آموزشی.اطلاعات مفید علمی . سوال های درسی . تدریس ریاضی

صلوات

تاریخ:دوشنبه 3 تیر 1392-02:52 ب.ظ

.

لطفاً برای اطلاع از مطالب قبلی به فهرست مطالب ،  آرشیو  مطالب قبلی  و یا صفحات جانبی مراجعه نمائید





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

قطر مربع وضلع

تاریخ:یکشنبه 1 اسفند 1395-07:04 ق.ظ






Image result for ‫قطر مربع‬‎

  اگر قطر مربع 8س باشد ضلع چقدر است؟ 2√a =  قطر
  
2√a2+a2=2a2=a
جواب  8=2a2

a2=4

a2=4




مساحت مربع

مساحت مربع را با داشتن یك ضلع ویا داشتن یك قطر می توان بدست آورد

2/(قطر*قطر)=یك ضلع ضرب در خودش=مساحت مربع

مثال:مساحت مربعی كه قطر آن 20 متر است را حساب كنید؟

2÷(20×20)=200





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

دو قطر 4 ضلعی بر هم عمودونامساویندثابت کنید 4 ضلعی لوزی است ونه مربع..

تاریخ:پنجشنبه 28 بهمن 1395-06:24 ق.ظ



دو قطر در یک 4 ضلعی نامساوی و بر هم عمودند . ثابت کنید 4 ضلعی لوزی است ونه مربع..

SAS Congruent Triangles

حل:

دوقطر  PRو QS در   4 ضلعی  S PQR  همدیگر را در نقطه  O   نصف کردند.

PO = OR;                 QO = OS; PR ≠ QS و        PR ⊥ QS.

ثابت کنید PQRS   لوزی است.

اثبات: قطرهای 4 ضلعی  PQRSهمدیگر را نصف کردند.

پس, PQRS متوازی الاضلاع است.

در ∆POSو ∆ROD,دوباره

PO = OR                        [فرض]

OS = OS                        [ضلع مشترک]

و POs∠ = ∠ROS            [وقتی  PR ⊥ QS]

پس, POS∆ ≅ ∆ROD,  [با حالت ضلع زاویه ضلع (ض ز ض)هم نهشت هستند]

پس, PS = RS                [اضلاع نظیر باهم مشابهند]

ثابت شد که PS = SR = RQ = QP

بنابراین, 4 ضلعی PQRS متوازی الاضلاعی هست 4 ضلع مساوی دارد که قطرها باهم نامساویند.

پس, PQRS لوزی است, نمی تواند مربع باشد زیرا تمام شرایط مربع را ندارد.





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

رسم قطرهادر ذوزنقه متساوی الساقین زاویه ها چه تغییری میکند

تاریخ:پنجشنبه 28 بهمن 1395-05:56 ق.ظ




رسم قطرهادر ذوزنقه متساوی الساقین زاویه ها چه تغییری میکند
دومثلث با مساحت مساوی ایجاد می شود. و زاویه ها واضلاع هرکدام با دیگری مساوی است

خصوصیات ذوزنقه ی متساوی الساقین:

1-  زاویه های مجاور به هر ساق مکمل یکدیگرند.

2-   زاویه های مجاور به هر قاعده با هم مساوی اند.

3-   در ذوزنقه ی مستاوی الساقین قطرها با هم مساوی اند.






علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

ثابت کنید در مثلث متساوی الساقین نیمساز راس مثلث را نصف کرده

تاریخ:سه شنبه 26 بهمن 1395-06:28 ق.ظ



ثابت کنید در مثلث متساوی الساقین   نیمساز راس بر قاعده پای دو ساق عمود شده و نصف می کند..

Congruence with SAS


حل:

داده ها: ∆PQRمثلث متساوی الساقین است, و  نیمساز PO از   ∠ Pعمود شده بر ضلع QR

اثبات: در ∆POQ و ∆POR

PQ = PR                         (مثلث متساوی الساقین)

∠QPO = ∠RPO                  (POنیمساز راس زاویه  ∠P)

PO = PO                          (ضلع مشترک )

پس, ∆ POQ ≅ ∆ POR  (با حالت ضلع زاویه ضلع .)


پس, ∠POQ = ∠POR     ( ضلع زاویه ضلع (ض ز ض)هم نهشت هستند)





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

ثایت کنید در مستطیل دوقطر باهم مساویند.

تاریخ:سه شنبه 26 بهمن 1395-06:26 ق.ظ



ثایت کنید در مستطیل دوقطر باهم مساویند.

Diagonals of a Rectangle are Equal

5. ثایت کنید در مستطیل دوقطر باهم مساویند.

حل :

در مستطیل  JKLMدوپاره خط    JL و   KM  دو قطر مستطیل هستند. 


ثابت کنید   JL = KM.

اثبات : در ∆JKL و∆KLM

JK = ML [دو ضلع مقابل هم وموازی هم ]

KL = KL  [ضلع مشترک دو مثلث]

∠JKL = ∠KLM                           [هردو زاویه راستند.]

