعداد گویا یا اعداد منطقی در حقیقت همان کسرها (نه همه کسرها) هستند که دارای علامت‌های مثبت و منفی هستند. درواقع اعداد صحیح،طبیعی و اعداد حسابی همه زیر مجموعه‌ای از اعداد گویا هستند. اعداد گویا را می‌توان روی محور نمایش داد. مخرج تمامی اعداد طبیعی یک است و علامت آن‌ها مثبت در نتیجه همهٔ آنان کسر هستند. اعداد اعشاری را می‌توان جزو اعداد گویا به حساب آورد زیرا جزء اعداد حسابی هستند و در نتیجه آنان نیز جزء اعداد گویا به حساب می‌آیند. برای نمایش آنان روی محور می‌توان آنان را به کسر تبدیل نمود. اعداد گویا حاصل تقسیم دو عدد (تقسیم یک عدد صحیح بر یک عدد طبیعی هستند. بی نهایت کسر بین دو عدد گویا وجود دارد. اعداد گویا با علامت مثبت بزرگتر از اعداد گویا با علامت منفی هستند. اعداد گویا از منفی بی نهایت تا مثبت بی نهایت ادامه دارند. ضمنا نماد اعداد گویا Q می باشد.

اشتباه نسبتاً رایج، گاهی اعداد کسری را با اعداد گویا یکی می‌دانند. این در حالی‌ست که، اعداد گویا فقط کسرهایی هستند که از تقسیم دو عدد صحیح حاصل‌آمده باشد.

به عنوان نمونه، نسبت  3 /     کسر هست، ولی، گویا نیست، بلکه اصم یا عدد گنگ است.

 عددهای گویاهرکجانسبت a به b داریم می توانیم به شکل کسر بنویسیم 
a
b
 , 

iبه شرطی که (b ≠ 0)باشد.

تمرین 4.   کدام اعدادزیر گویا هستند؟

1     −6       ½ 3 عددمخلوط  
4
5
    −  13
 5
    0     7.38609

همه آنها گویا هستند زیرا میتوان هریک را کسری هم نوشت.

دانش آموزان ممکن است گویند آیا عددی هست که کسری باشد ولی گویا نباشد؟

بله  به طور مثال         یک عدد گویا نیست زیرا جذر 2   تا بی نهایت ادامه دارد. زیرا هیچ عدد نیست که 2 بار درخودش ضرب شود. =   شود


پاسخ  این است جذر یاریشه توان دوم 2= (2√)  = 1.4142135623730950...

واین عدد را نمیتوان کسری یا عدد صحیح یا...نوشت. پس جذر کامل ندارد.

کسر زیر جذردارد .زیرا یک کسر در خودش 2بار ضرب شده و آن را ایجاد کرده


7
5
·   7
5
  =   49
25

-- اگر با حروف نشان دهیم: دوعدد که کسری بنویسیم ودر خودش ضرب کنیم دراین صورت میتوان جذر گرفت.


m
n
·   m
n
 =  m· m
 n· n
 = 2.
سوال ریشه عددی کدام عددهای طبیعی گویا هستند.؟


جواب.   فقط ریشه یا جذرعددهای مجذور.مثل: √ و4    √و√ و...

= 1  گویا

        گویا نیست.l

       گویا نیست. و

 = 2  گویا هست.l

,  ,  ,√و گویا نیست.l

= 3  گویا

ادامه دارد...

عددهای 2و3و5و6و7و8 چون جذر ندارند ما بانام جذرهمان عدد می خوانیم. را می خوانیم جذر3

هریک از عددهارا می خوانیم .

   a)   جذر 3   b)   8 جذر 8   c)   =
   d)   4/25 √=
  
2
5
کسر  
e)     10    =جذر 10

سوال  x² = a, اگر   xیک عددحقیقی و   a  یک عددمثبت باشد, ریشه دوم عددها را نشان دهید:مثال:

  x²  =  25.
 
  حل: ریشه های دوم25
x  =  یا  5-,   همچنین2 (5-) = 25, و.
 
        ریشه دوم یا جذر25 را این طور نشان می دهیم,
  x  =  25    یا        25−.

به عبارت دیگر      5= 25  √ و      5-  = 25  √-

 دقت کنید که  منفی رادیکال25     :      25  √-  =(05+)-  =5-  

نکته :  25  -√  یا 16- ریشه دوم ندارد. زیرا مثلا عددهای 4و-4 ریشه 16- باشد.بایدتوان   42  و42-
دوم این عدد مساوی 16- شود. ولی توان دوم هرعدد حقیقی هیچگاه عددمنفی نیست.

