آموزشی.اطلاعات مفید علمی . سوال های درسی . تدریس ریاضی

دنباله ها عددهای متوالی

تاریخ:شنبه 11 مرداد 1393-09:18 ق.ظ

درس برای اطلاع بیشتر روی لینک زیر کلیک کنید

الگوها عددهای متوالی


الگوها-دنباله ها -عددهای متوالی2

الگو ها -عددهای متوالی

الگو ها-شکل

مثال1

(a)

به کمک فرمول زیر 6عددمتوالی بسازید:,

حل:  هر بار به جای   n   عدد از 1    وبعد عدد2و  ....می گذاریم:

un = n2 + n – 1
به جای  n    می نویسیم  = 1
u1 = 12 + 1 – 1

= 1
برای دومی n = 2,u2 = 22 + 2 – 1


= 5
برای سومی n = 3,u3 = 32 + 3 – 1


= 11
برای چهارمی n = 4,u4 = 42 + 4 – 1


= 19
برای پنجمی n = 5,u5 = 52 + 5 – 1


= 29
برای ششمی n = 6,u6 = 62 + 6 – 1


= 41

پس 6عددما  به ترتیب :,

1, 5, 11, 19, 29, 41

(b)

فاصله بین عددهای زیر را محاسبه کنید یعنی بین هردوعدد چقدر فاصله هست؟.

اختلاف ثانوی این سری عدد چیست؟

به صورت زیر عمل می کنیم, اختلاف دوعدد را بین آنها بنویسید

1 5      11   19 

 29

41...
4    6  

   8      10 
12
(c)

دقت کنید : به ردیف اختلاف عددها که نگاه کنید با یک فاصله ثابت 2تا2تا مرتب شدند.

سری
 1     5     11  
19

 
2941...
                   
اولین اختلاف
4  6    
8   1012
                                
اختلاف ثانوی
2    2       
2   2

مثال 2

باکمک فرمول                un = 3n2n – 2         یک سری 5تایی عددمتوالی بسازید

(a)
un = 3n2n – 2
برای عدداولی n = 1,u1 = 3 × 12 – 1 – 2


= 3 – 1 – 2


= 0
برای دومی n = 2,u2 = 3 × 22 – 2 – 2


= 8
برای سومی n = 3,u3 = 3 × 32 – 3 – 2


= 22
برای چهارمی n = 4,u4 = 3 × 42 – 4 – 2


= 42
برای پنجمی n = 5,u5 = 3 × 52 – 5 – 2


= 68

پس سری عددهای ما

2, 8, 22, 42, 68, ...

(b)میخواهیم ببینیم چرا علاوه بر    n   ما     n2  را هم در فرمول داریم
درحقیقت سری ثانوی ما همان   
n2      است.

اختلاف اولی وثانوی سری  2و8و22و42و68و... را حساب کنید.

اختلاف اولی بین دوعدد واختلاف ثانوی  را این طور  می نویسیم. :

سری ما
0   8    22    42   

68...
                      
اولین اختلاف
814 
20   
26 
                               
اختلاف ثانوی
 6 
 6      
6
(c)

ببینیید اختلاف ثانوی  یک سری عدد ثابت  6تا 6تا  شده است.

نکته :سری ثانوی ما n2  هست می خواهیم سری هایی  بنویسیم که سری اختلاف ثانوی ما موارد زیر باشد

حالا شما با هر یک از   فرمول های زیر  5عدد متوالی بنویسید وسری اختلاف  اولی وثانوی را به دست آورید ببینید با سری اختلاف داده شده یکسان   هست؟

مثال:  برای نوشتن 5عدد متوالی  برای اولی عدد    n=1    وبرای دومین عدد n=2 برای سومین عدد n=3  و.... بعد اولین اختلاف وبعد دوباره سری اختلاف ثانوی را محاسبه کنید :


un = n2 + n – 1                سری اختلاف ثانوی = 2     خواهد شد.
un = 3n2n – 2                 سری اختلاف ثانوی = 6
un = 5n2n + 7                    سری اختلاف ثانوی = 10

مثال 3

می خواهیم برای 5عددمتوالی زیر فرمول بنویسیم:

2, 9, 20, 35, 54, ...

