تبلیغات
معلم5 فتحی

آموزشی.اطلاعات مفید علمی . سوال های درسی . تدریس ریاضی

صلوات

تاریخ:دوشنبه 3 تیر 1392-02:52 ب.ظ

.

لطفاً برای اطلاع از مطالب قبلی به فهرست مطالب ،  آرشیو  مطالب قبلی  و یا صفحات جانبی مراجعه نمائید.

در پایین همین صفحه شماره های 1و2 تا  .... وجود دارد که روی هر

شماره کلیک کنید صفحه جدیدی برای  مطالعه بگشوده می شود .






علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

عدد توانداربا پایه منفی

تاریخ:جمعه 12 خرداد 1396-05:32 ق.ظ


اگر عدد منفی باشد وتوان فقط بالای پایه  باشددراین صورت فقط پایه به توان می رسد.وعلامت منفی خودش  انتخاب می شود
اگر عدد منفی داخل  (   )  باشد و توان پشت n (  ) باشد هم عدد وهم علامت منفی به توان می رسد
نکته :اگر توان فرد باشد تاثیری در تغییر علامت ندارد . واگر توان زوج باشد علامت منفی به مثبت تبدیل می شود.
 
مثال: ,
a:       −24 = −16                     , (−2)4 = 16     

مثال:,
b:              (−2)4 = 16,               (−2)3 = −8

مثالها   جالب:
حل کنید:
16= c:                     (-4)2
d:              -16 =    -42     
e:            81=     (-3)
f:              -81=        -34
g:            -8=     (-2)3
h:        -8=          -23


جوابها را بررسی کنید
مثالL
پایه مشابه :
a.                                -16=      -24
b.                               16=      (-2)4
  • تمرین :وپاسخ ها

مثال:
g:                                      -1+1=0           -15 + 12
k:                                   -8+4=-4        (-2)3 + (-2)2
l:                                        -2× (+16 )+    (27)=    -32+27=-5        -2(-2)4 + (-3)3

حاص چقدر؟

مثالها:

a)                           81=       34
b)                                 -121=    -112
c)                                       -7×-7×-7=      (-7)3

2. 81= 3 به توان ...........




علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

نمایش اعداد گنگ روی محور

تاریخ:پنجشنبه 11 خرداد 1396-08:39 ق.ظ

http://fathi5.mihanblog.com/post/1999

توضیح کامل  به لینک مراجعه کنید



طول وتر در مثلث قائم الزاویه

  -مثلث قائم الزاویه (2)
یک مثلث قائم الزاویه مثلثی را گویند که یک زاویه راست(90°) دارد. که یک مربع کوچک   در گوشه زاویه راست نشانه ان است    جایی که 90° نوشته شده هرگاه این مربع کوچک را بگذارید دیگر لازم نیست 90°را بنویسید. ما دو نوع زاویه راست داریم.
الف-مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین=  یک زاویه راست داردوهریک از دوزاویه دیگر همیشه 45° هست
ب-مثلث قائم الزاویه مختلف الزاویه= یک زاویه راست داردوهریک زاویه های دیگر با هم مساوی نیستند.
    ج-مثلث3 ،4 ،5  مثلثی   عجیب که یک زاویه راست دارد و بسیار مهم ولازم است . وکاربرد زیاد دارد. به نام مثلث فیثاغورث  هم مشهور است.

در تئوری فیثاغورث  اگر طول وتر را c بنامیم و دوضلع عمود را   a   و   b      بنامیم طول وتر از فرمول   زیر محاسبه می شود.

a2 + b2 = c2ریشه c :

c=\sqrt{a^2+b^2}


Pythagoras

a2 + b2 = c2



ه فرمول توجه کنید.  a2 + b2 = c2          : c2=122=52       c2=169       c=13

مثالright angled triangle

با کمک این تئوری میتوانیم ریشه اعدد 2و3و6و6 و7 و..... را روی محور نمایش دهیم:

مثلث قائم الزاویه رسم کنید که طول قاعده وارتفاع یک سانتیمتر و طول وتر چقدر؟

12 + 12 = c2

1 + 1 = c2

2 = c2

c = √2

irrationals

حالا روی وتر  این مثلث مثلی به قاعده2    و ارتفاع یک واحد رسم کنیم  طول وتر چقدر؟ با کمک تئوری فیثا غورث   طول وتر =3√ .

irrationals - square root 3

و دوباره همینطور   مثلث هایی روی وتر قبلی رسم کنیدطول وتر  4√ = 2.این جا یک عدد گویا به دست آمد

square root 4

ادامه کار تا     5√ و       6√ و     7√   و  8√  که اعداد گنگ هستند  عدد بعدی  گویاست    s: √9 = 3.

irrationals - square root 9

و  10√ و       11√ و     12√   و  13√و   14√ و       15√ و     16√   و  17√عدد گویای بعدی 16√ = 4, .

خالا متوجه شدید که چگونه اعداد گنگ را می توان  به دست اورد

Irrational Numbers

http://fathi5.mihanblog.com/post/1999

توضیح کار  به لینک مراجعه کنید


علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

نمایش اعداد گنگ روی محور

تاریخ:پنجشنبه 11 خرداد 1396-08:37 ق.ظ





یک چالش!!!!

می خواهیم ببینیم اندازه  عدد گنگ   7 √    روی محور چقدر است .

طول وتر در مثلث قائم الزاویه

  -مثلث قائم الزاویه (2)
یک مثلث قائم الزاویه مثلثی را گویند که یک زاویه راست(90°) دارد. که یک مربع کوچک   در گوشه زاویه راست نشانه ان است    جایی که 90° نوشته شده هرگاه این مربع کوچک را بگذارید دیگر لازم نیست 90°را بنویسید. ما دو نوع زاویه راست داریم.
الف-مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین=  یک زاویه راست داردوهریک از دوزاویه دیگر همیشه 45° هست
ب-مثلث قائم الزاویه مختلف الزاویه= یک زاویه راست داردوهریک زاویه های دیگر با هم مساوی نیستند.
    ج-مثلث3 ،4 ،5  مثلثی   عجیب که یک زاویه راست دارد و بسیار مهم ولازم است . وکاربرد زیاد دارد. به نام مثلث فیثاغورث  هم مشهور است.

در تئوری فیثاغورث  اگر طول وتر را c بنامیم و دوضلع عمود را   a   و   b      بنامیم طول وتر از فرمول   زیر محاسبه می شود.

a2 + b2 = c2ریشه c :

c=\sqrt{a^2+b^2}


Pythagoras

a2 + b2 = c2



ه فرمول توجه کنید.  a2 + b2 = c2          : c2=122=52       c2=169       c=13

مثالright angled triangle

با کمک این تئوری میتوانیم ریشه اعدد 2و3و6و6 و7 و..... را روی محور نمایش دهیم:

مثلث قائم الزاویه رسم کنید که طول قاعده وارتفاع یک سانتیمتر و طول وتر چقدر؟

12 + 12 = c2

1 + 1 = c2

2 = c2

c = √2

irrationals

حالا روی وتر  این مثلث مثلی به قاعده2    و ارتفاع یک واحد رسم کنیم  طول وتر چقدر؟ با کمک تئوری فیثا غورث   طول وتر =3√ .

irrationals - square root 3

و دوباره همینطور   مثلث هایی روی وتر قبلی رسم کنیدطول وتر  4√ = 2.این جا یک عدد گویا به دست آمد

square root 4

ادامه کار تا     5√ و       6√ و     7√   و  8√  که اعداد گنگ هستند  عدد بعدی  گویاست    s: √9 = 3.

irrationals - square root 9

و  10√ و       11√ و     12√   و  13√و   14√ و       15√ و     16√   و  17√عدد گویای بعدی 16√ = 4, .

خالا متوجه شدید که چگونه اعداد گنگ را می توان  به دست اورد

Irrational Numbers
مثال1:
حالا از محور اعداد کمک بگیریم ونمایش هندسی اعداد گنگ را نشان می دهیم. :

ریشه دوم 2 یا 2√را روی محور  نشان دهیم

گام اول I: محور اعداد صحیح را رسم کنید  ومکان غدد 1+ ومنفی 1-و 0 را  نشان دهید

گام II: طرف راست 0 عدد1+   (1) وطرف چپ 0 عدد (1-).

Irrational Numbers Number Line

گام III: ما اغاز کار از   1-  شروع نمی کنیم (.گام IV: فاصله بین  0 و 1  به عنوان واحد درنظر بگیر  , خطی به اندازه  1 واحد عمود بر نقطه (1) رسم کنید ,  .

گام V: فاصله  (0) تا 1  هم یک ضلع داریم .گام VI: که با خط عمود یک زاویه راست ایجاد شد..

گام VII: مثلث  ABC که ضلع  ABارتفاع یا  (خط عمود), BC قاعده مثلث وAC طول وتر مثلث ABC.

Square Root of 2

گام VIII: طول وتر ,  AC را با کمک تئوری فیثاغورت حساب می کنیم. ABC.

   a:         AC2= AB2 +       BC2       

a:     ⟹ AC2

  12+12=

c:                      √2  =      2 ⟹ AC2

      حالا به شعاع AC  دایره به مرکز  C   کمانی رسم می کنیم تا در نقطه     Dمحور را قطع کند

گام X: چون AC شعاع کمان دایره است ودر نقطه  D محور را قطع کرده    طول شعاع CD =  AC   =
2گام XI: بنابراین  نمایش نقطه D روی محور ,   =  2√ 

Square Root of 2 on Number Line
Represent Square Root of 2 on Number Line

2. نمایش    5√روی محور اعداد.حل:رسم محور اعداد :گام I: اعداد 0و1+ و1- را نمایش دهید..گام II: طرف راست 0 عدد1+   (1) وطرف چپ 0 عدد (1-)..

Irrational Numbers Number Line

گام III:ما اغاز کار از   1-  شروع نمی کنیم.گام IV: فاصله بین  0 و 1  به عنوان واحد   درنظر بگیر  , خطی به اندازه  2 واحد عمود بر نقطه (1) رسم کنید ,  ..