4و4- ریشه های دوم16 هست. پس:

اعدادمنفی مثل   4-  و     25-  و...یا100-ومنفی کسر 1/9    ریشه دوم حقیقی ندارند.

ریشه های دوم 2 مساوی=√ و     2 -  که میخوانیم جذر2   که تقریبی حساب می شود.

اما          2 =     = 2 (2 -)    و    9  =  81   = 2 (9-  )     ریشه دوم دارند.  تفاوت را دقت کن.

 ولی   92ریشه دوم ندارد . زیرا  = 81 -  جذر ندارد.  

مثال:    =  5                  8-=  64  √-               جذرندارد =  36  -             6- =  36  -
  81  - =9-

  جذرریشه های دوم 10 مساوی

  x²  =  10.
 
   حل. x  = 10 
  یا  10  −.

اگر   xیک عددحقیقی و   a  یک عددمثبت باشد,

  x²  =  a,
 
  ریشه های دوم عددa :
 
  x  =     یا
 
        ماعلامت مثبت ومنفی را به صورت جفت   ± ("مثبت منفی") مینویسیم.:
 
  x  =  ±

تمرین ریشه دوم اعدادزیر کدامند؟.

   a)   x² = 9  ریشه دوم x = ±3   b)   x² = 144  ریشه دوم x = ±12
 
   c)   x² = 5  ریشه دوم    2±= x     d)   x² = 3  ریشه دوم 3± =x 
3
 
   e)   x² = ab  ریشه دوم  x=±  a  -b     
ساده کردن رادیکالها.

مثال 1.   33, برای مثال, مقسوم علیه مجذور ندارد.  از حاصل ضرب  3× 11درست شده که

اگرهیچکدام مجذور نیستند.از رادیکال خارج نمی شوند..  بنابرین

                        33   =     11  .   = 3×11    =    33√  جذر 33   به ساده ترین صورت خودش است.

مثال2-18  را   ساده ترین صورت: بهتراست که برای ساده کردن رادیکالها ببینین عدداز حاصل ضرب چه عددهای درست شده که البته اگر مجذور باشند ساده می شوند.   18=2×9     عدد9مجذوراست که جذرآن مساوی3 که از رادیکال خارج می شود وسمت چپ رادیکال 2 قرار می گیرد زیرا رادیکال2 جذر ندارد بلکه جذر تقریب دارد.که اینجا از بحث ما خارج است.

           2   3=    .   2×9    = 18 

نتیجه: برای ساده کردن رادیکال پس اول عددهارا به صورت  ضرب مقسوم علیه ها در آورید (حداکثر  در صورت امکان مقسوم علیه های مجذور)وسپس جداجدا عددهای مجذوررا جذر بگیرید.از رادیکال خارج کنید.
   جذر100 رابه ساده ترین صورت بنویس.:  
)   10=  5×2 = 25  .    4 25×4    = 100 
 مثال3- 
75  √ را به ساده ترین صورت بنویس .

راه حل3   5=    .   25  3×25    = 75     

مثال4.  جذر 42 را حساب کنید42   =    .   2×3  7×6    =42 

عدد42 حاصل ضرب6×7     هست وهیچگدام جذر کامل نیستند  درصورت ادامه  به مقسوم علیه اول یعنی  7×3×2تبدیل می شودکه از رادیکال خارج نمی شوند پس جذر42  خودجذر42 است.

مثال4جذر 180 را حساب کنید.

حل:.  میتوانیم 180  را به مقسوم علیه های اول تجزیه کنیم . ازعددهای که مجذور می شوند یا جفت هستند جذر بگیریم

180 = 36×5 =  4× 9× 5 = 2× 2× 3× 3× 5

  5 6 =    36  .   36×5  180

درس بعدی جمع وتفریق رادیکال

جذر تقریبی یک عدد

جذرتقریبی

محاسبه جذر اعداد با فرجه دلخواه

جذر چند عدد حل تمرین


   ریشه جذر- جمع وتفریق



نسبت -تناسب درصد

تاریخ:جمعه 31 مرداد 1393-01:43 ب.ظ


درصد تخفیف سود

نسبت یعنی مقایسه دوچیز
 

نسبت یک مقدار به مقدار دومی 

نسبت یک عددبه یک عدد      2به3

یعنی عدداولی بردومی تقسیم شود. شرط (مخرج صفر نباشد) .)

a/b

نسبتها اغلب به کسری نوشته شده اند.