پس, JKL ≅ ∆KLM            [با حالت ضلع زاویه ضلع  همنهشتند.]

پس, JL = KM                   [قسمتهای نظیر به نظیر متشابه هستند.]

نکته : پس با این شرط ها  قطرهای مربع هم باهم مساویند .





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

ثایت کنید در مستطیل دوقطر باهم مساویند.

تاریخ:سه شنبه 26 بهمن 1395-06:26 ق.ظ



ثایت کنید در مستطیل دوقطر باهم مساویند.

Diagonals of a Rectangle are Equal

5. ثایت کنید در مستطیل دوقطر باهم مساویند.

حل :

در مستطیل  JKLMدوپاره خط    JL و   KM  دو قطر مستطیل هستند. 


ثابت کنید   JL = KM.

اثبات : در ∆JKL و∆KLM

JK = ML [دو ضلع مقابل هم وموازی هم ]

KL = KL  [ضلع مشترک دو مثلث]

∠JKL = ∠KLM                           [هردو زاویه راستند.]

پس, JKL ≅ ∆KLM            [با حالت ضلع زاویه ضلع  همنهشتند.]

پس, JL = KM                   [قسمتهای نظیر به نظیر متشابه هستند.]

نکته : پس با این شرط ها  قطرهای مربع هم باهم مساویند .





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

ثابت کنید همنهشتی مثلث قائم الزاویه

تاریخ:سه شنبه 26 بهمن 1395-05:33 ق.ظ

شرایط برای حالت زاویه راست. وتر. ضلع - یا (ز. وتر  .ض)

دومثلث قائم الزاویه  همنهشتند اگر وتر ویک ضلع  از مثلث با وتر ویک ضلع  از مثلث دیگر مساوی باشند.


اثبات همنهشتی  دومثلث قائم الزاویه:( وتر ویک ضلع)

Right Angle Hypotenuse Side congruence

رسم کنید    یک مثلث  ∆LMN با شرایط      ∠M = 9, LM = 3cm LN = 5 cm,

رسم کنید    یک مثلث ∆XYZ با شرایط     Y = 90 °, XY = 3cm و XZ = 5cm.

می بینیم که     ∠M = ∠Y, LM = XY و   LN = XZ.

یک کپی از مثلث    ∆XYZ  تهیه کنید  بر روی مثلث  ∆LMN بگذارید   X روی  Lو Y روی  Mو Z روی  N.

مشاهده کنید که : دقیقا بر هم منطبق هستند..

پس, LMN∆ ∆XYZ

حل تمرین  هم نهشتی دومثلث قائم الزاویه باحالت وتر وضلع   (وتر ویک ضلع):

1. ∆PQR یک مثلث متساوی الساقین است که PQ = PR, ثابت کنید که ارتفاع  POاز  Pروی  QR  عمود شده  که   PQ.  را نصف کرده   

HL Postulate

حل :

درمثلث  های قائم الزاویه های  POQو POR,

POQ = POR = 90°

PQ = PR           [چون , ∆PQRمتساوی الساقین است. داریم  PQ = PR]

PO = OP           [ضلع مشترک ]

T:     ∆ POQ ∆ POR با حالت وترو ضلع متشابهند.

پس, QO = RO (اجزای نظیر هم درمثلث مشابهند)


2. ∆XYZ یک مثلث متساوی الساقین است که XY = XZ, ثابت کنید ارتفاع  XOاز Xروی  YZ عمود شده که YZ را نصف کرده

Conditions for the RHS

حل:

در مثلث های  XOY و XOZ,

XOY = XOZ = 90°

XY = XZ          [وقتی , ∆XYZ متساوی الساقین است . داریم XY = XZ]

XO = OX         [ضلع مشترک]


پس  XOY∆ ∆ XOZ با حالت  وتر وضلع  متشابهند.


پس, YO = ZO (اجزای مثلث ها هم مشابهند)


3. درشکل زیر, داریم  AB = BC    , YB = BZ,   BA ⊥ XY و    BC ⊥ XZ. ثابت کنید  XY = XZ

Right Angle Hypotenuse side Congruence Triangles

حل:

           در مثلث های YAB و BCZ ما داریم  ,درمثلث

YB = BZ          [داریم]

AB = BC          [داریم ]

پس, با حالت وتر ویک ضلع  مشابهند.

 YAB∆ ∆ BCZ

Y = ∠Z (چون  اجزای نظیر به نظیر  مشابهند )

XZ = XY (اضلاع مقابل به زاویه های مساوی ،  با هم برابرند.)





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

تابت کنیدهمنهشتی با حالت زاویه زاویه ضلع

تاریخ:سه شنبه 26 بهمن 1395-05:31 ق.ظ


شرایط برای حالت ز ز ض - یا زاویه.زاویه ضلع

اگر2 زاویه وضلع   از یک مثلث با 2 زاویه وضلع  از مثلث دیگر باهم مساوی باشند ان دو مثلث به حالت ز ز ض هم نهشتند.