گام V:  فاصله  (0) تا 1  هم یک ضلع داریم به طول یک واحدگام VI: که با خط عمود یک زاویه راست ایجاد شد.

گام  مثلث  ABC که ضلع  ABارتفاع اندازه 2 واحد  یا  (خط عمود),  و  BC قاعده مثلث یک واحد  وAC طول وتر مثلث ABC..

Square Root of 5

گام VIII: طول وتر ,  AC را با کمک تئوری فیثاغورت حساب می کنیم. ABC..

AC2= AB2 + BC2

2 AC2= 22 + 1

 AC2= 4 + 1

 AC2= 5 AC =√5

Square Root of 5 on Number Line

گام IX: حالا به شعاع AC  دایره به مرکز  C   کمانی رسم می کنیم تا در نقطه     Dمحور را قطع کند.

گام X: چون AC شعاع کمان دایره است ودر نقطه  D محور را قطع کرده    CD =  AC   = √5 طول شعاع CD =  AC   = 5√ CD =  AC   = 5√

بنابراین       5√  نمایش نقطه D روی محور ,    

Represent Square Root of 5 on Number Line

3.ما می خواهیم به طور متوالی  2√ و3√ را را روی محور نشان دهیم

Square Root of 3
اگر  روی ومحور اعداد که  مثال1  با را دوباره مراحل را طی کنیم و 2√  را نشان دهیم:بنابراین  نمایش نقطهD روی محور ,   =  2√

اگر  روی مثلث  به وتر2√ مثلثی قائم الزاویه به خط عمود 1 واحد و قاعده     =  2√ رسم کنید طول وتر چقد راست

CE2= AC2 + AE2

2 CE2=(√2)2 + 1

3=   C E2
C E    =√ 3        حالا روی محور کمانی به مرکزCوشعاع CEکمانی رسم می کنیم تا محور را در نقطه D قطع کند وچون EC شعاع کمان دایره است ودر نقطه  D محور را قطع کرده    طول شعاع CD =  EC  =  √ 3  =



Square Root of 3 on Number Line
Represent Square Root of 3 on Number Line

اگر به جای نقط 0 از نقطه دی گری کمان بزنیم ان عدد به اندازه کمان اضافه خواهد شد.

نقطه انتهای کمان= عددشعاع+شعاع کمان

در شکل زیر ازنقطه  1 کمان را شروع کردیم پی شروع حرکت 1+ و اندازه کمان2 √می باشد وچون سمت مثبت هاست  پس طول کمان 2√ +

 ونقطه روی محور=      2√  +  1




علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

مجموعه اعداد حقیقی روی محور و به شکل ریاضی

تاریخ:پنجشنبه 11 خرداد 1396-05:06 ق.ظ



عددهای صحیح روی محور:

number line with the integers highlighted

عددهای صحیح = { ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }

number line with the two end arrows pointed out

فلش های دوطرف محورها !  فلش آبی طرف راست محور عددهای صحیح مثبت ادامه دارد..  فلش قرمز  عددهای صحیح منفی طرف چپ ادامه دارد!
 

عددهای حقیقی:

number line with the real numbers highlighted

عددهای حقیقی = مجموع عددهای صحیح وهمه عددهایی که بین عددهای  صحیح قرار دارد: مثال

number line with the real numbers highlighted and several examples of real numbers pointed out

محور عددهای حقیقی.

  محورعددهای حقیقی کلیدی ترین راه وبیشترین کاربرد را در ریاضی دارد. یک محور عددهای صحیح را  رسم کنید و مکان 0  و عددهای مثبت ومنفی را بنویسید
 را نشان دهید, هر نقطه روی محور بین دوعددرا انتخاب کنید عددی را نشان میدهد که جزو عددهای حقیقی حساب می شود
بین دوعدد صحیح روی محور بیشمار عدد حقیقی وجود دارد.:عدد ( پی)  و 3/7- را ببینید

عددهای حقیقی "ملاحظه کنید)" عددهای حقیقی را . عددهای حقیقی مثبت aبزرگتر عددهای حقیقی b کمتر هستند, a>b.

ما می توانیم ییک مجموعه غ=عددهای حقیقی را روی محور نشان دهیم
در ریاضی به طور استاندارد موافقت شده که روی محور اعداد علاماتی قراردادی انتخاب شده که به راحتی برای نشان دادن اعداد حقیقی کاررا اسان می کند.
 برای نشان دادن مجموعهاعدادحقیقی خط فاصله ای رسم می کنیم که  از  نقطه ای که شامل اعداد شود (گردی توپر)  تا مکانی که شامل مجموعه نشودـ (گردی توخالی) دو سر خط فاصله می گذاریم.

روی محور زیر مجموعه اعداد حقیقی  بزرگتراز 2 - وکمتراز 5 را نشان دادیم:
b

."چون مجموعه شامل خودعدد2- نیست وکمتراز -2 هستند، با  (گردی توخالی)    نشان دادیم اعداد کمتراز 5 را جایی بین 4و5

با (گردی توپر) نشان دادیم. زیررا شام مجموع می شود .

مجموعه اعداد حقیقی 3 وکمتراز 3: چون 3 شامل مجموعه هست با  (گردی توپر) نشان دادیم وتا بینهایت ادامه دارد.

  در شکل زیر.

مجموعه اعدادی که با هم ارتباطی ندارند هم روی یک محور نشان دادیم:

الف )مجموعه اعداد بین 1+ و1-   که دوطرف فاصله  با (گردی توخالی)  نشان داده زیر اعدادین 1+ و1-  هستند.

ب)مجموع اعداد بزرگتراز 2 باشند که چون 2 جزئمجموعه نیست با  (گردی توخالی)  و ادامه تا بینهاینت 


یا کل زیر  مجموعه همه اعدادحقیقی به استثنائ 1-و2 :

نماد فاصله چیست.

نماد فاصله بین اعداد حقیقی را با یک خط پررنگ نشان می دهیم:.

مثال ما:فاصله بین  اعداد   2-  و  5]

.

مثال دیگر: اعداد حقیقی از 3 تا منفی بینهایت 3 ، ∞-

 

منفی بینهایت با علامت ∞ -و  مثبت بی نهایت با علامت ∞ + روی محور اعداد حقیقی  نشان می دهیم دوعلامت   ∞ -  و    ∞ +  دو علامتند ولی عدد حقیقی نیستند.فقط به عنوان سمبول   به کار می بریم که روی محور بتوان  مشخص کرد.

علامت " " را به عنوان اجتماع واشتراک در مجموع به کار می بریم

مثال: روی محور   ( ∞  ،  2)     (1، 1-)

i  .

مثال دیگر:  ( ∞ + ،  2)     (2، 1-)    (  1-  ،  ∞ - )


 در اعداد  حقیقی (     ) و [  ]   مفهومی   مثل در باز وبسته عمل کنند  (   √ ،   1-   )   باز   و    [    π  ،  √ - ]   بسته 

باز         ( 5   ،  ∞-   )باز

بسته            ( ∞+   ،   π   ]

   باز وبسته             ( ∞+، ∞-  )


نماد مجموعه.

کمک می کند که فاصله اعداد را رو محور نشان دهید. :    π=عددپی

 a:    { -1    ،π ، √10     }

این مجموعه 3 عضو دارد.

displaymath153

3 عضو 1- , tex2html_wrap_inline171 و tex2html_wrap_inline173 .

معمولا مجموعه ها را برای راحتی وخلاصه نویسی با نماد مشخص می کنند..

علاوم ونماد هایی که بیشتر در ریاضی کاربرد دارند:

  • N نشانه    عددهای طبیعی  1, 2, 3, ...
  • Z عددهای صحیح  0, 1, -1, 2, -2, .... چرا  Z?  'نماد' علامت المانی 'Zahl'.
  • Q مجموعه اعداد گویا  (عددهایی که بتوان به کسرنوشت). چرا Q  ؟Qنماد کلمه  خرج قسمت'=quotient
  • می دانیم که : نماد اعداد  حقیقی R  هست; 
  • R مجموعه اعداد حقیقی, شامل همه اعداد چه گویا وچه گنگ tex2html_wrap_inline175 .
  • C مجموعه اعداد  مختلط.
  • ∅  علامت تهی که هیچ عضوی ندارد..

این مجموعه را می توان به شکل زیر نوشن (5  ,3-] 

a:   {      X      E    R    |       -3<     x  ≤5   }                     :

displaymath154

b:         -3<     x  ≤5   می خونیم   همه اعداد حقیقی  به ازای    " |"    اعدادما از -3 بزرگتر و مساوی 5 وکمتر

علامت جدا کننده قسمت اول از قسمت دوم " tex2html_wrap_inline183 "  .

مجموع اعداد:

a:   {      X      E    Z    |       -3<     x  ≤5   }  

displaymath155

مجموعه اعدا دx عضو  ( Z  ) اعداد صحیح  ، که  از  3 -بیشتر  وکمتر از 5 و خود5  = {  0,1,2,3,4,5 ,1- , 2-     }

displaymath156

مجموع اعداد :

a:                         {      X      E    N    |       -3<     x  ≤5   }  

displaymath157

مجموعه اعدا دx عضو  ( N  ) اعداد طبیعی  ، که  از  3 -بیشتر  وکمتر از 5 و خود 5: {  1,2,3,4,5     }

displaymath158

مثال دیگر:

چگونه بنویسیم:   ( ∞ + ،  3)                      

               a:   {      X      E    R    |           x  >3   }                                    

displaymath159

مجموعه  ( ∞  ،  0)     (0، -)  را چگونه بنویسیم؟

a:   {      X      E    R    |           x  ≠0   }     

یا مثل این:

a:   {      X      E    R    |               x < 0, X  >   0   } 

تمرین  1.  با علائم ریاضی نشان دهید:

همه اعداد حقیقی بین و عدد پی      2- و tex2html_wrap_inline171 .