ما اولین اختلاف هردوعدد را حساب می کنیم:

2  9     20  

3554...
7    11   15  

 19  اولین اختلاف
4    4          4     اختلاف ثانوی
    

اختلاف ثانوی ما یکسری ثابت = عدد   4 

                           ....+2n2=un.

un = 2n2     + ...

سری ثانوی ما   2n2هست....+2n2=un. هربا به جای n  عدد1 وبعد 2 وبعد 3    قرار دهیدتا سری عددهای   2n2   ایجاد شود     

سری متوالی     
29203554...
 سری عددهای  =2n2           2n2 2
8183250
             اختلاف دوسری             0   1   2 

3


4
                                                                                
  اختلاف ثانوی                                 1        1    1  


1

پس اولین عددما صفر است یعنی 0= n – 1

با  2n2 جمع می شود:

un = 2n2 + n – 1

مثال 4

(a)

اولین  اختلاف هردوعدد واختلاف ثانوی    سری عددهای  زیر راحساب کنید و

4, 1, 0, 1, 4, 9, ...

4  1      0    1    


4   9 
...
3-  1-  
  1   3      
5     
      
      2       2   2 
   

2
(b)

دراین سری عددها دوعدد بعدی را بنویسید

اولین  اختلاف هردوعدد واختلاف ثانوی    سری عددهای  زیر راحساب کنید

4  1     0     1    4      9    16    25 .... 






...
3-  1-  
  1   3      
5     7       9
    2      2   2 
   

2        2      2
(c)

برای سری یک فرمول بنویسید:

سری اختلاف ثانوی= 2,

un = n2 + an + b

ما ارزش a  و   b  را باید حساب کنیم راه آسان محاسبه سری  n2    است یعنیبرای نوشتن 5عدد متوالی  برای اولی عدد    n=1    وبرای دومین عدد n=2 برای سومین عدد n=3  و.... بعد اولین اختلاف وبعد دوباره سری اختلاف ثانوی را محاسبه کنید : 


سری ما   
410149
سری  n2149162536
اختلاف دوسری                 

3-9-15-21-27-

سری جدید ما

3     
3-9-15-21-27-...
6- 6-   
 6-      6-      
6-

اولین اختلاف ما 6-   هست    پس فرمول ما 6n + b-

جایگزین کردیم تا b را حساب کنیم

3 = 6- × 1 + b
b = 9

بنابراین 6n + 9-   با    n2 جمع می کنیم تا اصل فرمول به دست آید.

un = n2 – 6n + 9

سری عددهای ویژه

به سری اعداد دنباله زیر توجه کنید: فرمول هر یک زیر آن هست"

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...

فرمول     سری عددهای فرد متوالی  :      un = 2n – 1

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...

فرمول     سری عددهای زوج  متوالی  :     un = 2n

1, 4, 9, 15, 25, 36, 49, ...

فرمول     سری  توان دوم یا مجذور یا مربع عددهای متوالی   :      un = n2

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, ...

فرمول     سری توان سوم عددهای متوالی   :   un = n3

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...

فرمول     سری  عددهای    مثلثی متوالی   : un = 1/2n(n + 1)

سری عددهای زیر بسیار مهم هستند به نام عددهای اول

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...

توجه کنید که برای محاسبه   n امین عدد اول فرمولی نداریم.

به سری های دیگر اعداد توجه کنید:

مثال 1

(a)

برای سری اعداد زیر 3عدد بعدی راهم بنویسید.,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

اولین اختلاف دو عدد را حساب کنید

1  1     2     3     5     8    
13...



0  
 1     1      2     3     5 



نکته. این سری جالبی است به اختلاف نگاه کنید   اولین عدد صفر است اما بقیه همان سری اولی  ایجاد شد:

1  1     2     3     5     8    
13   21   34    55 
...










0  
 1     1      2     3     5 




8      13      21



(b)

ایجادفرمول برای n امین عدد

  مثال:اگر دقت کنید مجموع اولی ودومی  =عدد سومی

ومجموع دومی وسومی= عدد چهارمی:

u3 = u2 + u1

u4 = u3 + u2

به زبان ریاضی:,

un = un-1 + un-2

سری بالا به سری فیبوناچی معروف است
مثال 2
یک سری داریم که اولین ودومین عدد 1و2 هست  بافرمول زیر  عددسومی وچهارمی وپنجمی را حساب کنید.

un = 2un-1 + un-2

اولی ودومی   به ترتیب  : u1 = 1 و u2 = 2.   جایگزین در فرمول:

u3 = 2u2 + u1

= 1 + 2 × 2

= 5
u4 = 2u3 + u2

= 2 + 5 × 2

= 12
u5 = 2u4 + u3

= 5 + 12 × 2

= 29

پس سری ما=

1, 2, 5, 12, 29

مثال3

یک سری   زیر را داریم که   بدو عدد بعدی  را حساب کنید.