اثبات هم نهشتی دو مثلث با حالت ز زض:

رسم کنید ∆LMN  را با    شرایط  M = 4, N = 70°, LN = 3 cm.

همچنین مثلثی ∆XYZرسم کنید      با شرایط  با     Y = 40°, Z = 70°, XZ = 3cm.

Angle Angle Side Congruence

می بینیم که   M = Y, N = Z و     و      LN = XZ

یک کپی از مثلث  ∆XYZ ان را برمثلث  LMN   منطبق کنید با توجه به این که    X رویL  منطبق شود   Yروی  M و Z روی  N. منطبق شوند.

پس    LMN∆ ∆XYZ

نکته :

زاویه .زاویه. ضلع  کنار  (ز.ز.ض ) و زاویه .ضلع بین . زاویه (ز.ض.ز) از نظر اثبات  تقریبا مثل همند وهمنهشتند.


حل تمرین باحالت زاویه و زاویه وضلع کنار  (ز  زض):

1. OB نیمساز زاویه      AOC∠  و PM ┴ OA و PN ┴ OC. اثبات کنید که  MPO∆ ∆NPO.

Angle Angle Side Congruence Triangles

حل :در مثلث

 ∆MPO و ∆NPO

PM ┴ OM و PN ┴ ON

T:                         PMO = PNO = 90°

همچنین , OB نیمساز  AOC

T:                        MOP = NOP

OP = OP ضلع مشترک


پس ,MPO ∆ ∆NPO  باحالت زاویه و زاویه وضلع کنار  (ز  زض)





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

ثابت کنیدهم نهشتی با حالت زاویه ضلع زاویه

تاریخ:سه شنبه 26 بهمن 1395-05:29 ق.ظ



شرایط برای حالت ز.ض.ز - یا زاویه.ضلع.زاویه

اگر2 زاویه وضلع بین دو زاویه  از یک مثلث با 2 زاویه وضلع بین دو زاویه از مثلث دیگر باهم مساوی باشند ان دو مثلث به حالت ز ض ز هم نهشتند.


اثبات هم نهشتی دو مثلث با حالت ز ض ز::

رسم کنید  ∆LMN با شرایط M = 60°, MN = 5 cm, N = 30°.

Angle Side Angle Congruence

مثلثی XYZ∆       را رسم کنید با این شرایط    Y = 60°, YZ = 5cm, Z = 30°.

می بینیم که   M = Y       , MN = YZ و        N = Z.

یک کپی بگیرید  یا کمک از کاغذ شفاف   از مثلث  ∆XYZ روی مثلث  ∆LMN  بگذارید   X روی  Y, L روی  M و Zروی  N.

مشاهده می کنید که : دو مثلث کاملا برهم منطبقند.

پس LMN ∆ ∆XYZ


حل تمرین باحالت زاویه وضلع وزاویه  (ز ض ز):

1. PQR∆ ∆XYZ دومثلث با حالت ز ض ز هم نهشتند . پیدا کنید مقدار   x و yچن درجه  است؟.

Problems on Angle Side Angle Congruence

حل:

می دانیم که       PQR∆ ∆XYZ با حالت  ز ض ز     هم نهشتند.

                     Q = ∠Y   , x + 15 = 80° و    R = Z    ., 5y + 10 = 30°.

همچنین   اضلاع    , QR = YZ.

   وقتی     , x + 15 = 80°

T:                           x = 80 – 15 = 65°

همچنین      , 5y + 10 = 30°

S:                        , 5y = 30 – 10

T:                               5y = 20

⇒ y = 20/5

⇒ y = 4°

اندازه    x و y  مساوی      65° و 4°.


2. ثابت کنید قطرهای متوازی الاضلاع همدیگرا نصف می کنند. .

ASA Congruence

در متوازی الاضلاع JKLM, قطر  JL و KM   در نقطه  O هم دیگر را قطع کردند

اثابات کنید    JO = OL و  KO = OM

اثبات :  ∆JOM و ∆KOL

OJM = ∠OLK    زیرا  [وقتی   , JM ∥ KL و JL خط موربی  است که دو خط موازی را قطع کرده ]

 JM = KL [ضلع های مقابل باهم مساویند]

OMJ = ∠OKL [چون , JM ∥ KL وKM خط موربی  است که دو خط موازی را قطع کرده ]

                  , ∆JOM و ∆KOL [ باحالت زاویه وضلع وزاویه هم نهشتند  ]

پس    , JO = OL و KO = OM [اضلا ع دو مثلث ]


3. ∆XYZ مثلث متساوی الاضلاعی است که خط   XO زاویهX   را نصف کرده   و نیمساز های هر زاویه در o   هم دیگر را قطع کردند

همچنین       اثبات کنید , XYO = XZO. نشان دهید  که YXO∆ ∆ZXO

Angle Side Angle Postulate

حل:

∆ XYZ مثلث متساوی الاضلاع است.                       