حل .

a:                               {      X      E    R    |    -2 < x   <  tex2html_wrap_inline171       }            

displaymath191

تمرین 2.

   مجموعه  ( ∞  ،  3)     [1، 2√-)  را چگونه بنویسیم؟.

حل:2. 

 {         3<     1 ,      X      E    R    |    -2 ≤ x          }

تمرین  3.

برای شکل مجموعه بنویسید: به دو صورت ریاضی  و

حل 3.به صورت ریاضی : ( ∞  ،  2)     (2، 0  .

نماد:

a:      {         x     E    R    |      x    ≥  0   ,    x    ≠  2  }

تمرین 4.روی محور نشان دهید:

displaymath203

مجموعه x  عضو اعداد صحیح  که بیشتر از کسر 3/4 و مساوی و کوچکتراز کسر 17/5

حل.

فقط 3 عضو دارد : 1, 2, و 3.

تمرین 5. حل  نامساوی  و روی محور نشان دهید:

 a:                       2-x  ≤   x+3    

حل 5.


ساده می کنیم و xواعداد را به طرفین می بریم:

  a:                       2  ≤   2x+3

 a:                       -2  ≤   2x

طرفین را بر 2 تقسیم کنید:

1/2 -≤    x :


روی محور":

می نویسیم:

displaymath210

مجموعه :

displaymath211





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

مکعب عدد دورقمی

تاریخ:دوشنبه 8 خرداد 1396-06:31 ق.ظ

ریشه سوم یک عددچگونه محاسبه می شود؟

مکعب یک عدد چیست؟

چه عددی مکعب کامل است؟

ک.م.م از راه مضرب و تجزیه نردبانی

e:                                    (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³    .

روش اول:

  مکعب مجموع دوعدد که جمله اول  = a وجمله دوم    b,باشد                                         3 (  a+b ‌)    
مکعب جمله اول + 3برابر مجذورجمله اول درجمله دوم+3 برابر جمله اول در مجذور جمله دوم+مکعب جمله دوم

a³, (3a² × b), (3a × b²) , b³                                    : e:

شرح مراحل راه دوم:


a² × a = a³; 

a² × 3b = 3a²b; 

b² × 3a = 3ab²; 

b² × b = b³;

با کمک فرمول مکعب عدد 29 را حساب می کنیم:حل:راه اول

مکعب یکان + 3برابر مجذور یکان  × دهگان   + 3 برابر مجذور دهگان × یکان  + مکعب دهگان

الف) گسترده  بنویس . 29= (  9+20 ).جمله اول9 وجمله دوم 20

ب)مکعب جمله اول=9×9×9=729

ج)3برابر مجذورجمله اول   × جمله دوم                 0 486   =20  × (9×9) 3 

د) 3 برابر مجذور جمله دوم  × جمله اول=          10800   =9  × (20×20) 3
ر) مکعب جمله دوم=     20×20×20=  8000

     24389 = 729+4860+10800+ 8000

روش دوم    اسان تر است    :اگر    , a = 2 و b =9.

اگر    , a = 2 و b =9.

a² × a = a³

a² × 3b = 3a² × b

b² × 3a = 3a × b²

b² × b = b³       در جدول زیر مراحل را نشان دایم


Method for Finding the Cube of a Two-Digit Number

پس      e,:                           (29)³ = 24389

2. پیداکنید f :    (71)³   راه کوتاه  .

حل:

Method for Finding the Cube of a Two-Digit Number

اگر                 , a = 7 و b = 1

a² × a = a³;

a² × 3b = 3a² × b;

b² × 3a = 3a × b²;

b² × b = b³

پس     e,: (71)³ = 357911
مکعب عددهای زیر را از راه کوتاه محاسبه کنید

1.a:                     (25)³

2.b:                      (47)³

3. c:                      (68)³

4.d:                          (84)³




علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

ریشه سوم یک عددچگونه محاسبه می شود؟

تاریخ:دوشنبه 8 خرداد 1396-06:29 ق.ظ

چه عددی مکعب کامل است؟

مکعب یک عدد چیست؟

روش نردبانی-ستونی ک.م.م و ب.م.م

ک.م.م از راه مضرب و تجزیه نردبانی


ریشه سوم عدد  ∛ رادیکال با فرجه 3

اگر عددی  زیر رادیکال با فرجه 3به توان 3 برسد توان عدد با توان فرجه ساده می شود وعدد از زیر رادیکال ازاد می شود.

T:ریشه سوم   b:                 ∛x

=4×4×4= 4364

داخل رادیکل میبریم:
T:                             , 3√64 =  64 = 3∛4 × 4 × 4 = ∛4³ = 4

توان3 با فرجه 3 ساده می شود
مثال:

(i) S:                                        (2 × 2 × 2) = 8, ماداریم   2=  23 =   8∛

(ii) ریشه سوم 125         چون     (5 × 5 × 5) = 125,       e: ∛125 = 5

روش پیداکردن ریشه سوم یک عدد

روش تجزیه عدد نردبانی:  روی لینک کلیک کن

روش نردبانی-ستونی ک.م.م و ب.م.م


گام اول I. تجزیه عدد به  شمارنده های اول.

گام 2 II. شمارنده ها را مرتب کنید با توان .

گام III. پیدا کردن عدد عددی که توان 3 دارد .

گام IV. عددی که توان 3 دارد توان با فرجه ساده شده از رادیکال آزاد می شود ( خارج می شود).

نکته:

اگر گروه اعداد توان 3 ندارند عددریشه سوم ندارد..

مثالهای زیر کمک به حل مثالها برای ریشه سوم

1. ریشه سوم عدد    t:            ∛216

حل:
تجزیه به عددهای اول  با روش نردبانی و به صورت توان بنویسی


216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

= (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3)

e:                                       , ∛216 = (2 × 3) = 6

2. ریشه سوم عدد     t:                  ∛343

حل:
تجزیه به عددهای اول  با روش نردبانی و به صورت توان بنویسی


343 = 7 × 7 × 7

= (7 × 7 × 7).
e:, ∛343 = 7

3. ریشه سوم عددt:                  ∛2744


حل:
تجزیه به عددهای اول  با روش نردبانی و به صورت توان بنویسی
:



2744 = 2 × 2 × 2 × 7 × 7 × 7

= (2 × 2 × 2) × (7 × 7 × 7).

e:,                     ∛2744 = (2 × 7) = 14

ریشه سوم عددهای منفی

اگر (a) عدد صحیح مثبت باشد. پسa-,:        (-a) عدد صحیح منفی است.
می دانیم  که هر عدد منفی به توان فرد برسد همام منفی  می ماند       :t :                                  (-a)³ = -a³.

پس ریشه سوم عددهای منفی        ،   منفی هستند.              e:, ∛-a³ = -a.

    ریشه    سوم عددمنفی  (-a³) = -( a³).                             :                     T     

s,:                     = ∛-x = - ∛x



مثال:

ریشه      سوم عدد منفf:                         (-1000).

حل:

t:                           ∛-1000 = -∛1000  اگر

تجزیه  1000 به شمارنده های اول


1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5

= (2 × 2 × 2) × (5 × 5 × 5)
e:                      , ∛1000 = (2 × 5) = 10 پس:

e:, ∛-1000 = -(∛1000) = -10

ریشه سوم عددهای زیر کدامند.:

e:               , ∛ab = (∛a × ∛b).

مثال:
1. ریشه سوم عدد      e: (125 × 64).

حل:

(125 ∛× 64∛)                          e:    

= ∛125 × ∛64

= [{5 × 5 × 5}∛] × [{4 × 4 × 4}∛]

= (5 × 4)

= 20

2. ریشه سوم عددe: ∛(27 × 64).

ح:


(∛27 × 64∛)

= 27∛ × 64∛         a:

= [{3 × 3 × 3}∛] × [{4 × 4 × 4}∛]


= (3 × 4)

= 12



3. ریشه سوم         e: ∛[216 × (-343)].

حل:


[216 × (343-)]    ∛      : e:             

= 216∛ × 343- ∛

= [{6 × 6 × 6}∛] × [{(-7) × (-7) × (-7)}∛]

= [6 × (-7)] = -42.

ریشه سوم عددهای گویا ( عددهایی که بتوان به کسر نوشت  علامت   /   خط کسری:

e:      ∛(a/b) = (∛a)/(∛b)


مثال:ریشه سوم کسر زیر چقدر؟

حل:

{(216/2197) ∛


حل:

(216/2197) 


  2197   /   216 ∛         a:

= [(6 × 6 × 6)∛]/[ (13 × 13 × 13)∛]

= 6/13

ریشه سوم کسر:

صرت ومج هرکسر را به شمارنده های اول تجزیه کنید و به صورت حاصل ضرب عددهای توان دار بنویس .اگر هر عامل به توان 3 باشد ریشه سوم هم دارد.

اگرa وb دوعدد طبیعی باشند,پس     n:                    ∛(a/b) = (∛a)/(∛b)

مثال:

∛(-125/512)

= (512-∛)/125 ∛

= {(5-) × (5-) × (5-)∛}/{8 × 8 × 8} ∛

= 5/8 -

ریشه سوم عددهای اعشاری:

عددهای اعشاری را به صورت کسر تبدیل کنید و صورت ومخرج را هریک به عاملهای اول تجزیه کنید. وبه صورت ضرب شمارنده ها بنویسید.

مثال:

پیدا کنید ریشه سوم عدد        f:                  5.832.

حل:ما عدد اعشاری را به کسر تبدیل می کنیم:


تبدیل   5.832 به صورت کسر   ,  5832/1000

حالاw: ∛5832/1000 = ∛5832/∛1000

= (2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3)∛/(2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5)∛

= 2 × 3 × 3/2 × 5

= 18/10

= 1.8



علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

چه عددی مکعب کامل است؟

تاریخ:دوشنبه 8 خرداد 1396-06:24 ق.ظ

ریشه سوم یک عددچگونه محاسبه می شود؟

چه عددی مکعب کامل است؟

روش نردبانی-ستونی ک.م.م و ب.م.م

مکعب یک عدد

مکعب کامل  = حاصل عددی به توان3 رسیده است  یاحاصل عددی که  3 بار در خودش ضرب شده باشد را مکعب کامل گوییم.
چگونه بفهمیم که عددما مکعب کامل هست یا خیر?