نسبت را به کسری
 هم می نویسیم.

 

نسبت ها اغلب به صورت های زیر نوشته شده اند.
a/b   ،       a÷b    ،    a:b

 

جالب است بدانید که نسبت 1 به 5 را به صورتهای زیر می خوانیم ومی نویسیم همگی :

3/15      1/5        5÷1        1:5     20٪       0.20     1به5

 

کاربرد حروف  در نسبتها:

(مقایسه بیشترازدونسبت)             a:b:c


نسبتهای مساوی: ممکن است چند نسبت کسری باهم مساوی شوند: :   
              1/5   3/15           2/10
(مثل

 

نکته:

مابا نسبتهایی مثل
2
: 3 : 5, را  به  کار می بریم به صورت:

2x, 3x, و 5x 
یعنی به صورت عبارت جبری!

برای اطلاع به عبارت جبری کلیک کنید

جبر وعبارت جبری

برای اطلاع از حل معادله به لینک ها یزیر مراجعه کنید.

مثال:حل نسبت ها از راه معادله

معادله های جبری

مدرسه ای در سال گذشته  180 پیتزا به عنوان جایزه به بچه ها  هدیه داد.

نوع پیتزا A , B ,  C بودند که به نسبت 1و3و5  خریداری شد.

تعدادپیتزاهااز نوع  A چندتا بوده ؟

راه حل:

نسبت ها از راه معادله  5x, 3x و 1x.
کل پیتزاها= 180
5x + 3x + x = 180
9x = 180
x = 20
ازنوع
A  تعداد     5xبوده  به جای   x = 20  عددمربوط را می گذاریم
 5(20) = 100
100 =تعداد نوع A    
پاسخ

 

یک تناسب مقایسه دو نسبت است. .

یک تناسب مقایسه دو نسبتاست که با هم مساوی هستند.

  
 1

2
 = 4

8

تناسب همیشه یک کسر مساوی دارد.!

 

تناسب را به صورت های زیر هم می نویسند.:

1:2=4:8    یا

  
 1

2
 = 4

8

یا
    "
4   به  8 مثل 1 به 2".
دقت کنید که برای شناسایی تناسب بهترین راه طرفین وسطین است. 

که حاصل ضرب هردو باید یکسان باشد.
1×8= 4×  2

 

برای امتحان درستی تناسب  گفتیم .بهترین راه طرفین وسطین است. 

که حاصل ضرب هردو باید یکسان باشد.

ویا هریک از نسبت هارا ساده کنید. مثال روبرو :

2

6
 = 5

15

هردوکسر را ساده کنیم می شود مساوی  1/3

در تناسب گاهی یک قسمت  نسبت را نداریم  .

که ازراه ساده کردن یا طرفین وسطین ویا مخرج مشترک

 می توانی پیدا کنید.

x

3
 = 5

15

                
5و15 را بر5 ساده کنیم می شود1/3 یا

مخرج3را به 15 برسانید که در 5 ضرب شده پس صورت چه عددی بوده که در 5 ضرب شود می شود 5
پاسخ:  x =1

 

 نکته:توجه کنید که گاه تناسبها به راحتی ساده نمی شوند .ویا مخرج مشترک

به آسانی مقدور نیست بهتر است که :

مردم می گویند :

ضر ب دری

یا طرفین وسطین!!

قانون تناسب:
قانون:  حاصلضرب وسطین مساوی حاصل ضرب طرفین


 مثال 1:

تناسب زیر را از راه طرفین وسطین به دست آورید.:

5

2
 = 25

x


راه حل: 

روش1:

5x = (25)(2)
5x = 50
               x = 10  پاسخ

 روش 2:
به مراحل حل توجه کنید.

2×25 = 5×x
50 = 5x
10 = x پاسخ


مثال 2:

طول یک زمین 100متر وعرض75متر روی نقشه رسم کردیم. طول 5 سانتیمتر عرض چند سانتیمتر؟

5

x
 = 100

75

راه حل:
5×75 = 100×x
375 = 100x
3.75 = x پاسخ
?

 
1.

جای خالی عددمناسب بنویسید.


به درصد به کسر
a. 25% _______


b. ______ 0.19


c. 250% _______

 

d. 2.35% _______

 

e. ________ 0.0725

 

تمرین

 

2.