6, 12, 24, 48, 96, ...

(a)

توجه کنید که هر عدد در2 ضرب شده وعددبعدی ایجاد شده است.

6    12 
 2448  
  96192  
384 
...
 
2×  2×2×   
2×  
2×   
(b)

فرمولی برای  nامین  عدد بنویسید..

هرعدد  را ببینید چه گونه ایجاد شده است گسترده بنویسید  تا در یابید.:

u1 = 6 = 3 × 2
u2 = 12 = 3 × 2 × 2 = 3 × 22
u3 = 24 = 3 × 2 × 2 × 2 = 3 × 23
u4 = 48 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 = 3 × 24

پس فرمول ما برای     nامین     عد  د    :    un = 3 × 2n.

فرمول عددهای توان دار.

مثال 4

سری  کسری  دنباله های زیر را داریم,

3/5, 7/8, 11/11, 15/14, 19/17, 23/20, ...

فرمولی برای  nامین  عدد بنویسید..

صورت ومخرج را جداجدا بنویسید:

اول صورت کسرهارا  بنویسید و اختلاف بین هردوعدد را حساب کنید

3  
7 11  
  15     19   

23...
4    4       4      4 


4

اختلاف عددی ثابت =4

un = 4n + a

برای محاسبه اولین عدد صورت

3 = 4 × 1 + a

a = –1

پس:    فرمول اولین عدد صورت کسر

un = 4n – 1

حالا در فرمول به جای   n  عدد 1وبعد 2 وبعد.... به ترتیب

صورت  کسرها   3       7   11    15    19        23  را می سازیم.

حالا نوبت مخرج کسرهاست
5  8    
11    14 
1720...
3   3       3     
3   3       

اختلاف عددی ثابت =3    فرمولبه شرح زیر

un = 3n + b

برای محاسبه اولین عددمخرج

5 = 3 × 1 + b

b = 2

فرمول اولین عدد مخرج کسر

un = 3n + 2

فرمول صورت ومجرج کسر ما

un = 4n - 1/3n + 2

مثال 5

فرمول  کسر  زیربرای ایجاد  یک سری عددهای دنباله دار کسری  است.

un = n – 1/n + 1

به نظر شما    n  امین کسر ،کسر ها هرچه ادامه یابند بزرگتر  خواهند شد؟

جدولی     راهبردی3  خانه رسم کنید وبحای    n  هربار از1 تا .... بنویسید

فرمول             un = n – 1/n + 1کسری  را در جدول بنویسید.

چون صورت   n – 1  هست از 1 شروع کرده وجایگزین در فرمول می کنیم.

به نظر شما چه اتفاقی می افتد   کسرها در ادامه  افزایش یا کاهش   می یابند؟

 
 nun = n – 1/n + 1                    
un  محاسبه کسر
 تا 3 رقم اعشاری

 1    0         
0
2 130.333
3 240.5
4 350.6
5 460.667
10 9110.818
20 19210.905
50 49510.961
100991010.980
5004995010.996
100099910010.998
2000199920010.999

 مقدار کسرها افزایش  یافته.