حل:  الف:   عددرا با روش ستونی یا نردبانی به شمارنده های اول تجزیه کنید: کلیک کنید
 اگر  هرشمارنده اول 3 بار در خودش ضرب شده پس مکب کامل است

مثال : کدام عدد مکعب کامل نیست ؟: عدد را باروش ستونی نردبانی به شمارنده های اول تجزیه کنید:

1.


(i) 250

(ii) 5832

(i) 250


حل: تجزیه به شمارنده اول

 250 2
 125 5
 25 5
 5 5
 1 

Perfect Cube

250 = 2 × 5 × 5 × 5

2 به توان یک رسیده  بنابراین 250 مکعب کامل نیست..

ii) 5832

حل: تجزیه به شمارنده اول

 5832 2
 2916 2
 1458 2
 729 3
 243 3
81
3
 27 3
 9 3
 3 3
 1 
  


Perfect Cube


5832 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3

هریک از شمارنده ها به توان3 رسیده  پس عددمکعب کامل است.

 
2. پیدا کنید که ایا 1944 مکعب کامل است؟
تجزیه به شمارنده اول:

حل:  الف:   عددرا با روش ستونی یا نردبانی به شمارنده های اول تجزیه کنید: کلیک کنید
 اگر  هرشمارنده اول 3 بار در خودش ضرب شده پس مکب کامل است


Perfect Cube


1944 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3

بعد از تجزیه به شمارنده های اول  میبینیم که 3 یکبار به توان 3 رسیده اما 3 بعدی به توان2 هست که  عدد مکعب کامل نیست وباید در عدد 3 ضرب شود تا مکعب کامل شود.


3. پیدا کنید کوچکترین عددی که باید عدد 4394 بر ان تقسیم شود تا مکعب کامل شود کدامست؟.

حل:  الف:   عددرا با روش ستونی یا نردبانی به شمارنده های اول تجزیه کنید: کلیک کنید
 اگر  هرشمارنده اول 3 بار در خودش ضرب شده پس مکب کامل است

 4394 2
 2197 13
 169 13
 13 13
 1 


Perfect Cube


4394 = 2 × 13 × 13 × 13
باید عدد 4394را بر2 تقسیم کنید =2197





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

مکعب یک عدد چیست

تاریخ:دوشنبه 8 خرداد 1396-06:20 ق.ظ

روش نردبانی-ستونی ک.م.م و ب.م.م


ریشه سوم یک عددچگونه محاسبه می شود؟

چه عددی مکعب کامل است؟

روش نردبانی-ستونی ک.م.م 2عددیا بیشتر قسمت2روشی جالب

اگر عدد را 3 بار در خودش ضرب کنید می گوییم مکعب ان عدد
 
یا اینکه عدد را بنویسیم و توان 3 بالای ان قرار دهیم:



می خوانیم xبه توان3 “ مکعب   x”.


مکعب عدد:

عددی را 3 با در خودش ضرب کردیم مکعب عدد گوییم .

مثال     , توضیح ان , مکعب عدد m  = m × m × m, یعنی     m³.

مثال:

(i) 2³ = (2 × 2 × 2) = 8.

مکعب2=   8.

(ii) 3³ = (3 × 3 × 3) = 27.

مکعب3= 27.

(iii) 4 × 4 × 4 = 64,اینجا 64 مکعب  4       هست.

(iv) 5 × 5 × 5 = 125,اینجا 125 مکعب 5

یک عدد طبیعی (n) مکعب ان (n = m³) .

مثال:

1³ =1

2³ = 8

3³ =27

4³ =64

5³ =125,غیره.

بنابراین 1, 8, 27, 64, 125, غیره. مکعب کامل هستند.

مکعب کامل  = حاصل عددی به توان3 رسیده است  یاحاصل عددی که  3 بار در خودش ضرب شده باشد را مکعب کامل گوییم.

مکعب عددهای منفی:

مکعب عددهای منفی همیشه منفی است.

مثال:

(1-)³ = (1-) × (1-) × (1-) = 1-

³ (2-)= (2-) ×  (2-) × (2-) = 8-

³ (3-) = (3-) × (3-) × (3-) = 27-, غیره.

مکعب عددهای گویا: گویا عددهایی که به کسر بتوان نوشت. کسرهایی که به توان 3 برسند صورت ومخرج هریک به توان 3 می رسند   .   (  /  علامت خط کسری)

W:                                        , (a/b) ³ = a/b × a/b × a/b = (a × a × a)/(b × b × b) = a³/b³

e:                                 , (a/b) ³ = a³/ b³

مثال:

(i)     a :                                         (3/5) ³ = 3³/5 ³ = (3 × 3 × 3)/(5 × 5 × 5) = 27/125                                     

(ii) b:                            (-2/3) ³ = (-2) ³/ 3³ = {(-2) × (-2) × (-2)}/(3 × 3 × 3) = -8/27

خواص مکعب اعداد:

(i) مکعب اعداد فر د،   فرد می شود.

(ii) مکعب اعداد زوج ، زوج می شود.

مکعب کامل عدد گام به کام;

1. نشان دهید که عدد 189 مکعب کامل نیست.
حل:  الف:   عددرا با روش ستونی یا نردبانی به شمارنده های اول تجزیه کنید: کلیک کنید

الف: عددرا با روش ستونی یا نردبانی مشاهده کنید:

 سمت راست عدد و خارج قسمتها -سمت چپ شمارنده های اول  ، که عدد بران تقسیم شود.

 189 3
 63 3
 21 3
 7 7
 1 


189 = 3 × 3 × 3 × 7

به صورت ضرب شمارنده های اول  می نویسیم.

بنبراین , 189 نمی توان مکعب کامل باشد زیرا 7  به توان 1 هست .

2. نشان دهید که عدد 216 مکعب کامل هست

حل:
الف:   عددرا با روش ستونی یا نردبانی به شمارنده های اول تجزیه کنید: کلیک کنید


216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3)

= (6 × 6 × 6)

= 6³

بنابراین , 216 مکعب کامل است زیرا هر عدد اول توان 3 دارد.

وهمچنین 6 به توان3=216

3. کوچکترین عددی که  لازم داریم تاعدد 3087  مکعب کامل شود  را پیدا کنید.

حل:
الف:   عددرا با روش ستونی یا نردبانی به شمارنده های اول تجزیه کنید: کلیک کنید

 3087 3
 1029 3
 343 7
 49 7
 7
1
 7

3087 = 3 × 3 × 7 × 7 × 7

می بینیم که 3 باید به توان 3 برسد پس عدد 3 لازم داریم.

4. . کوچکترین عددی که  لازم داریم تاعدد 392  مکعب کامل شود  را پیدا کنید. حل:

حل: الف:   عددرا با روش ستونی یا نردبانی به شمارنده های اول تجزیه کنید: کلیک کنید

 392 2
 196 2
98
 2
 49 7
 7 7
 1 


392 = 2 × 2 × 2 × 7 × 7
واضح است که ما  (7 × 7), داریم وباید7 به توان3 برسد  پس عدد مورد لزوم7  هست.

5.مکعب هریک از اعداد زیر را حساب کنید:: :

A:                              (i) (-70 )          (ii) 1²/₃          (iii) 2.5          (iv) 0.06

حل:

(i)    a:                               (-7)³


b:                    = (-7) × (-7) × (-7)

= 343 -


(ii)  a:                    (1²/₃)³

b:                          = (5/3) ³

= 5³/3³

= (5 × 5 × 5)/(3 × 3 × 3)

= 125/27


(iii) a:                               (2.5)³

b:                               = (25/10)³

c:                                  = (5/2)³

= 5³/3³

= (5× 5 × 5)/(3× 3× 3)

= 125/27



(iv)a:                             (0.06) ³

b:                                    = (6/100)³

c:                          = (3/50)³ = 3³/(50)³

= (3 × 3 × 3)/(50 × 50 × 50)

= 27/125000



علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

روش نردبانی-ستونی کوچکترین و بزرگترین مضرب مشترک1

تاریخ:شنبه 6 خرداد 1396-07:07 ق.ظ

مضربهای یک عددقسمت1

ک.م.م از راه مضرب و تجزیه2


برای پیداکردن .ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد ) گام های زیر لازم است .

گام1: یک خط عمودی رسم کنید و با خطهای افقی خط را به چند قسمت تقسیم کنید تا عملیات جدا شوند:

عدداصلی سمت راست    مینویسیم ودوباره جواب تقسیم را زی عدداصلی  وبرعددهای اول که تقسیم می شوند  سمت چپ 



گام2: هر عدد اصلی را  بالا راست یاچپ  خط  بنویسید فرقی ندارد  وبر کوچکترین اعداد اول  بخش پذیر تقسیم کنید ان را  روبروی عدداصلی بنویسید.

گام 3:زیرانها خط می کشیم .پاسخ تقسیم را زیر عدد اصلی  ردیف دوم میگذاریم.

گام 4:عددجدید را بر عدداول بخشپذیر بران دوباره تقسیم می کنیم  ادامه می دهیم .


گام 5:  عددهای اول  دراین جا سمت چپ را  به صورت ضرب می نویسیم: 


مثال زیر .


1. ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد )  21 و 49 با روش تجزیه به اعداد اول کدامند?
 الف: تجزیه به عددهای اول و به صورت توان بنویسی

ب‌:  حاصل ضرب عوامل مشترک با توان بزرگتر و عوامل غیر مشترک



راه حل گام به گام :


هر عدد رابه صورت ضرب  شمارنده های اولمی نویسیم .

21 = 3 × 7

49 = 7 × 7 = 7²
 


= 3 × 7² = 3 × 7 × 7 = 147. 

ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد )  21 و49 = 147

. ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد )36 و 14با تجزیه به شمارنده های اول روش  نردبانی یا ستونی کدام است?
حل:  الف: تجزیه به عددهای اول و به صورت توان بنویسی

ب‌:  حاصل ضرب عوامل مشترک با توان بزرگتر و عوامل غیر مشترک





هر عدد رابه صورت ضرب  شمارنده های اول می نویسیم .

36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²

14 = 2 × 7

= 2² × 3² × 7 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 252.
ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد )  36 و 14 = 252.



3. ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد ) 5, 4 با تجزیه به شمارنده های اول روش  نردبانی یا ستونی کدام است?

حل : جدا جدا رسم ستون



هر عدد رابه صورت ضرب  شمارنده های اول می نویسیم ..

5 = 5 × 1.

4 = 2 × 2.

16 = 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁴.

= 2⁴ × 5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 = 80.

ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد ) 5, 4 و 16 = 80.



4. پیداکنی ( ک.م.م) 504 و 594 با تجزیه به شمارنده های اول  روش  نردبانی یا ستونی.

حل:


پیداکنیدک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد ). 504و594.

504 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 2³ × 3³ × 7.

594 = 2 × 3 × 3 × 3 × 11 = 2 × 3³ × 11.

= 2³ × 3³ × 7 × 11 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 7 × 11 = 16632.

ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد )504 و 594 = 16632.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد( ب.م.م) با روش ستونی یا نردبانی

یکی از روش های محاسبه ب م م یا همان بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد ، تجزیه آنها به روش نردبانی و نوشتن اعداد به صورت حاصلضرب شمارنده های اول است. این جمله رو به خاطر بسپارید :

ب. م. م برابر است با حاصلضرب شمارنده های اول مشترک با کمترین توان.یا تکرار

مثال وحل پاسخ در پایین صفحه

در سوالهای ریر ب.م.م وک.م.م را حساب کنید

I. پیداکنید  بزرگترین مقسوم علیه مشترک ( ب.م.م):

الف: تجزیه به عددهای اول و به صورت توان بنویسی
ب.م.م=حاصلضرب شمارنده های اول مشترک با کمترین توان

(i) 48, 56, 72

(ii) 198, 360

(iii) 102, 68, 136

(iv) 1024, 576

(v) 405, 783, 513


II.پیدا کنید ب.م.م اعدا را با روش نردبانی  ستونی:

الف: تجزیه به عددهای اول و به صورت توان بنویسی
ب.م.م=حاصلضرب شمارنده های اول مشترک با کمترین توان

(i) 84, 144

(ii) 120, 168


(iii)430, 516, 817
iv) 632, 790, 869

(v) 291, 582, 776

(vi) 219, 1321, 2320, 8526


III. پیدا کنید ک.م.م اعدا را با روش نردبانی  ستونی:


حل:  الف: تجزیه به عددهای اول و به صورت توان بنویسی

ب‌:  حاصل ضرب عوامل مشترک با توان بزرگتر و عوامل غیر مشترک

(i) 16, 24, 40

(ii) 40, 56, 60

(iii) 207, 138

(iv) 72, 96, 120

(v) 120, 150, 135

(vi) 102, 170, 136

.


پاسخ ها:

I. :

 (i) 8

(ii) 18

(iii) 34

(iv) 64

(v) 27

II.

 (i) 12

(ii) 24

(iii) 43

(iv) 79

(v) 97

(vi) 1

III.

 (i) 240

(ii) 840

(iii) 414

(iv) 1440

(v) 5400

(vi) 2040





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

ک.م.م از راه مضرب و تجزیه2

تاریخ:شنبه 6 خرداد 1396-07:02 ق.ظ

قبل از شروع قسمت اول را کلیک کنید ومطالعه کنید.

 مضربهای یک عددقسمت1

مضربهای یک عدد  یعنی در1و2و3و4و..... ضرب شوند دراین ضورت مضربهای هرعدد بران عدد بخشپذیرند
مضرب مشترک دوعدد یا بیشتر  :عددهایی  هستندکه دقیقا بر هریک از ان اعداد بخشپذیر باشند.



ادامه بحث.

(i) مضرب های  3 عبارتند از: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …………وغیره.

مضرب های 4عبارتند از: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, …………… وغیره.

بنابراین, مضرب مشترک 3 و 4 = 12, 24, ………..وغیره.

[مضرب مشترک 12, 24, وغیره., iدقیقا بر هردو 3 و 4بخشپذیرن].



(ii) مضرب های 2 عبارتند از: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ………… وغیره.

مضرب های5 عبارتند از: 5, 10, 15, 20, 25, ………… وغیره.


بنابراین, مضرب مشترک 2 و 5 = 10, 20, ………..وغیره.

[مضرب مشترک 10, 20, وغیره., دقیقا بر هردو2و5 بخشپذیرند].



(iii) مضرب های 2 عبارتند از: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ……وغیره.

مضرب های3 عبارتند از: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ………… وغیره.

مضرب های6 عبارتند از = 6, 12, 18, 24, …………… وغیره.


بنابراین, مضرب مشترک 2, 3 و6 = 6, 12, 18, 24, ……….وغیره.

[مضرب مشترک 6, 12, 18, 24, وغیره, دقیقا بر هر3 بخشپذیرند 2, 3 و 6

ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک دوعدد ) دوعد دیا بیشترکوچکترین عددی است که بردوعدد یا بیشتر بخشپذیراست. 

ک.م.م .  2, 3 و 4.

 راه حل ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک دوعدد )اول :راه مضربها

 الف - اول مضربهای هر عددرا می نویسیم:

مضربهای  2عبارتند از 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, ...... وغیره.  

مضربهای3 عبارتند از 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ......  وغیره.

مضربهای 4عبارتند از 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...... وغیره.

ب - مضرب مشترک هرسه عدد  2, 3 و 4 عبارتند از 12, 24, 36, ......  وغیره.

ج - ک.م.م یا کوچکترین مضرب مشترک هرسه عدد  2, 3 و 4 عبارت است از 12

ادامه کار:.

(i) 12  ک.م.م یا کوچکترین مضرب مشترک هر2 عدد 3 و 4 هست.

(ii) 6ک.م.م یا کوچکترین مضرب مشترک عددهای 2, 3 و 6. 

(iii) 10 ک.م.م یا کوچکترین مضرب مشترک عددهای2 و 5. 

راه حل دوم ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد )راه تجزیه کردن اعداد:


پیدا کردن ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد ) 24, 36 و 40,

 الف: تجزیه به عددهای اول و به صورت توان بنویسی

ب‌:  حاصل ضرب عوامل مشترک با توان بزرگتر و عوامل غیر مشترک

24 = 2 × 2 × 2 × 3 =×31× 23

36 = 2 × 2 × 3 × 3 =32   ×    22

40 = 2 × 2 × 2 × 5 =23×51

ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد ) 24, 36 و 40,ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد ) 24, 36 و 40,

ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد ) 24, 36 و 40,=     51×   32 ×   23   =

    360= 5×9× 8

مثالهای پایین ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد ) محاسبه شدندو :

پیدا کنید ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد ) 8, 12, 16, 24 و 36

 الف: تجزیه به عددهای اول و به صورت توان بنویسی

ب‌:  حاصل ضرب عوامل مشترک با توان بزرگتر و عوامل غیر مشترک

8= 2 × 2 × 2 =23

12 = 2 × 2 × 3 =22×31

16 = 2 × 2 × 2 × 2 =24

24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23×31

36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 22×32

ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد ) 8, 12, 16, 24 و 36 =

24×32 = 144




علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

مضربهای یک عددقسمت1

تاریخ:شنبه 6 خرداد 1396-07:00 ق.ظ



مضربهای یک عدد  یعنی در1و2و3و4و..... ضرب شوند دراین ضورت مضربهای هرعدد بران عدد بخشپذیرند: وبران عدد تقسیم می شوند
می خواهیم که مثالهایی بزنیم ومفهوم را واضحتر بنویسیم:.


(i) مضربهای 4 عبارتند از: 4, 8, 12, 16, 20, 24……………, وغیره. که تمام انها دقیقا بر 4 بخشپذیرند .


(ii) همینطور, مضربهای  5 عبارتند از5, 10, 15, 20, 25, 30……………, وغیره. که تمام انها دقیقا بر 5 بخشپذیرند .


(iii) مضربهای7 عبارتند از 7, 14, 21, 28, 35, 42……………, وغیره. که تمام انها دقیقا بر 7 بخشپذیرند.


(iv) مضربهای9 عبارتند از 9, 18, 27, 36, 45, 54……………, وغیره. که تمام انها دقیقا بر9 بخشپذیرند.


(v) مضربهای 12 عبارتند از 12, 24, 36, 48, 60, 72……………, وغیره. که تمام انها دقیقا بر12 بخشپذیرند.


مضرب مشترک دوعدد یا بیشتر  :عددهایی  هستندکه دقیقا بر هریک از ان اعداد بخشپذیر باشند:


(i) مضربهای 3 عبارتند از: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …………وغیره.

مضربهای  4 عبارتند از: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, …………… وغیره
بنابراین, مضرب مشترک 3 و 4 = 12, 24, ………..وغیره.
می بینیم که 12, 24, و...مضرب مشترک  هستند که دقیقا بر 3و  4]بخشپذیرند



(ii) مضربهای2 عبارتند از: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ………… وغیره.

مضربهای 5 عبارتند از: 5, 10, 15, 20, 25, ………… وغیره.

بنابراین, مضرب مشترک 2 عبارتنداز 5 = 10, 20, ………..وغیره.
هریک ازاعداد  10, 20, ....., مضرب مشترک  هستند که دقیقا بر 2 و 5]بخشپذیراست.



(iii) مضربهای 2 عبارتند از: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ……وغیره.

مضربهای3 عبارتند از: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ………… وغیره.

مضربهای 6 عبارتند از = 6, 12, 18, 24, ……………وغیره.

بنابراین, مضرب مشترک 2, 3 عبارتنداز 6 = 6, 12, 18, 24, ………..وغیره.