پیداکنید 2.5% از 600.




 

 

3.


125% از 60تومان چقدر؟




 

 

4. 12 چند درصد30 هست؟

 




 

 

5.

30 صفحه از 80 صفحه روزنامه ای اخبار ورزشی  نوشته شده است. یعنی چند درصد؟




 

 

6.

قیمت یک کالایی  480,000تومان است.به این کالا 6٪ مالیات تعلق می گیرد.  چقدر برای خرید کالا بپردازیم؟




 

 

7.

مریم دریک سرمایه گذاری 20٪ سرمایه اش را از دست داد و2میلیون تومن برایش مانده اصل سرمایه چقدر بوده ?




 

 

8.

  3سرمایه گذار در یک فروشگاه ورزشی سرمایه گذاری کردند.  اولی یک سوم ودومی یک چهارم  سرمایه گذاری کرد. حساب کنید سومی چنددرصد پرداخته؟تقریبا؟






 

9.

رضا در یک درس از20 نمره15 ودردرس دیگر از50 نمره 40 گرفته در کدام موفق تر بوده ؟چند درصد?




 

 

10.

تقریبا 47٪ از 301 خانواده روستایی کشاورز هستند وبقیه دامدارند چند خانواده دامدارند?





 

11.

مریم  سال گذشته یک دستگاه  را  350000 تومان خرید . امسال  موقع فروش 5٪ از قیمت آن کم کرد  . اگر به همین صورت باشد سال آینده چقدر خواهد فروخت؟


 





درصد- تخفیف- سود

تاریخ:پنجشنبه 30 مرداد 1393-07:02 ب.ظ

 

نسبت -تناسب درصد

 برای اطلاع بیشترروی لینکها کلیک کنید
دانش آموزان باید اول                     ضرب عدددر10 یا 100       را بدانند

همچنین 

ضرب عدد در 10 یا

 5.   درصد یعنی چه؟
 
  محاسبه مقداری از هر چندتا  100.
 

100% , منظور 100 در 100, یعنی همه آن  100% از 12 هست 12.

50% یعنی نصف  50% منظور50 ازهر 100تایعنی نصف.  50% از 12 مساوی 6.

یک درصد یعنی ازهر100تا یک واحد.

مثال 1.   ما 100 مربع کوچک داریم, و32 تا رنگ شده.

math

چندرصد رنگ شده ؟

پاسخ.   32% -- 32 تا ازهر 100تا     یا 0.32  سی ودو صدم( عددهای اعشاری گستردهجدول ارزش مکانی  )

  0.01=100÷1                 0.32=100÷32

درصد  عددی یا مساوی صد یا کمترازصد یا بیشتر از 100  می شود . 

وقتی می گوییم 200٪   یعنی برای هر100تا 200 تا یعنی 100 ما 2برابرشده  یا مقدارعددی ما 2برابرشده

مثال:

200% از 12 می شود 24

مثال 2.   100نفر دریک بررسی آماری شرکت کردند و65 نفرجواب آری دادند.

جواب.   65% -- 65 نفراز 100نفر

مثال 3.   ا 30 دانش آموز هر30 نفر سواراتوبوس شدند یعنی چند درصد؟

جواب.   100%.  100% همه افراد.

 6.   محاسبه کنید. 1% هرعدد?
 
1% از 200تومان?
 
 یک درصد 100   ؟اگر100به قسمت 100شود یکی از آنها می شود1یا   یک صدم0.01
 
  math
 
  زیرا 1% می شود یک صدم از 100%.
100%
 اما یک درصد 200تا یعنی2

مثال 4.

1% از200 تومان می شود 2تومان  2.00 2=100÷200  
 
1% از  250 تومن می شود 2.50 2.5=100÷250
 
1% از6 تومن می شود 0.06   
     0.06=100÷6
 
  یا به کسر 6/100
 
 نتیجه: یک درصد1٪ هر عدد؟    مقدار عددبر100 تقسیم کن

 هرعددبر100تقسیم شد به تعدادصفرها ممیز می گیرد. اطلاع بیشتر
1% از تومن1,200 می شود تومان12.00      بر 100تقسیم کنیم دورقم ممیز می گیرد 
12=100÷1200

مثال 5.   چقدر می شود 1%از تومن400?جواب.   1% از تومن400 می شود 4.00.  بر100 تقسیم کنید.