         , XY = YZ = ZX       

, YXO = ZXO

داده ها : XYO = XZO           

داده ها : XY = XZ

پس    , YXO ∆ ∆ZXOباحالت زاویه وضلع وزاویه هم نهشتند


4. خطی مورب بردو ضلع روبروی هم در  متوازی الاضلاع طوری رسم کردیم که از نقطه تقاطع دو قطر عبور کند

و متوازی الاضلاع را به دو قسمت مساوی تقسیم کند .(  دوذوزنقه)

حل :

Prove Congruence with ASA

O نقطه تقاطع دو قطر  JL و KM  است در متواز ی الاضلاع    JKLM.

خط  XOY در نقطه    X    به ضلع  JK   و LM در نقطه   Y     برخورد کرده  .

ثابت کنید  JXYM  مساوی   LYXK.


اثبات :        در  ∆JXO و ∆LYO       وJO = OL [قطر ها هم دیگر را نصف کردند]

∠OJX= زاویه های متناوب  ∠OLY

  JOX = ∠LOY

JOX ∆≅ LOY [باحالت زاویه وضلع وزاویه هم نهشتند]

, JX = LY

, KX = MY [چون , JK = ML]

در 4 ضلعی  JXYM و LYXK, JX = LY; XY = YX, YM = XK و MJ = KLو ∠MJX  = ∠KLY

[باحالت زاویه وضلع وزاویه هم نهشتند]

پس4 ضلعی  JXYM =XKLY.





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

ثابت کنیدقطرهای لوزی یا مربع برهم عمودند.

تاریخ:دوشنبه 25 بهمن 1395-06:16 ق.ظ



اثبات کنید که قطرهای لوزی برهم عمودند.

حل: قطر LN و MPدر لوزی  LMNP هم دیگر را در نقطه  Oقطع کردند.

Prove Congruence with SSS

لازم است اثبات کنید  LM ⊥ NP و LO = ON و MO = OP.

قضیه: LMNPاین 4ضلعی یک لوزی است.

بنابراین , LMNP یک متوازی الاضلاع است.

پس, LO = ON و MO = OP.

در مثلثهای  ∆LOPو ∆LOM;دو ضلع       LP = LM,

[زیرا اضلاع لوزی باهم برابرند

وضلع LO مشترک است

PO = OM, [چون قطر ها همدیگر را نصف کردند]

پس,LOP ∆ ≅ ∆LOM, [با حالت ض ض ض  (ضلع ضلع ضلع )باهم همنهشت اند]

اما, LOP + ∠MOL ∠= دو زاویه راست  هستند.


پس, LO ⊥ MP

, LN ⊥ MP (ثابت شد)

[نکته : اثبات می شود که قطرهای مربع هم برهم عمودن ]






علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

ثابت کنید که 4 ضلعی متوازی الاضلاع است

تاریخ:دوشنبه 25 بهمن 1395-06:14 ق.ظ

اگر زاویه های روبرو در 4 ضلعی باهم مساوی باشند .ثابت کنید که 4 ضلعی متوازی الاضلاع است.


LMNOیک 4 ضلعی متوازی الاضلاع است. اضلاع LM = ON و LO = MN. ثابت کنید  LMNO یک متوازی الاضلاع است.

Rhombus is Parallelogram

رسم: قطر LN را رسم کنید.

اثبات: در ∆LMN و ∆NOL,

LM = ON و MN = LO, [فرض]

LNضلع مشترک.

, LMN ∆≅ ∆NOL, [با حالت ض ض ض  (ضلع ضلع ضلع )باهم همنهشت اند]

T:                , ∠MLN = ∠LNO, [مثلث های  هم نهشت هستند]

Since, LN خط مورب  دو خط  LM و ON را قطع کرده  و  زاویه های متناوب مساوی تشکیل دادند.

پس     , LM ∥ ON

و  , MNL∠ = ∠OLN [مثلث های هم نهشت   هستند. ]

 LN خط مورب که دو خط  LO و MN,  را قطع می کند زاویه های متناوب مساوی تشکیل دادند.

پس , LO ∥ MN

پس, در 4 ضلعی LMNO,

LM ∥ ONو

LO ∥ MN.

پس  , LMNO یک متوازی الاضلاع است. [ثابت شد ]

[نکته : لوزی هم یک متوازی الاضلاع است.]





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

همنهشتی با حالت ضلع زاویه ضلع

تاریخ:شنبه 23 بهمن 1395-07:30 ب.ظ


شرایط همنهشتی با حالت ضلع زاویه ضلع (ض ز ض )
دو مثلث همنهشت هستند اگر دو ضلع و یک زاویه بین  یک مثلث با دو ضلع و یک زاویه بین از مثلث دیگر  باهم مساوی باشند.


شرح اثبات همنهشتی دومثلث با حالت دوضلع ویک زاویه بین  :

∆LMN با  این مشخصات داریم.     LM – 8 cm, MN – 10 cm, ∠M = 60°

Also, مثلث دیگر را رسم کنید  ∆XYZ بامشخصات      XY = 8cm, YZ = 10cm, ∠Y= 60°.