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 
امیر حسین
شنبه 24 تیر 1396 08:42 ب.ظ
عدد n ام : 5,6,14,29,51 را لطفا توضیح دهید
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 7n^2 -19n+22)/2
زهرا
دوشنبه 11 اردیبهشت 1396 07:07 ب.ظ
سلام ممنون میشم اگه روش حل سوال 2از صفحه 8 ریاضی هفتم رو برام توضیح بدید.
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : سوال را بنویسید
معصومه
چهارشنبه 6 اردیبهشت 1396 01:41 ق.ظ
۷.۲۴.۶۷.۳۰۲
....دنباله این عدد و الگوی n ام رو میگین ممنون میشم
راستین مرشدی
دوشنبه 11 بهمن 1395 11:28 ب.ظ
سلام تورو خدا جمله ی صدم دنباله زیر رو برام بدست بیارید.
۱.۳.۶.۰۱۰.۱۵
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 1/2n(n+1
ناشناس
سه شنبه 28 دی 1395 12:23 ق.ظ
سلام خانم فتحی لطفابرام توضیح دهیدکه تعداداعداددراین دنباله غیرمتوالی چندتاست برای مثال
10-11+12-13+...+78-79
جوابش چند می شه
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : نامنظم بود
نیکا
دوشنبه 6 دی 1395 12:22 ق.ظ
سلام استاد فرمول دنباله 1 2 4 6 10 12 14 18 20 22 26 میخواستم
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : اشکال دارد
نجفی
یکشنبه 14 آذر 1395 10:33 ق.ظ
سلام استاد گرانقدر
لطفا در مورد
3،5،13،43،......راهنمایی فرمایید
سپاس - نجفی
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 3 * 1 + 2 =3+1= 5
5 *2 + 3 =10+3= 13
13 * 3 + 4 = 39+4=43
43 *4 + 5 =172+5=
نیما
پنجشنبه 11 آذر 1395 12:38 ق.ظ
سلام لطفاجمله عمومی دنباله 5،11،21،35،53،75،101رو بگید ممنون
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 2 nبه توان2+3
جمعه 5 آذر 1395 08:00 ب.ظ
اگر زحمتی نیست الگوی ۲،۳،۵،۷،۱۰،۱۳،۱۶،۲۰،۲۴،۲۸،۳۲ رو پاسخ بدین . مرسی
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : نادرست
جمعه 21 آبان 1395 02:35 ب.ظ
دنباله 2و3و5و7و11و13و16و20و24و...
سحر
شنبه 15 آبان 1395 11:41 ق.ظ
سلام میشه این مسئله رابرام حل کنید9،14،20
فاصله بین عدد 31و22این الگو چند می شود
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : اشکال دارد
سه شنبه 11 آبان 1395 09:17 ب.ظ
سلام ممنون از توضیحات بسیار عالى تون. مى خواستم بپرسم دنباله خمسى چیست؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/1822
اعداد مخمسی نیز عبارتند از: ,...,

۱،5،12،22،35،51،70،92،117،145،176
مهدی
چهارشنبه 28 مهر 1395 08:45 ب.ظ
1. 4. 9. 16. 25. 16.بااعداد دوتا منفی دوتا مثبت
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : باید منفی مشخص شود که شروع با کدام علامت
Akilem
یکشنبه 25 مهر 1395 06:40 ب.ظ
سلام استاد گرامی :
لطفا پاسخ سوال زیر را بدهید .
مجموع اعداد زیر چقدر می شود
یک دوم ،یک سوم ، یک چهارم و.... تا یک صدم
با تشکر فراوان
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/1819
مریم
یکشنبه 25 مهر 1395 01:45 ب.ظ
بیستمین عدد در الگوی عددی 5,13,25,41 چیست
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 2n^2+2n+1
sepide
پنجشنبه 22 مهر 1395 02:37 ب.ظ
سلام میشه جمله عمومی این دنباله روبگید.5،12،22،35،51......
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 1/2(3n^2+5n+2
mahshid
پنجشنبه 22 مهر 1395 12:21 ب.ظ
سلام.ببخشید میشه بگین اعداد اول 1 تا n روچطورمیتونیم بدست بیاریم؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : اگر به عدد ۵ که عددی اول است، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۱ و اگر به ۱۱، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۷ و اگر دوباره اضافه کنیم، به ۲۳ و ۲۹ می‌رسیم که همگی اعدادی اولند. اما با اضافه کردن ۶ واحد دیگر به ۳۵ می‌رسیم که عددی اول نیست و الگو متوقف می‌گردد.