                                            4.00=100÷400

  چقدر می شود 2% از تومن400? 

                            تومان 8=2×4   و        4.00=100÷400

1٪شد4 پس 2٪ می شود8= 4×2

می توانید از جدول تناسب استفاده کنید.2٪ به کسری 2/100   وارد جدول کردیم.

 8 2
 400 100

چقدر می شود  3%  از400   ? 

 12 3
 400 100

  چقدر می شود 9%     از400?

 36 9
 400 100

      

مثال 6.    چقدر می شود 8%     از600تومان

         1٪      600مساوی 6       6=100÷600

      8٪مساوی         48=6×8

   یا

 48 8
 600 100

مثال 7.  چقدر می شود 2%     از325تومان? راه حل تناسب:

 6.5 2
 325 100

چقدر می شود 3%     از975تومان?  راه حل 1           29.25=3×9.25           9.75=100÷975

راه حل تناسب:

 29.25 3
 975 100

میتوانید : راه حل طرفین وسطین         29.25=100÷2925                2925=975×3

 7.  چقدر می شود 10%     از600تومان? 
                                
 60 10
 600 100
                           60=6×10         6=100÷600
  عدد 100 را 10 قسمت کن یک قسمت =10٪ با یکدهم
 
  math
 



مثال 8.

چقدر می شود 10%     از625تومان?      62.5=6.25× 10  درضرب عدددر10 یک رقم ممیز به سمت راست میرویم.     6.25  =100÷625
درتقسیم عددبر100، ماعددرا نوشتیم ودو رقم ممیز به سمت چپ می رویم.
 62.5 10
 625 100

راه طرفین وسطین                                          62.50=100÷6250                6250=625×10

20٪ از 625 چقدر؟

30٪ از 625 چقدر؟      80٪ از 625 چقدر؟         90٪ از 625 چقدر؟ 

از راه جدول حل کنید. به جای 10 ما 20 یا30 یا...................


مثال 9.   ما 20٪   از 250000 تومان  را حساب می کنیم.

 50000 20
 250000 100

1.

تا اینجا یادگرفتیم که درصد یک عدد را حساب کنیم . یعنی درصد یک عدد یعنی بر100 تقسیم کنیم ویا راه حل از راه تناسب که 100در سمت چپ جدول در پایین قرار گیرد.

یا کلا درصد را واردجدل کنیم   :20٪ از 2500
 
 20
 2500 100
مثال: درصد نوع دوم

درصد نوع : کل  را باید حساب کنیم
درصدی از عددرا دارید با ید کل عدد را حساب کنی.

یعنی مثلا 15٪ چه عددی، 30هست؟
 30
 15
 n 100


 


  n×15٪ =30


عددما n  = = جواب ("چه عددی")
30 = 15% × n
30 = 0.15 × n   
تغییر دهید  15%را به عدداعشاار0.15
0.15÷30 = n  
کل عددرابر 0.15   تقسیم کن
200 = n
n
= 200

درحقیقت  15٪عددما 30 هست .کل عدد چقدر!

3.

درصد نوع سوم:درصد را   ندارید باید حساب کنید
مقداری از کل عدد را دارید . باید ببینید آن مقدار چند ٪  هست.

مثال: 3 چند درصد 12 هست ?
3رادر 100 ضرب میکنیم بر12 تقسیم می کنیم.

راه جدول تناسب: به زبان دیگر

3دوازدهم یعنی چند درصد؟   25=12÷(3×100)

 x 3
 100 12

راه دوم:
یعنی چند درصد= x%  x
به زبان ریاضی          
x% x ×12=3

درصد را به کسری بنویسید:   3=12×  x/100
       3=100/ 12x

300=x  = 25                   12 x 

به این صورت:

 
پاسخ=25%.


 

درصد را کسری بنویسید .   100/x

 

 

 

 


حل مسئله درصد

مثال:

در یک گل فروشی 120 شاخه گل هست که 75٪ آنها قرمزاست .چند شاخه گل قرمز هست؟

 x 75
 120 100


اگر x = قرمز 75٪ از 120        
x = 0.75 × 120
x = 90

مثال:

اکبر 6تا از 92 سوال را پاسخ نداده .تقریبا چند درصد را نادرست حل کرده و چند درصد درست؟

راه جدول:          نادرست  6٪= 92÷ (6×100)  

          درست     94٪=100-6

 x  6
 100 92

راهای دیگر                              6/92 را کسری نوشته در100 ضرب کنید.