می بینیم که  LM = XY, AC = ∠M = ∠Y و    MN = YZ

Side Angle Side Congruence

یک کپی از مثلث      ∆XYZ بردارید  روی مثلث ∆LMN  بگذارید      Y  روی  M,  و  Xروی L  و Z روی N.

مشاهده می کنید که : دو مثلث کاملا برهم منطبق شدند..

پس    LMN∆ ≅  ∆XYZ


حل تمرین مثلث های هم نهشت با حالت ضلع زاویه ضلع (ض ز ض):



2. همنهشتی دو مثلث:

Identify the Congruent Triangle

حل:

در    ∆LMN,

A:      65° + 45° + ∠L = 180°

B:       110° + ∠L = 180°

C:                 ∠L = 180° - 110°

پس   ,   ∠L = 70°

حالا در ∆XYZ و ∆LMN

      X∠ = ∠L       (در تصویر)

XY = LM      (در تصویر)

XZ = NL      (در تصویر)

پس, ∆XYZ ≅ ∆LMN به حالت زاویه ضلع زاویه ضلع (ض ز ض)هم نهشت هستند.

 

3. با حالت ضلع زاویه ضلع  در مثلث متساوی الساقین ثابت کنید که زاویه های  روبرو به هر ساق،   باهم مساویند.

.

SAS Congruency

حل:

داده ها: ∆PQR مثلث متساوی الساقین است و PQ = PR

رسم: ارتفاع  PO,   را  از راس  ∠P  رسم کنید  ,  تا pQ را در نقطه  Oقطع کند.

اثبات: د ∆رQPO و ∆RPO

        PQ = PR             (داریم)

        PO = PO             (مشترک)

       ∠QPO = ∠RPO       (ایجاد شده )

پس, ∆QPO ≅  ∆RPO      (با حالت ضلع زاویه ضله همنهشت هستند.)

پس, ∠PQO = ∠PRO (باهم مساویند.زاویه های متناوب )


4.ثابت کنید در مثلث متساوی الساقین   نیمساز راس بر قاعده پای دو ساق عمود شده و نصف می کند..

Congruence with SAS


حل:

داده ها: ∆PQRمثلث متساوی الساقین است, و  نیمساز PO از   ∠ Pعمود شده بر ضلع QR

اثبات: در ∆POQ و ∆POR

PQ = PR                         (مثلث متساوی الساقین)

∠QPO = ∠RPO                  (POنیمساز راس زاویه  ∠P)

PO = PO                          (ضلع مشترک )

پس, ∆ POQ ≅ ∆ POR  (با حالت ضلع زاویه ضلع .)


پس, ∠POQ = ∠POR     ( ضلع زاویه ضلع (ض ز ض)هم نهشت هستند)

5. ثایت کنید در مستطیل دوقطر باهم مساویند.

Diagonals of a Rectangle are Equal

5. ثایت کنید در مستطیل دوقطر باهم مساویند.

حل :

در مستطیل  JKLMدوپاره خط    JL و   KM  دو قطر مستطیل هستند. 


ثابت کنید   JL = KM.

اثبات : در ∆JKL و∆KLM

JK = ML [دو ضلع مقابل هم وموازی هم ]

KL = KL  [ضلع مشترک دو مثلث]

∠JKL = ∠KLM                           [هردو زاویه راستند.]

پس, JKL ≅ ∆KLM            [با حالت ضلع زاویه ضلع  همنهشتند.]

پس, JL = KM                   [قسمتهای نظیر به نظیر متشابه هستند.]

نکته : پس با این شرط ها  قطرهای مربع هم باهم مساویند .

 

6. اگر در یک 4 ضلعی  دو قطر همدیگرا نصف کنند .ثابت کنید  که  4 ضلعی متوازی الاضلاع است..

Two Diagonals of a Quadrilateral

حل :

دو قطر  PR و QS در 4 ضلعی  PQRS همدیگر را در نقطه  O قطع کردند .

پس, PO = OR و QO = OS

ثابت کنید  PQRS متوازی الاضلاع است .

اثبات: در  ∆POQ و ∆ROS

PO = OR              [داده ها]

QO = OS              [داده ها]

POQ = ∠ROS

پس, ∆POQ ≅ ∆ROS          [با حالت صلع زاویه  ضلع ]

پس, ∠OPQ = ∠ORS          [زاویه ها و اجزای نظیر به نظیر باهم ]

وقتی, PR دو خط موازی   PQ و RS,را  قطع کرده و زاویه های متناوب باهم مساویند.

پس, PQ ∥ SR

ثابت شده , POS ≅ ∆QOR وPS ∥ QR

در متوازی الاضلاع  PQRS,

PQ ∥ SR و PS ∥ QR

پس, PQRS یک متوازی الاضلاع اشت.


7.اگر در 4 ضلعی ضلع های روبرو مساوی وموازی باشند ثابت کنید ، 4 ضلعی متوازی الاضاع است.

Opposite Sides of a Quadrilateral are Equal and Parallel

حل:

در 4 ضلعی PQRS,

PQ = SRو

PQ ∥ SR.

ثابت کنید PQRS که متوازی الاضلاع است.

رسم : قطر  PR را رسم کنید.