مسئله مورد توجه اینست که در هر الگوی پیشرفت چند عدد اول پیش از رسیدن به اولین عدد غیر اول، بدست می‌آیند؟ طولانی‌ترین رشته‌ای که تاکنون بدست آمده، ۲۲ عدد اول را شامل است. اولین عدد اول این رشته ۱۱۴۱۰۳۳۷۸۵۰۵۵۳ بوده که اگر عدد ۴۶۰۹۰۹۸۶۹۴۲۰۰ به آن اضافه شود عدد اول بعدی بوجود می‌آید و می‌توان ۲۲ بار عدد مذکور را به اعداد اول مرحله قبل افزود و عدد اولی جدید بدست آورد. دو ریاضی‌دان اثبات کرده‌اند برای هر رشته از اعداد اول می‌توان به یک رشته عددی رسید. ویکی پدیا
جمعه 9 مهر 1395 09:46 ب.ظ
برای الگویابی اعدادی نظیر ...و21 و 13 و 9 و 17 و 6 عدد مورد نظر کدام میشود؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : دنباله نیست روی محور مختصات نظمی ندارد
یکشنبه 4 مهر 1395 10:40 ب.ظ
سلام استاد گرامی لطفا الگوی عددی 19و20و21و...و..و26و28و32و33و40 چیست
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : ایا این یک الگوست یا دو الگو
نگین
پنجشنبه 25 شهریور 1395 08:53 ب.ظ
0,1,2,2,4,8,96,...
در الگوی بالا عدد بعدی را بدست اوریدجوابش؟؟؟؟ و راهدحل
mahsa
یکشنبه 27 تیر 1395 09:21 ب.ظ
فرمولتون رو متوجه نشدم خانوم میشه به فارسی بگید??
mahsa
جمعه 25 تیر 1395 11:17 ق.ظ
سلام اگر اختلاف ثانویه ۲باشد در فرمول nبه توان دو را قرار میدهیم اگر اختلاف ثانویه یک یا 3 باشد به جای nبه توان دو چه چیزی قرارمیدهیم .با دقت خواندم ولی نبود
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : اگر1 بود
n-1+2(n*n)
n-1+2
n-1+2
mahsa
جمعه 25 تیر 1395 08:43 ق.ظ
سلام اگر اختلاف ثانویه ۲باشد در فرمول nبه توان دو را قرار میدهیم اگر اختلاف ثانویه یک یا دو باشد به جای nبه توان دو چه چیزی قرارمیدهیم .
باتشکر
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : با دقت صفحه را بخوانید
علی
شنبه 1 خرداد 1395 01:08 ب.ظ
لطفا این جمله عمومی رو ثابت کنید
an=n(n+1)/2
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : به دجای nعدد یک بگذار تااولین دنباله درست شود بعد2 بگذار
مهدی
یکشنبه 18 بهمن 1394 08:07 ب.ظ
سلام.من یه سوالی داشتم اگه حل خیلی ممنون میشم حل کنید:
10تا عدد اول پیدا کنید که فاصله یکسان داشته باشد.
مثل(البته این الگو دارای 5تا عدد اول است):5.11.17.23.2 در این الگو فاصله 6 تا است.
ممنون از زحماتتون.
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 10 تا نمی شود 41و47و 53و 59 توقف و61و67و 73 و79 و
یکتا
جمعه 4 دی 1394 01:14 ق.ظ
سلام آقای مهندس اگه لطف بفرمایید برای حل کسر زیر راهنمایی بفرمایید ممنون میشوم
2 سوم*4 پنجم*6 هفتم*...*98 نود و نهم
با تشکر
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : یا باید یک پرانتز دیگر داشته باشد ویا باید
2 سوم*3چهارم*4 پنجم*...*98 نود و نهم باشد دراین صورت جواب شما 2 نودونهم شده
عرفان
شنبه 25 مهر 1394 07:30 ب.ظ
مهندس فتحی دستت درد نکنه خیلیییییییی عااااااااالییییییییییههههه فقط یادگیریییییش سخته سختتتتتتتتتتت
sahar
دوشنبه 13 مرداد 1393 09:32 ق.ظ
سلام خوبی . وبلاگ تحسین بر انگیزی دارین . امیدوارم همیشه موفق باشی . لطفا به منم سر بزن . خوشحال میشم تبادل لینک کنیم
باران
یکشنبه 12 مرداد 1393 02:40 ب.ظ
سلام خوبی . وبلاگ تحسین بر انگیزی دارین . امیدوارم همیشه موفق باشی . لطفا به منم سر بزن . خوشحال میشم تبادل لینک کنیم
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر
نظرات پس از تایید نشان داده خواهند شد.