افزایش وکاهش درصد یا سودوتخفیف درصد:

1.

سال گذشته نان 450 تومان بود امسال 7٪ افزایش قیمت داشتیم  قیمت نان امسال چقدر است؟

راه حل:
 r  7
 450 100
داریم 7% افزایش.

  r = افزایش
r = 7% × 450
r = 0.07 × 450
تغییر دهید   7%   را به اعشار=0.07
r = 31.5 
افزایش 31.50تومان
افزایش + قیمت= تومن450 + تومن31.50
پاسخ تومن481.50

 

2.

قیمت یک CD 270 توان بود ما آنرا با 20٪ تخفیف خریدیم. چقدر پرداختیم؟

راه حل:
 x  20
 270 100

اول مقدار تخفیف را محاسبه کن

تخفیف = 20% قیمت.
  x =
تخفیف.
x = 20% × 270
x = 0.20 × 270
x = 54
تخفیف = 54تومن

تخفیف را از کل قیمت کم کردیم.تومن54 - تومن270
مساوی تومن216 برای پرداخت.

 

 

3.

دبستانی سال گذشته 560 دانش آموز داشت. امسال 48 دانش آموز کم شد . یعنی چند درصد?
راه حل:
 x  48
 100 560
= 560÷(100×48)

48  =  چند درصد 560.

  x
= درصد کاهش
تقریبا:  8.6%

 




حدس و اثبات - حدس های اثبات نشده ی ریاضی

تاریخ:پنجشنبه 30 مرداد 1393-11:28 ق.ظ

این درس مخصوص کسانی است که در تیزهوشان پذیرفته شده اند

دانش آموز حدس می زند:((امشب برف میاد!)) و دعا می کند که بیاید!

معلم حدس می زند:((امشب برف میاد!)) و او هم دعا می کند که بیاید!!
دزد حدس می زند:((امشب تاریکه.شب پرکاری خواهم داشت! ))
پلیس حدس میزند:((امشب تاریکه .شب پرکاری خواهم داشت!!))
پدر انتظار پسری کاکل زری را می کشد:((پسر و پسر،قند عسل!))
مادر اما حدس دیگری می زند:((این یکی دیگه دختره!))
بعضی ها حدس می زنند و زنده می مانند:((کدوم سیم را قطع کنم؟آبی یا قرمز؟...
قرمز رو قطع می کنم....منفجر نشد. من موفق شدم.))
بعضی ها حدس می زنند و می میرند:((من کدوم سیم را قطع کنم؟من هم قرمز ار قطع می کنم...بومب.))متاسفانه این یکی بمب سیم هایش جا به جا وصل شده بود.
بعضی ها حدس می زنند و دنیا را 5/3 قرن سر کار می گذارند:((xn+yn=zn))
خیلی ها حدس می زنند و بی پول می شوند :((رو اسب شماره 7 را می بندم.))
بعضی ها هم حدس می زنند و پولدار می شوند:((من رو اسب شماره 8 را می بندم.))
تو حدس می زنی:((اگه ریاضی I اینه ، ما که افتادیم))
من حدس می زنم:((اگر....
خلاصه هر کسی در این دنیا برای حل مسا له ای که با آن رو به روست حدس هایی می زند و برای ادامه کار نقشه می کشد.
اما مساله ی آدم های مختلف با هم متفاوت است . یکی به دنبال پول است و دیگری در تکاپوی زنده ماندن مساله یکی مشهور شدن است و دیگری مقام می طلبد و شاید یکی مساله اش دوست داشتن باشد.در هر حال برای حل هر مساله ممکن است حدس بزنیم.در واقع حدس زدن چیزی نیست جز ((احتمال بیشتر دادن)).
شاید به نظر بیاید در مسایل عمر حدس زدن کاری غیر علمی است اما حدس زدن جزء لا ینفک روش های علمی است .دانشمندان حدس می زنند و سپس سعی می کنند حدسشان را آزمایش کنند و اگر آزمایش ها حدس را تایید کرد آن را با دلایل علمی و استدلال منطقی توجیه کنند. بنابراین یک حدس خوب شروع خوبی برای یک نتیجه گیری و اثبات علمی است.

حدس های اثبات نشده ی ریاضی

حدس کولاتز

حدس کولاتز یکی از حدس های حل نشده در ریاضیات است.این حدس به افتخار لوتار کولاتز،که این موضوع را در سال1937 مطرح کرد، حدس کولاتز نام گرفت.