ا: ثبات :   در  ∆PQR و ∆RSP

PQ = SR                       [داریم]

∠QPR = ∠PRS                [وقتی  PQ ∥ SR وPR خط مورب با شد ]

PR = PR                       [ضلع مشترک]

پس, ∆PQR ≅ ∆RSP            [با حالت ضلع زاویه ضلع (ض ز ض)هم نهشت هستند]

پس, ∠QRP = ∠SPR            [اجزای نظیر در مثلث ها باهم مشابه هستند]

اما  خط مورب PR دوخط   موازی   QR و PS را قطع کرده و زاویه های متناوب  باهم مساویند (QRP = ∠SPR).

پس, QR ∥ PS.

پس  PQRSیک متوازی الاضلاع است

PQ ∥ SR                                [داریم ]

QR ∥ PS                                [ثابت شد ]

پس, PQRS متوازی الاضلاع است .

نکته : اگر دو خط موازی ومساوی باشند ،  دوخط ان دو را قطع کنند ، ان دو هم مساوی وموازی خواهند بود.


8. دو قطر در یک 4 ضلعی نامساوی و بر هم عمودند . ثابت کنید 4 ضلعی لوزی است ونه مربع..

SAS Congruent Triangles

حل:

دوقطر  PRو QS در   4 ضلعی  S PQR  همدیگر را در نقطه  O   نصف کردند.

PO = OR;                 QO = OS; PR ≠ QS و        PR ⊥ QS.

ثابت کنید PQRS   لوزی است.

اثبات: قطرهای 4 ضلعی  PQRSهمدیگر را نصف کردند.

پس, PQRS متوازی الاضلاع است.

در ∆POSو ∆ROD,دوباره

PO = OR                        [فرض]

OS = OS                        [ضلع مشترک]

و POs∠ = ∠ROS            [وقتی  PR ⊥ QS]

پس, POS∆ ≅ ∆ROD,  [با حالت ضلع زاویه ضلع (ض ز ض)هم نهشت هستند]

پس, PS = RS                [اضلاع نظیر باهم مشابهند]

ثابت شد که PS = SR = RQ = QP

بنابراین, 4 ضلعی PQRS متوازی الاضلاعی هست 4 ضلع مساوی دارد که قطرها باهم نامساویند.

پس, PQRS لوزی است, نمی تواند مربع باشد زیرا تمام شرایط مربع را ندارد.





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

هم نهشتی مثلث با حالت3ضلع

تاریخ:شنبه 23 بهمن 1395-07:28 ب.ظ



شرایط برای حالت ض.ض.ض - یا ضلع.ضلع.ضلع

اگر 3ضلع از یک مثلث با 3 ضلع از مثلث دیگر باهم مساوی باشند ان دو مثلث به حالت 3 ضلع هم نهشتند.


اثبات هم نهشتی دو مثلث با حالت ض ض ض:

مثلث  ∆LMN را با اندازه های رسم کنید

∆LMN به ضلع  LM = 3 cm, LN = 4 cm, MN = 5 cm.

ومثلث   ∆XYZ به اضلاع    XY = 3cm, XZ = 4cm, YZ= 5cm. 

Side Side Side Congruence

می بینیم که LM = XY, LN = XZ و MN = YZ.

اگر یک کپی از مثلث ∆XYZ  بگیرید یا کاغذ روی ان بگذارید و کپی کنید  و ان را روی مثلث    ∆LMN بگذارید که  X روی  L  باشد, Yروی  M و Z روی N.

2مثلث کاملا همدیگرا پوشانده اند .

بنبراین  ∆LMN∆ ≅ XYZ


حل تمرین با مثلث های متشابه با حالت ض ض ض  (ضلع ضلع ضلع ):

1.در شکل       LM = NO و LO = MN. نشان دهید که   ∆ LON ≅ ∆ NML.

SSS Postulate

حل:


درمثلث  های  ∆LON و ∆NML

LM = NO   →  داریم

LO = MN   → داریم

LN = NL   →   ضلع مشترک


بنابراین,  LON∆ ≅ ∆ NML, با حالت ض ض ض  (ضلع ضلع ضلع )باهم همنهشت اند.


2. اثبات کنید  در شکل به چه دلیل دومثلث هم نهشتند؟.

SSS Congruence

حل:

در دو مثلث  ∆LMN و ∆LON   

LM = LO = 8.9cm  

MN = NO = 4cm

LN = NL = 4.5 cm

بنابراین, LMN∆ ≅ ∆LON,  با حالت ض ض ض  (ضلع ضلع ضلع )باهم همنهشت اند.


3. اثبات کنید  در شکل به چه دلیل دومثلث هم نهشتند؟..

Side Side Side Postulate

حل:

دردو مثلث ∆LNM و ∆OQP

LN = OQ = 3 cm

NM = PQ = 5cm

LM = PO = 8.5cm

بنابراین, ∆LNM ≅ ∆OQP,با حالت ض ض ض  (ضلع ضلع ضلع )باهم همنهشت اند.