[هریک از اعداد 6, 12, 18, 24, مضرب مشترک  هستند که دقیقا  بخشپذیربر 2, 3 و 6



علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

روش نردبانی-ستونی ک.م.م 3 عددقسمت2روشی جالب

تاریخ:شنبه 6 خرداد 1396-06:51 ق.ظ

لطفا اول

روش نردبانی-ستونی ک.م.م و ب.م.م1

را مطالعه کنید

مضربهای یک عددقسمت1

ک.م.م از راه مضرب و تجزیه2

برای پیدا کردن ک.م.م گام های زیر لازم است.

گام1: یک خط عمودی رسم کنید و با خطهای افقی خط را به چند قسمت تقسیم کنید تا عملیات جدا شوند:

عدداصلی سمت راست    مینویسیم ودوباره جواب تقسیم را زی عدداصلی  وبرعددهای اول که تقسیم می شوند  سمت چپ 



گام2: هر عدد اصلی را  بالا راست یاچپ  خط  بنویسید فرقی ندارد  وبر کوچکترین اعداد اول  بخش پذیر تقسیم کنید ان را  روبروی عدداصلی بنویسید.

گام 3:زیرانها خط می کشیم .پاسخ تقسیم را زیر عدد اصلی  ردیف دوم میگذاریم.

گام 4:عددجدید را بر عدداول بخشپذیر بران دوباره تقسیم می کنیم  ادامه می دهیم .


گام 5:  عددهای اول  دراین جا سمت چپ را  به صورت ضرب می نویسیم:

1.  پیدا کنید ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد )20 و 30 با روش  نردبانی با تجزیه به شمارنده های اول.

حل:الف: تجزیه به عددهای اول و به صورت توان بنویسی

ب‌:  حاصل ضرب عوامل مشترک با توان بزرگتر و عوامل غیر مشترک

least common multiple (L.C.M) of 20 and 30

ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد ) 20 و 30 = 2 × 2 × 5 × 3 = 60.



2. پیدا کنید ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد )50 و 75 با روش  نردبانی با تجزیه به شمارنده های اول.

حل:

Least Common Multiple (L.C.M) of 50 and 75

ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد ) 50 و 75 = 5× 5 × 2 × 3 = 150.

حالا اگر ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد )2 عدد یا بیشتر را بخواهیم:


ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد ) 120, 144, 160 و 180 باروش تجزیه ستونی-نردبانی.

اعداد 120, 144, 160 و 180  را بالای جدول ستونی جدا جدا با فاصله می نویسیم .

  هر4 عدد بران2  بخش پذیر است  را در مقابل انها می نویسیم وهمه را بر 2 تقسیم کرده خارج قسمت را زیر هرعدداصلی در جدول بنویس

 180  160     144      120
 2
 90     80      72          60
 

دوباره میبینیم که هر4 عدد بر2 بخشپذیر است   2 را ردیف دوم مقابل  خارج قسمتها بنویس.

 180  160  144  120
 2


90   80    72     60
45   40   36    30
45   20   18   15
45  10    9     15
15    10    3     5


 2
2
2
3
3

 ردیف 4 توجه توجه: درریف سوم 45 بر2 بخش پذیر نیست اما 40 و36و30 بر2 هنوز بخش پذیر است

 بنابراین خود 45 را می نویسیم  وبقیه را بر 2 تقسیم می کنیم ودر ردیف چهارم خارج قسمتها را می نویسیم

ردیف5: در ردیف 4  فقط 20 و18 بر2 بخش پذیرند پس 45و15  خودش را می نویسیم و18 و20 رابر2 تقسیم می کنیم. ودر ردیف 5 می گذاریم.

ردیف  6 :     در ردیف 5   عددهای 15 و45و 9 بر3 بخش پذیرند 3 را مقابل اعداد در چپ نوشته و خارج قسمت انها را در ردیف  6 می گذاریم.و10 را خودش را می نویسیم.

ردیف 7 : اعداد 15و3  در ردیف 6 به عدد 3 بخش پذیر است 3 را در ردیف 6 چپ می نویسیم واعدادردیف 6  را بر3 تقسیم کرده در ردیف 7 خارج قسمت را نوشتیم.

ادامه کار تا همه به خارج قسمت 1 برسند.

Lowest Common Multiple by using Division Method

کوچکترین مضرب مشترک   اعداد = . 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 2 = 1440.

حاصل ضرب عوامل مشترک با توان بزرگتر و عوامل غیر مشترک اعداد120و144و160 و 180 =1440
چند تمرین:

1. پیدا کنید ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد )18 و 24روش تقسیم به شمارنده های اول  راه نردبانی?

حل:

ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد )18 و 24 = 2 × 2 × 3 × 2 = 24

پیدا کنید ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد ) 32 و 60 روش تقسیم به شمارنده های اول  راه نردبانی?

حل:


ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد )32 و 60 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 480.



3. پیدا کنید ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد ) 30 و 33روش تقسیم به شمارنده های اول  راه نردبانی?

حل:



ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد ) 30 و 33 = 3 × 2 × 5 × 11 = 330.



4. پیدا کنید ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد ) 104 و 169روش تقسیم به شمارنده های اول  راه نردبانی?

حل:


ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد ) 104 و 169 = 13 × 13 × 2 × 2 × 2 =1352


1. پیدا کنید ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد ) 3, 12 و 16 روش تقسیم به شمارنده های اول  راه نردبانی?

حل:


ک.م.م( کوچکترین مضرب مشترک اعداد )3, 12 و 16 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 = 48. 





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

مخرج مشترک معادلات کسری 2

تاریخ:چهارشنبه 3 خرداد 1396-07:05 ب.ظ


معادلات کسری2


معادلات کسری 1مقدمه

مخرج مشترک معادلات کسری 1مقدمه

حتما قسمت مخرج مشترک 1 مقدمه را بخوانید

قدم به قدم

سوال 8.مخرج مشترک بگیرید


ک.م.م در معادلات کسری با داشتن مخرج های متفاوت:

الف باید مخرج مشترک بگیرید :

 درحقیقت کوچکترین مخرج مشترک چند کسر  ابتدا هر كدام از عبارات را تجزیه می كنیم، سپس از میان عبارات تجزیه شده، عاملهای مشترك با توان بزرگ تر ضربدرعاملهای غیر مشترك را به عنوان كوچك ترین مضرب مشترك جمله ها معرفی می كنیم

 در تمرین های زیر از ساده شروع می کنیم:

ب- انتخاب عامل های مشترک وغیر مشترک


  a)    1
x
 +    2 
3x
 =   3 + 2
  3x
 =    5 
3x
    b)     4
2x2
 −    3
2x
 =   3x − 4
   2x2
  c)         1     
2(x + 1)
  +       2    
(x + 1)
  =   1 + 2(x + 1)
   2(x + 1)
  =   1 + 2x + 2
   2(x + 1)
 =    2x + 3 
2(x + 1)
  d)         6     
x(x − 1)
 +        2     
x(x − 2)
  =   6(x − 2) + 2(x − 1)
   x(x − 1)(x − 2)
 
    =   6x − 12 + 2x − 2
  x(x − 1)(x − 2)
 
    =       _8x − 14_   
x(x − 1)(x − 2)
  مثال 7.   حل معادله    
     4     
x2 − 25
 −           3        
x2 − 6x + 5

     4     
x 2 − 25
 −           3        
x2 − 6x + 5
  =           _4_       
(x + 5)(x − 5)
 −           _3_       
(x − 5)(x − 1)
 
    =    4(x − 1) − 3(x + 5) 
(x + 5)(x − 5)(x − 1)
 
    =   _4x − 4 − 3x − 15_
(x + 5)(x − 5)(x − 1)
 
    =          __x − 19__      
(x + 5)(x − 5)(x − 1)

مثال 9.   حل معادله .   مخرج مشترک بگیرید:

  a)    x
2
 +    _5_  
2x + 2
  =   x
2
 +     _5_   
2(x + 1)
 
    =   x(x + 1) + 5
   2(x + 1)
 
    =   x2 + x + 5
 2(x + 1)
  b)        1   
x2x
 +   2
x
  =      _1_   
x(x − 1)
 +  2
x
 
    =   1 + 2(x − 1)
  x(x − 1)
 
    =   1 + 2x − 2
  x(x − 1)
 
    =    2x − 1 
x(x − 1)
  c)       2   
x + 3
 +      12   
x2 − 9
  =      2   
x + 3
 +      __12__    
(x + 3)(x − 3)
 
    =   2(x − 3) + 12
(x + 3)(x − 3)
 
    =     2x − 6 + 12  
 (x + 3)(x − 3)
 
    =   ___2x + 6___
 (x + 3)(x − 3)
 
    =   __ 2(x + 3) __
 (x + 3)(x − 3)
 
    =     _2_  
 x − 3
  d)      ___6___  
x2 + 5x + 6
 +    ___2___ 
x2x − 6
  =       ___6___    
(x + 2)(x + 3 )
 +     ___ 2___   
(x + 2)(x − 3)
 
    =    6(x − 3) + 2(x + 3) 
(x + 2)(x + 3)(x − 3)
 
    =   _ 6x − 18 + 2x + 6 _
(x + 2)(x + 3)(x − 3)
 
    =   _____8x − 12_____
(x + 2)(x + 3)(x − 3)
 
    =     ___ 4(2x − 3) ___  
(x + 2)(x + 3)(x − 3)

مخرج مشترک بگیرید

  e)      ___3___  
x2 − 7x + 10
 −    __2__ 
x2 − 25
  =       ___3___    
(x − 2)(x − 5)
 −     ___ 2___   
(x + 5)(x − 5)
 
    =    3(x + 5) − 2(x − 2) 
(x − 2)(x − 5)(x + 5)
 
    =   _ 3x + 15 − 2x + 4 _
(x − 2)(x − 5)(x + 5)
 
    =   ___ __x + 19__ ___
(x − 2)(x − 5)(x + 5)
   f)       ___7___   
3x2 − 5x + 2
 −     ___4___  
3x2 + x − 2
  =       ___7___    
(3x − 2)(x − 1)
 −      ___ 4___    
(3x − 2)(x + 1)
 
    =     7(x + 1) − 4(x − 1)  
(3x − 2)(x − 1)(x + 1)
 
    =    _ 7x + 7 − 4x + 4_  
(3x − 2)(x − 1)(x + 1)
 
    =   ___ __3x + 11__ ___
(3x − 2)(x − 1)(x + 1)

مثال 8.   مخرج مشترک  فقط d:

a + b + c
      d
a
d
+ b
d
+ c
d
.