این حدس همچنین به عنوان حدس 3n+1 نیز شناخته می شود.این گونه حدس ها می پرسد که آیا یک رشته ی خاص از اعداد، صرف نظر از این که چه عددی را به عنوان عدد اولیه انتخاب می کنیم، همیشه به یک صورت تمام می شود.

بیان مشکل

عملیات زیر را در مجموعه اعداد صحیح مثبت اخیاری در نظر بگیرید

  • اگر عدد زوج بود، آن را بر 2 تقسیم کن.
  • اگر عدد فرد بود، آن را سه برابر کن و به علاوه 1.

برای مثال، اگر عملیات روی 3 انجام شود، نتیجه 10 است و اگر روی 24 اجرا شود نتیجه 10 است. اگر بخواهیم این عملیات را به صورت تابعی ریاضی نشان دهیم به صودت زیر خواهد بود:


هم اکنون با اجرا کردن این عملیات بر روی یک دنباله از اعداد به طور متوالی با هر عدد صحیح مثبت، و گرفتن نتیجه به عنوان ورودی مرحله بعد: در حالی که:

0. \end{cases}">

حدس کولاتز به صورت زیر است:

این روند به صورت اتفاقی به عدد 1 می رسد، صرف نظر از این که چه عددی به عنوان عدد اولیه انتخاب شده.

کوچکترین i که به ازای آن روند فوق ادامه می یابد زمان کلی ایست n نام دارد.این حدس ادعا دارد که هر عدد n یک زمان کلی ایست خوش تعریف دارد.اگر به ازای یک N خاص، عدد i به صورت بیان شده وجود نداشته باشد می گوییم N یک زمان کلی ایست نامحدود دارد و حدس غلط است. اگر حدس غلط باشد می تواند فقط به این دلیل باشد که یک عدد شروعی وجود دارد که به دنباله خاتمه ای می دهد که 1 شامل آن دنباله نیست.یک چنین دنباله ای ممکن است وارد چرخه ای شود که از 1 مستثنی باشد یا این که بدون محدودیت ادامه یابد.تا به حال چنین دنباله ای پیدا نشده است.

مثالها

برای نمونه، شروع از n=6،دنباله به صورت:

6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

شروع از n=11، دنباله بیشتر طول می کشد تا به 1 برسد:

11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

اگر مقدار عدد شروع n=27 باشد، یک دنباله 111 قدمی به وجود می آید که قبل از رسیدن به 1 از 9000 تجاوز می کند:

{ 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 }

برنامه ای برای محاسبه دنباله کولاتز

یک دنباله ی معین کولاتز به راحتی محاسبه می شود، همان طور که در شبه کد زیر نمایش داده شده:

  وقتی که n > 1

    به جای  n عدد  فرد باشد.

    درتمرین        

   در تمرین 3n + 1   به جایn    عددبگذارید و یک مجموعه عدد به دست آورید.

    یا  در  عبارت زیر

      به جایn    عددبگذارید و یک مجموعه عدد به دست آورید  با عبارت     n / 2

  show n

این برنامه وقتی دنباله به 1 می رسد، برای جلوگیری از چاپ چرخه بی پایان 4و2و1 ،متوقف می شود. اگر حدس کولاتز درست باشد، این برنامه صرف نظر از عدد ورودی همیشه متوقف می شود.

اثبات استدلال

هرچند که این حدس هنوز اثبات نشده است، ولی اکثر ریاضیدانان که این مشکل را بررسی کرده اند، خود به خود اعتقاد دارند که این حدس درست است.

در این قسمت دو دلیل برای این انتظار درستی بیان می کنیم:

مدارک آزمایشی

این حدس توسط کامپیوتر برای تمام صحیح مثبت تا 10 × 258 ≈ 2.88‎×۱۰18.]امتحان شده است.

با تعجب باید گفته شود که این گونه مقید کردن ها توسط کامپیوتر ارزش مدرکی بسیار محدودی دارند.چندین حدس وجود دارند که مثال نقضشان به طور استثنایی مقداری بسیار بزرگ است.(مانند حدس پولیا، حدس مرتن و یا عدد اسکیوویز) همچنین این موضوع که، {4,2,1} تنها چرخه با دوره ی کمتر از 35400 است، روشن شده است.