4. ∆OLM و ∆NMLدر قاعده LM مشترکند , LO = MN و OM = NL کدام از این  تساوی های زیرصحیح هستند؟.

SSS Congruence Condition

 (i) ∆LMN∆ ≅ LMO

 (ii)  ∆LMO ∆≅ LNM

 (iii) ∆LMO∆ ≅ MLN


حل:

LO = MN و OM = NL   →   داریم

LM = LM    → مشترک

پس, ∆MLN∆ ≅ LMO,با حالت ض ض ض  (ضلع ضلع ضلع )باهم همنهشت اند

بنابراین,عبارت (iii) درست است. دوعبارت, (i) و (ii)  غلط است.

5. با حالت (ض ض ض )اثبات کنید که قطرهای لوزی برهم عمودند.

حل: قطر LN و MPدر لوزی  LMNP هم دیگر را در نقطه  Oقطع کردند.

Prove Congruence with SSS

لازم است اثبات کنید  LM ⊥ NP و LO = ON و MO = OP.

قضیه: LMNPاین 4ضلعی یک لوزی است.

بنابراین , LMNP یک متوازی الاضلاع است.

پس, LO = ON و MO = OP.

در مثلثهای  ∆LOPو ∆LOM;دو ضلع       LP = LM,

[زیرا اضلاع لوزی باهم برابرند

وضلع LO مشترک است

PO = OM, [چون قطر ها همدیگر را نصف کردند]

پس,LOP ∆ ≅ ∆LOM, [با حالت ض ض ض  (ضلع ضلع ضلع )باهم همنهشت اند]

اما, LOP + ∠MOL ∠= دو زاویه راست  هستند.


پس, LO ⊥ MP

, LN ⊥ MP (ثابت شد)

[نکته : اثبات می شود که قطرهای مربع هم برهم عمودن ]


6.      در4ضلعی (  LMNP )       , LM = LP و MN = NP.

ثابت کنید LN ⊥ MP و MO = OP [O نقطه تقاطع  MPو LN]

by SSS Congruence Condition

اثبات:

در  ∆LMN و ∆LPN,

LM = LP,

MN = NP,

   LN = NL

T: , ∆LMN ≅ ∆LPN, [با حالت ض ض ض  (ضلع ضلع ضلع )باهم همنهشت اند]

T:                , ∠MLN = ∠PLN -------- (i)

در ∆LMO و ∆LPO,

LM = LP;

LO مشترک

MLO∠ = ∠PLO

LMO∆ ≅ ∆LPO, [دو مثلث با حالت ض ز ض ]

T:                      , ∠LOM = ∠LOP 

MO = OP, [اثبات شد]

قائمهt ∠LOM + ∠LOP = 2دو زاویه راستند.  .

T:                       =90 =∠LOM = ∠LOP= .

پس, LO ⊥ MP

i., LN ⊥ MP[ثلبت شد]


7. اگر زاویه های روبرو در 4 ضلعی باهم مساوی باشند .ثابت کنید که 4 ضلعی متوازی الاضلاع است

اگر زاویه های روبرو در 4 ضلعی باهم مساوی باشند .ثابت کنید که 4 ضلعی متوازی الاضلاع است.


LMNOیک 4 ضلعی متوازی الاضلاع است. اضلاع LM = ON و LO = MN. ثابت کنید  LMNO یک متوازی الاضلاع است.

Rhombus is Parallelogram

رسم: قطر LN را رسم کنید.

اثبات: در ∆LMN و ∆NOL,

LM = ON و MN = LO, [فرض]

LNضلع مشترک.

, LMN ∆≅ ∆NOL, [با حالت ض ض ض  (ضلع ضلع ضلع )باهم همنهشت اند]

T:                , ∠MLN = ∠LNO, [مثلث های  هم نهشت هستند]

Since, LN خط مورب  دو خط  LM و ON را قطع کرده  و  زاویه های متناوب مساوی تشکیل دادند.

پس     , LM ∥ ON

و  , MNL∠ = ∠OLN [مثلث های هم نهشت   هستند. ]

 LN خط مورب که دو خط  LO و MN,  را قطع می کند زاویه های متناوب مساوی تشکیل دادند.

پس , LO ∥ MN

پس, در 4 ضلعی LMNO,

LM ∥ ONو

LO ∥ MN.

پس  , LMNO یک متوازی الاضلاع است. [ثابت شد ]

[نکته : لوزی هم یک متوازی الاضلاع است.]





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

ادبیات نشانه( ان)

تاریخ:پنجشنبه 21 بهمن 1395-07:33 ب.ظ


انواع ( ان ) :

۱- برای خود واژه است و جدا نمی شود:
 خیابان، بیابان.کاروان

۲- نشانه جمع است : دوستان.درختان

۳- نشانه قید است : شادان

۴- نشانه زمان است
 سحرگاهان پاییزان. بامدادن
شبان

۵- نشانه مکان است: سپاهان گیلان، زنجان

۶- نشانه صفت فاعلی است : ( بن مضارع+ان) : دوان خندان گریان

۷- نشانه شباهت است: کوهان



علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

زاویه ها ودوخط موازی

تاریخ:سه شنبه 19 بهمن 1395-07:40 ب.ظ


دوخط موازی وزاویه ها

ادامه


زاویه های روی دو خط موازی وخط موازی چه شرایطی دارند .