سوال 10.   مروری بر کسرهای دوره  ابتدایی پنجم وششم وکمک در حل معادله

  a)    1 + 2 + 3
      6
= 1
6
+ 2
6
+ 3
6
= 1
6
+ 1
3
+ 1
2
  b)    2n2 − 4n + 1
      n2
= 2n2
 n2
4n
n2
+  1 
n2
= 2 4
n
+  1 
n2
  c)    x³ + 4x2 + 2
       2x5
=  x³ 
2x5
+ 4x2
2x5
+  2 
2x5
=  1 
2x2
+  2 
x3
+  1 
x5
  d)    x − 1
x + 1
=    x   
x + 1
   1   
x + 1
  مثال 9.   ساده تر کنید  
add fractions
  حل.     add fractions   =   add fractions
 
 دور در دور نزدیک در نزدیک
یا صورت برمخرج تقسیم شود.
  =   c×
   ab   
b + a
  
 
    =     cab  
b + a
  یا 
  abc  
a + b

سوال 11.  حل معادله.

  a)   add fractions   =  
add fractions
  =   1
6
×
 1 
10
  =    1 
60
  b)   add fractions   =  
add fractions
  =  z×
  xy  
y + x
 =    zxy  
y + x
add fractions   =   x − (x + h)
  (x + h)x
×
1
h
    =   xxh
  (x + h)x
×
1
h
    =       −h    
(x + h)x
×
1
h
    =          1 -   
(x + h)x
, دو کسر ساده شده  h'.


  d)    add fractions   =  
add fractions
  =   (x + 1)(x − 1)
         x2
×   x  
x − 1
  =   x + 1
   x

در ضربها می توان جمله های مشابه  صورت ومخرج را ساده کرد:

  add fractions   =   add fractions   =  1 +  1
x
 =   x + 1
   x
 e)    add fractions   =  
add fractions
 
    =   (a + b)(ab)
        ba
·    ba  
a + b
 
    =   ab





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

مخرج مشترک معادلات کسری مقدمه

تاریخ:چهارشنبه 3 خرداد 1396-07:04 ب.ظ



معادلات کسری 1مقدمه


معادلات کسری2

در اینجا ما سه کسر داریم با مخرج مساوی پس که ک.م.م همان مخرج است :

ک.م.م ( کوچکترین مخرج مشترک)=C

در اینجا مخرج مشترک را cمی نویسیم وصورتها باهم جمع می شوندذ.

جواب هر معادله با رنگ قرمز داده شده

 

a
c
 +   b
c
 =   a + b
   c

ک.م.م سوال زیر=5

.
  مثال 1.      6x + 3
    5
 +   4x − 1
    5
 =   10x + 2
     5

وتفریق زیر اگر ک.م.م 5 انتخاب شود  علامت منفی  در (4x - 1  ) ضرب  می شود :

  مثال 2.      4x - 1
     5
 −   6x + 3
    5

.

4x - 1
     5
 −   6x + 3
    5
 =   6x + 3 − 4x + 1
          5
 =   2x + 4
    5

نمونه 1.

دقت کنید که معالات زیر را ک.م.م.  یا کوچکترین مخرج مشترک گرفتیم: جواب با قرمز

  a)    x
3
 +   y
3
 =   x + y
   3
    b)    5
x
 −   2
x
 =   3
x
  c)       x   
x − 1
 +   x + 1
x − 1
 =   2x + 1
 x − 1
    d)    3x − 4
 x − 4
 +   x − 5
x − 4
 =   4x − 9
 x − 4
  e)  منفی وسط در کسر بعدی تاثیر دارد   
4x + 5
 x − 3
    6x + 1
 x − 3
 =   6x + 1 − 4x − 5
       x − 3
 =   2x − 4
 x − 3
  f)    x − 4
 x − 2
    2x − 3
x − 2
 =   2x − 3 − x + 4
       x − 2
 =   x + 1
x − 2

ک.م.م در معادلات کسری با داشتن مخرج های متفاوت:

الف باید مخرج مشترک بگیرید :

 درحقیقت کوچکترین مخرج مشترک چند کسر  ابتدا هر كدام از عبارات را تجزیه می كنیم، سپس از میان عبارات تجزیه شده، عاملهای مشترك با توان بزرگ تر ضربدرعاملهای غیر مشترك را به عنوان كوچك ترین مضرب مشترك جمله ها معرفی می كنیم

 در تمرین های زیر از ساده شروع می کنیم:

ب- انتخاب عامل های مشترک وغیر مشترک

مثالب, معادله 3 عضوی : ک.م.م. را پیدا کن

pq   pr   ps

شروع ک.م.م جمله اول

ک.م.م = pq

جمله دوم   pr   هست که p   را دارد و تکرار است  پس به r  نیاز داریم

ک.م.م.تا جمله دوم  = pqr

جمله سوم   ps   هست که p   را دارد و تکرار است  پس به s  نیاز داریم

;.ک.م.م تا جمله سوم = pqrs.


مثال 3.   ک.م.م.3 جمله :  x,  x2,  x3.

حل.   ک.م.م.    x  هست زیرا عامل مشترک هست وعامل غیر مشترک ندارد.

ک.م.م     جمله اول= x

می دانیم که  x2 -- یعنی  که  x ·x.  :

ک.م.م جمله دوم  = x2

ک.م.م جمله سوم  = x3.

پس باید جمله ای انتخاب شود که برهر3 بخش پذیر باشد.x3بر x,  x2,  و  x3 بخش پذیر است.

پس می بینیم که ک م.م.  در جمله های توان دار،عوامل مشترک با بزرگترین توان انتخاب شده

مثال 2. ک.م.م جملات زیررا پیدا کنید:     جواب با قرمز.

   a)   ab,  bc,  cd.   abcd   b)   pqr,  qrs,  rst pqrst
 
   c)   a,  a2,  a3,  a4.   a4   d)   a2b,  ab2.   a2b2

 e)   ab,  cd.    abcd

حالا وارد مرحله بعدی می شویم.

 البته  مراحل مختلف را توضیح می دهیم :
  مثال 4.   مجموع این معادله را حساب کنید:      3 
ab
 +    4 
bc
 +    5 
cd

حل.   اول مخرج مشترک بگیرید. کوچکترین مخرج مشترک .  با انتخاب abcd.   که برهر مخرج تقسیم کنیده ودرصورت ضرب می کنیم    abcd.

   یک مخرج بنویسید یا هربار  را در هر کسر ضرب کنید و با مخرج ساده کنید وپاسخ را صورت بنویسید


 
ab
 +    4 
bc
 +    5 
cd
  =   3cd + 4ad + 5ab
       abcd
 گام اول =با کسر   
 3 
ab
 را ضرب در   abcd می کنیم ,وقتی ضرب می شود

ab را ازدست میدهد(ساده شد   ) ,  می ماند cd.  پس, ما باید 3 در  cd.  ضرب کنیم .
3cd

گام دوم= کسر   
 
bc
 را ضرب در   abcd   می کنیم ,وقتی ضرب می شود

bc را ازدست میدهد(ساده می شود   ) ,  adمی ماند .  پس, ما باید4  صورت را در  ad.  ضرب کنیم .


گام سوم کسر   
 
cd
 را ضرب در   abcd   می کنیم ,وقتی ضرب می شود
cd را ازدست میدهد(ساده می شود   ) ,  abمی ماند .  پس, ما باید5  صورت را در  ab  ضرب کنیم .



سوال بعد مخرج مشترک بگیرید . راه حل 

  a)     5 
ab
 +    6 
ac
 =   5c + 6b
   abc
  b)     2 
pq
 +    3 
qr
 +    4 
rs
 =   2rs + 3ps + 4pq
       pqrs
  c)     7 
ab
 +    8 
bc
 +     9  
abc
 =   7c + 8a + 9
      abc
  d)    1
a
 +    2 
a2
 +    3 
a3
 =   a2 + 2a + 3
      a3
  e)     3 
a2b
 +    4 
ab2
 =   3b + 4a
   a2b2
  f)     5 
ab
 +    6 
cd
 =   5cd + 6ab
   abcd
  g)        _2_   
x(x + 2)
 +         __3__      
(x + 2)(x − 3)
  =    2(x − 3) + 3x 
x(x + 2)(x − 3)
 
    =   _ 2x − 6 + 3x_
x(x + 2)(x − 3)
 
    =        _5x − 6_    
x(x + 2)(x − 3)

سطح دوم :

  سوال 4.   مخرج مشترک بگیرید:    1 −  1
a
 +   c + 1
  ab
.  

1 − را جدا کرده وبین دوکسر مخرج مشترک می گیریم.

1 −  1
a
 +   c + 1
  ab
 =  1 − ( 1
a
 −   c + 1
  ab
)  =  1 −  b − (c + 1)
ab      
 =  1 −  bc − 1
ab      

مثال 5.   مخرج مشترک .

 a 
m
 +   b
n

ک.م.م   =, mn.

 a 
m
 +   b
n
 =   an + bm
   mn


an + bm


  مثال 6.        1  
x
 −   2
x-1

حل.   مخرج مشترک ما ضرب دو عامل   x و x − 1.  می باشد.  .

   1  
x
 −   2
x-1
 =   2x − (x − 1)
   (x − 1)x
 =   2xx + 1
   (x − 1)x
 =   _x + 1_
(x − 1)x

نکته:  دقت کنید که علامت منفی بین دوکسر در صورت کسر بعدی تاثیر می گذار وضرب می شود.