مدارک احتمالی

اگر کسی تنها اعداد فرد تولید شده در دنباله ی کولاتز را در نظر بگیرد، آنگاه کسی می تواند استدلال کند که در حالت میانگین(در حالت خاص میانگین هندسی قسمتها)عدد فرد بعدی باید ¾قبلی باشد، که اظهار می کند این دسته اعداد باید با ترتیبی طولانی کاهش یابند.(اگرچه این مدرکی علیه چرخه ها نیست، فقط علیه واگرایی است)

 

دیدگاه های دیگر درباره ی موضوع

در حالت معکوس

دیدگاه دیگری برای اثبات این حدس به کار می رود، که روش رشد از بالا به پایین را در نظر می گیرد که گراف کولاتز نام دارد.

گراف کولاتز گرافی است که با رابطه ی معکوس زیر تعریف می شود:

بنابراین به جای این که ثابت کنیم همه ی اعداد طبیعی به طور اتفاقی به 1 می رسند، می توانیم ثابت کنیم که 1 به تمام اعداد طبیعی سوق داده می شود.برای تمام اعداد صحیحپرونده:Untitssed.jpg همچنین، رابطه ی معکوس، به جز حلقه ی 1و2و4، یک درخت است(وارون حلقه 1و4و2 یک تابع بدون تغییر است که در عبارت مشکل بالا مطرح شده است).وقتی رابطه ی 3n+1 در تابع (f(n ، با جانشینی رایج "میان بر" با رابطه ی 3n + 1)/2) جا به جا شود(بهینه سازی زیر را ببینید)، گراف کولاتز با رابطه ی وارون زیر تعریف می شود:

این رابطه ی معکوس، به جز حلقه ی 1-2 ، به شکل یک درخت در می آید(معکوس حلقه ی 1-2در تابع (f(n، همانطور که نشان داده شد، در بالا بازبینی شده است)

به عنوان اعداد گویا

اعداد طبیعی می توانند با به کارگیری روشی مشخص، به اعداد گویا تبدیل شوند.براای به دست آوردن مدل گویا، بزرگترین عددتوان 2 که کمتر مساوی عدد اصلی است پیدا کنیدو آن را به عنوان مخرج در نظر بگیرید.سپس آن را از عدد اصلی کم کنید و به عنوان صورت در نظر بگیرید ( 15/512→527) .برای به دست آوردن مدل طبیعی عدد صورت و مخرج کسر را با هم جمع کنید (511→ 255/256).

حدس کولاتز می گوید که صورت سرانجام برابر صفر می شود.تابع کولاتز به صورت زیر تغییر می کند:

(n=صورت،d=مخزج)

این روش کار می کند زیرا 3x + 1 = 3(d + n) + 1 = (2d) + (3n + d + 1) = (4d) + 3n - d+1 .کاهش یک عدد گویا قبل از هرگونه عملیات باید صورت گیرد تا بتوانx را فرد دریافت کرد.

به عنوان یک ماشین انتزاعی...

استفاده ی مکرر از تابع کولاتز را می توان به عنوان یک ماشین انتزاعی که با رشته هایی از بیت ها سرو کار دارد، بیان کرد.

ماشین دو قدم زیر را تا زمانی که فقط 1 باقی بماند روی هر عدد فردی انجام می دهد:

1.عدد اصلی را با عدد اصلیی که یک "1" به انتهای آن اضافه شده جمع کن.(رشته را به عنوان یک عدد دودویی در نظر میگیریم)میدانیم: 3n + 1 = (2n + 1) + n

2.تمام 0 های انتهایی را پاک کن.

...که برابر مبنای دو در محاسبات است

راه دیگر امتحان حدس 3n+1 اقدام از طریق اعداد در مبنای دو است.مثال آن به صورت زیر است:

مثال:ما از عدد 7 استفاده می کنیم پس در مبنای دو به صورت 111 است:

 

راه استفاده شده برای بازگو کردن هر عدد در مبنای دو به صورتی است که ابتدا عدد اولیه را می نویسیم سپس زیر آن همان عدد را با یک "1" اضافه شده به انتهای سمت راست آن می نویسیم و دو عدد را جمع می کنیم.هر صفری که در انتهای چپ حاصل جمع ظاهر شد حذف می کنیم و این روند را تا جایی ادامه می دهیم که به عدد 1 برسیم.


ادامه مطلب




  • تعداد صفحات :71
  • 1  
  • 2  
  • 3  
  • 4  
  • 5  
  • 6  
  • 7  
  • ...  


Admin Logo
themebox Logo