وقتی دوخط موازی توسط خط مورب قطع شود:

• چند جفت زاویه متشابه  و مساوی ایجاد می شود.

• چند جفت زاویه های متناوب ومساوی ایجاد می شود.

• چند جفت زاویه های مکمل هم ایجاد می شود.

کار با خطوط موازی و خط مورب وزاویه ها: 

1. در شکل ( l ∥ m )اگر خط مورب ان دو را قطع کند  . اگر ∠1 = 70, پیدا کنید اندازه زا ویه های  ∠3, ∠5, ∠6. 

two parallel lines are cut by the transversal

حل:

وقتی داریم     ∠1 = 70°

∠1 = ∠3 (دوزاویه  1و3 متقابل به راس هستند)

پس    , ∠3 = 70°

حالا, ∠1 = ∠5 (1و5 متشابه هستند)

پس   , ∠5 = 70°
همچنین, ∠3 + ∠6 = 180° (دوزاویه مکملند )

70° + ∠6 = 180°

پس    , ∠6 = 180° - 70° = 110°



2. در شکل AB ∥ CD, ∠BEO = 125°, ∠CFO = 40°. اندازه زاویه   ∠EOF را پیدا کنید.

حل:

parallel and transversal lines



خط  XYرا موازی AB و CD رسم کنید تا  از O بگذرد     AB ∥ XY و CD ∥ X  Y  شوند.

∠BEO + ∠YOE = 180° (دوزاویه مکمل )

پس    , 125° + ∠YOE = 180°

بنابراین    , ∠YOE = 180° - 125° = 55°

همچنین  , ∠CFO = ∠YOF (دوزاویه متناوب)

داریم  ∠CFO = 40°

پس  , ∠YOF = 40°

پس ∠EOF = ∠EOY + ∠FOY

= 55° + 40° = 95°

3. روی شکل داریم   AB ∥ CD ∥ EF و AE ⊥ AB.

داریم    , ∠BAE = 90°. پیدا کنید اندازه   ∠x, ∠y و∠z.

حل:

parallel and transversal



y + 45° = 1800

پس, ∠y = 180° - 45° (زاویه های مکمل هم )

= 135°

y =∠x    ∠  (زاویه های متشابه )

پس, ∠x = 135°

هم چنین   , 90° + ∠z + 45° = 180°

پس, 135° + ∠z = 180°

پس, ∠z = 180° - 135° = 45°



4. در شکل, AB ∥ ED, ED ∥ FG, EF ∥ CD اگر, ∠1 = 60°, ∠3 = 55°, پیدا کمید ∠2, ∠4, ∠5.

حل:

transversal intersects two parallel lines



وقتی  , EF ∥ CD با خط  ED قطع شدند.

پس, ∠3 = ∠5 می دانیم که, ∠3 = 55°

پس, ∠5 = 55°

هم چنین , ED ∥ XY با خط مورب  CD قطع شده

پس, ∠5 = ∠x می دانیم که    ∠5 = 55°

پس,∠x = 55°

همچنین, ∠x + ∠1 + ∠y = 180°

55° + 60° + ∠y = 180°

115° + ∠y = 180°

∠y = 180° - 115°

پس, ∠y = 65°

حالا, y + ∠2 = 1800 ∠(زاویه های مکمل )

Parallel and transversal image



65° + ∠2 = 180°

∠2 = 180° - 65°

∠2 = 115°

وقتی, ED ∥ FG خط موربEF ان دو را قطع کرده

پس, ∠3 + ∠4 = 180°

55° + ∠4 = 180°

A:   , ∠4 = 180° - 55° = 125°


5. در شکل      PQ ∥ XY. هم چنین  نسبت    , y : z = 4 : 5`پیداکنید .

Parallel and transversal lines image


حل:

نسبت ها را بنویسیم

 y = 4a و       z = 5a

همچنین, ∠z = ∠m (زاویه های درونی متناوب)

پس   , z = 5a

, ∠m = 5a [RS ∥ XY     با خط   t قطع شده ]

حالا, m = ∠x ∠(زاویه های متشابه)

      A:        ∠m = 5a

   T:         , ∠x = 5a [PQ ∥ RS  با خط   t قطع شده]

∠x + ∠y = 180° ( خارجی  )

5a + 4a = 1800

9a = 180°

a = 180/9

a = 20

  وقتی  , y = 4a

پس, y = 4 × 20

y = 80°

z = 5a

پس, z = 5 × 20

z = 100°

x = 5a

داریم, x = 5 × 20

x = 100°
پس, ∠x = 100°, ∠y = 80°, ∠z = 100°





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 


  • تعداد صفحات :106
  • 1  
  • 2  
  • 3  
  • 4  
  • 5  
  • 6  
  • 7  
  • ...