سوال 5. مخرج مشترک بگیرید:

  a)    x
a
 +   y
b
 =   xb + ya
    ab
    b)    x
5
 +   3x
 2
 =   2x + 15x
    10
 =   17x
 10
  c)       6   
x − 1
 +      3   
x + 1
  =   6(x + 1) + 3(x − 1)
    (x + 1)(x − 1)
 
    =   6x + 6 + 3x − 3
  (x + 1)(x − 1)
 
    =      _9x + 3_   
(x + 1)(x − 1)
  d)       6   
x − 1
 −      3   
x + 1
  =   6(x + 1) − 3(x − 1)
    (x + 1)(x − 1)
 
    =   6x + 6 − 3x + 3
  (x + 1)(x − 1)
 
    =      _3x + 9_   
(x + 1)(x − 1)
  e)       2  
x
 −   3     
x − 3
  =   3x − 2(x − 3)
   (x − 3)x
 
    =   3x − 2x + 6
   (x − 3)x
 
    =     x + 6  
(x − 3)x
  f)       1  
x
 −   3   
x − 3
  =   3x − (x − 3)
   (x − 3)x
 
    =   3xx + 3
   (x − 3)x
 
    =     2x + 3 
(x − 3)x
  g)    1
x
 +   2
y
 +   3
z
  =   yz + 2xz + 3xy
       xyz
  مثال 7.   مخرج مشترک بگیرید:   a b
c
.

حل=ک.م.م= c   

a  = ac
 c
 

پس:,

a b
c
 =   ac + b
    c
.

سوال 6.

  الف:   r + p
q
 + 
  =   p + qr
   q
    b)    1
x
 −  1   =   1 − x
   x
     ج:   x 
1
x
- x=   x2 − 1
   x
  د:           
 1 
x2
 +1=   x2 + 1
   x2
  ن:    
   1   
x + 1
- 1=   x + 1 − 1
   x + 1
 =      x   
x + 1
  و:    
   2   
x + 1
 3+=   3x + 3 + 2
    x + 1
 =   3x + 5
 x + 1
  سوال 7. به یاد مخرج مشترک در ابتدایی   
1
2
  +   1
3
.

1
2
  +   1
3
  =   3 + 2
   6
  =   5
6
موفق باشید مقدمه 
6
5
.
 حتما این قسمت ها را مطالعه کنید:

مخرج مشترک معادلات کسری مقدمه

معادلات کسری 1مقدمه

معادلات کسری2





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

معادلات کسری2

تاریخ:چهارشنبه 3 خرداد 1396-06:56 ب.ظ

معادلات کسری 1مقدمه


مخرج مشترک معادلات کسری 1مقدمه

مخرج مشترک معادلات کسری 2

لطفا اول قسمت اول را مطالعه کنید
قسمت دوم
برای حل این معادله اول ک.م.م می گیریم طرفین هر کسر را در ک.م.م   ضرب میکنیم هر  مخرج را با ک.م. م ساده کرده  انچه می ماند در صورت ضرب می شود. ومخرج حذف می شود.
2
a
 +   3
b
 +   4
c

-- راه اول  : ک.م.م   سه کسر  abc. مخرج مشترک گرفته 

2
a
 +   3
b
 +   4
c
  =   2bc + 3ac + 4ab
        abc


 یا دراین مرحله در مراحل زیر می بینیم هر  مخرج را با ک.م. م ساده کرده  انچه می ماند در 2و3و4  صورتها  ضرب می شود. ومخرج حذف می شود. که مخرج از بین رفت.:

2
a
 +   3
b
 =  4
c
 
2bc + 3ac  = 4ab


مثال 1.   محاسبه  x:

 1 
2x
 +     1   
x − 1
 =       1     
2(x − 1)
 
 حل.   ک.م.م   3 کسر=  2x(x −1).
 
      ک.م.م  را در هرکسر ضرب کنید با مخرج ساده کنید انچه ماند در صورت ضرب کنید مخرج حذف شده :
 
              x − 1 + 2x  = x.
 
      حالا عبارتهای مشابه را به طرفین تساوی می بریم:
 
                        2x  = 1
 
                          x  = 1
2

نمونه بعدی  حل معادل با 3 کسر .

مثال 9.   محاسبه  x:

                                    9  
                            3x − 5
 +     _1_  
x + 2
 =     4  
x − 2
 
      برای حل این معادل دوباره ک.م.م در مخرج میگیریم  که هر 3 مخرج ک.م.م انتخاب می شود:

 هرمرحله با رنگ نشان دادیم: ک.م.م  ، مخرج هر کسر را ساده کرده ودرصورت ضرب شده
 در گام بعدی  (   ) ها درهم ضرب می شوند. سپس عبارت مشابه به طرفین تساوی می روند.

 
9(x + 2)(x − 2) + (3x − 5)(x − 2)    
 =  4(3x − 5)(x + 2)
 
9(x² − 4) + 3x² − 11x + 10      
 =  4(3x² + x − 10)
 
9x² − 36 + 3x² − 11x + 10  =  12x² + 4x − 40
 
12x² + − 11x − 26  =  12x² + 4x − 40
 
                                                 - 11x − 4x  =  −40 + 26
 
                                                 - 15x  =  −14
 
                                                        x  =  14
15

 .

مثال 10.   محاسبه x:

                                          1
                                         x
  +     1   
x − 1
 =    1 
8x
 +     _1_   
8(x − 1)
 
       ک.م.م هر4 کسر  8x(x − 1).   =:
 
                              8(x − 1) +   8x  =  x − 1 + x
 
                                        8x − 8 + 8x  =  2x − 1
 
                                        16x − 2x  =  −1 + 8
 
                                              14x  =  7
 
                                                    x  =  1
2

مثال 11.   مخرج ها را به کمک ک.م.م حذف کرده ومحاسبه  x:

   _1_   
x² − 2x
       _8_       
3x² − 5x − 2
=    _4_   
3x² + x
   _1_   
x(x − 2)
        _8_        
(3x + 1)(x − 2)
=     _4_    
x(3x + 1)

ک.م.م  هر3 کسر  x(x − 2)(3x + 1).   :

3x + 1 − 8x = 4(x − 2)
 
       1 −    5x = 4x − 8
 
−5x − 4x = −8 − 1
 
−9x = −9
 
                   x = 1

مثال12.   مخرج ها را به کمک ک.م.م حذف کرده ومحاسبه   x:

 x + 6 
x² − 9
  +        x − 9     
x² − 4x + 3
 =      _2x − 1_  
x² + 2 x − 3
  __x + 6__  
(x + 3)(x − 3)
  +         x − 9      
(x − 1)(x − 3)
 =       _2x − 1_   
(x + 3)(x − 1)

ک.م.م =  (x + 3)(x − 3)(x − 1).   :

(x + 6)(x − 1) + (x − 9)(x + 3) = (2x − 1)(x − 3)
 
x² + 5x − 6 + x² − 6x − 27 = 2x² − 7x + 3
 
                       2x² − x − 33 = 2x² − 7x + 3
 
                                  -  x + 7x = 3 + 33
 
                                    6x = 36
                                         x = 6
  مثال 2.میتوان طرفین وسطین کنید و x را حساب کنید بدون ک.م.م
ax
 b
  =    c 
d


  x   =    bc 
ad

میتوان مثل تناسب  مجهولxرا بنویسید وطرفین درهم× کنید وبردیگری تقسیم کنید.

  مثال 3نمونه
2s
3t
 =   pq
rx

 وسپس بر ضریب xتقسیم کنید



  x  =   3tpq
2sr

نمونه 13.   برای محاسبه x:اگر حتی یک کسر راهم جا به جا کنید  اشکالی ندارد

ab
cd
 =   mx 
npq
 
mx
npq
 =  ab
cd
   تغییرجا.
 
x  =  npqab
 mcd 

نمونه 14.   محاسبه x:

ab
c  
 =      _st_    
u(v + w)x
 
x  =    __cst__  
abu(v + w)

محاسبه کن x.

   نمونه 15. طرفین در2 ضرب شد
A  =  ½Bx
 
  2A  =  Bx
 
  x  =  2A
 B
   نمونه 16.طرفین در2 ضرب شد
         s  =  ½(x + w)t
 
  (x + w)t  =  2s
 
  xt + wt  =  2s
 
         xt  =  2swt
 
         x  =  2swt
    t
   نمونه 17.  s  =  sx
  at
 
  sat  =  sx
 
  x  =  ssat
   نمونه 18. طرفین را در (2-x  ) ضرب می کنیم.
A  =  B(   2x  
x − 2
 
  A(x − 2)  =  2Bx
 
  Ax − 2A  =  2Bx
 
  Ax − 2Bx  =  2A
 
  x(A − 2B)  =  2A
 
            x  =     2A   
A − 2B

مثال 4.  درمثال زیر یک راه ک.م.م گرفت وبا کمک انحذف مخرج  و ادامه

  1
3
  +   1
x
 =   1
2


   وگاه می توان مجهول را جدا کنید و مشابه ها را جدا حل کنید
1
x
, .

داریم:

  1
3
  +   1
x
  =   1
2
 
          جدا حل شود مجهول یک طرف و جملات مشابه طرف دیگر
 
                                              1
                                            x
  =   1
2
 −   1
3
 
    =  3 − 2
   6
 
1
 x
        =   1
 6
 
         
 
                                                         x   =  6.
.
  مثال دیگر 19. 1
r
  +   1
p
 =   1
x
 
  p + r
pr   
 =  1
x
 
  x  =     pr  
p + r
  مثال 20. 1
a
 =  1
x
1
b
 
  1
a
 −  1
b
 =  1
x
 
  ba
ab   
 =  1
x
 
         x  =     ab  
ba





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 


  • تعداد صفحات :113
  • 1  
  • 2  
  • 3  
  • 4  
  • 5  
  • 6  
  • 7  
  • ...