آموزشی.اطلاعات مفید علمی . سوال های درسی . تدریس ریاضی

حدس و اثبات - حدس های اثبات نشده ی ریاضی

تاریخ:پنجشنبه 30 مرداد 1393-11:28 ق.ظ

این درس مخصوص کسانی است که در تیزهوشان پذیرفته شده اند

دانش آموز حدس می زند:((امشب برف میاد!)) و دعا می کند که بیاید!

معلم حدس می زند:((امشب برف میاد!)) و او هم دعا می کند که بیاید!!
دزد حدس می زند:((امشب تاریکه.شب پرکاری خواهم داشت! ))
پلیس حدس میزند:((امشب تاریکه .شب پرکاری خواهم داشت!!))
پدر انتظار پسری کاکل زری را می کشد:((پسر و پسر،قند عسل!))
مادر اما حدس دیگری می زند:((این یکی دیگه دختره!))
بعضی ها حدس می زنند و زنده می مانند:((کدوم سیم را قطع کنم؟آبی یا قرمز؟...
قرمز رو قطع می کنم....منفجر نشد. من موفق شدم.))
بعضی ها حدس می زنند و می میرند:((من کدوم سیم را قطع کنم؟من هم قرمز ار قطع می کنم...بومب.))متاسفانه این یکی بمب سیم هایش جا به جا وصل شده بود.
بعضی ها حدس می زنند و دنیا را 5/3 قرن سر کار می گذارند:((xn+yn=zn))
خیلی ها حدس می زنند و بی پول می شوند :((رو اسب شماره 7 را می بندم.))
بعضی ها هم حدس می زنند و پولدار می شوند:((من رو اسب شماره 8 را می بندم.))
تو حدس می زنی:((اگه ریاضی I اینه ، ما که افتادیم))
من حدس می زنم:((اگر....
خلاصه هر کسی در این دنیا برای حل مسا له ای که با آن رو به روست حدس هایی می زند و برای ادامه کار نقشه می کشد.
اما مساله ی آدم های مختلف با هم متفاوت است . یکی به دنبال پول است و دیگری در تکاپوی زنده ماندن مساله یکی مشهور شدن است و دیگری مقام می طلبد و شاید یکی مساله اش دوست داشتن باشد.در هر حال برای حل هر مساله ممکن است حدس بزنیم.در واقع حدس زدن چیزی نیست جز ((احتمال بیشتر دادن)).
شاید به نظر بیاید در مسایل عمر حدس زدن کاری غیر علمی است اما حدس زدن جزء لا ینفک روش های علمی است .دانشمندان حدس می زنند و سپس سعی می کنند حدسشان را آزمایش کنند و اگر آزمایش ها حدس را تایید کرد آن را با دلایل علمی و استدلال منطقی توجیه کنند. بنابراین یک حدس خوب شروع خوبی برای یک نتیجه گیری و اثبات علمی است.

حدس های اثبات نشده ی ریاضی

حدس کولاتز

حدس کولاتز یکی از حدس های حل نشده در ریاضیات است.این حدس به افتخار لوتار کولاتز،که این موضوع را در سال1937 مطرح کرد، حدس کولاتز نام گرفت.

این حدس همچنین به عنوان حدس 3n+1 نیز شناخته می شود.این گونه حدس ها می پرسد که آیا یک رشته ی خاص از اعداد، صرف نظر از این که چه عددی را به عنوان عدد اولیه انتخاب می کنیم، همیشه به یک صورت تمام می شود.

بیان مشکل

عملیات زیر را در مجموعه اعداد صحیح مثبت اخیاری در نظر بگیرید

  • اگر عدد زوج بود، آن را بر 2 تقسیم کن.
  • اگر عدد فرد بود، آن را سه برابر کن و به علاوه 1.

برای مثال، اگر عملیات روی 3 انجام شود، نتیجه 10 است و اگر روی 24 اجرا شود نتیجه 10 است. اگر بخواهیم این عملیات را به صورت تابعی ریاضی نشان دهیم به صودت زیر خواهد بود:


هم اکنون با اجرا کردن این عملیات بر روی یک دنباله از اعداد به طور متوالی با هر عدد صحیح مثبت، و گرفتن نتیجه به عنوان ورودی مرحله بعد: در حالی که:

0. \end{cases}">

حدس کولاتز به صورت زیر است:

این روند به صورت اتفاقی به عدد 1 می رسد، صرف نظر از این که چه عددی به عنوان عدد اولیه انتخاب شده.

کوچکترین i که به ازای آن روند فوق ادامه می یابد زمان کلی ایست n نام دارد.این حدس ادعا دارد که هر عدد n یک زمان کلی ایست خوش تعریف دارد.اگر به ازای یک N خاص، عدد i به صورت بیان شده وجود نداشته باشد می گوییم N یک زمان کلی ایست نامحدود دارد و حدس غلط است. اگر حدس غلط باشد می تواند فقط به این دلیل باشد که یک عدد شروعی وجود دارد که به دنباله خاتمه ای می دهد که 1 شامل آن دنباله نیست.یک چنین دنباله ای ممکن است وارد چرخه ای شود که از 1 مستثنی باشد یا این که بدون محدودیت ادامه یابد.تا به حال چنین دنباله ای پیدا نشده است.

مثالها

برای نمونه، شروع از n=6،دنباله به صورت:

6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

شروع از n=11، دنباله بیشتر طول می کشد تا به 1 برسد:

11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

اگر مقدار عدد شروع n=27 باشد، یک دنباله 111 قدمی به وجود می آید که قبل از رسیدن به 1 از 9000 تجاوز می کند:

{ 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 }

برنامه ای برای محاسبه دنباله کولاتز

یک دنباله ی معین کولاتز به راحتی محاسبه می شود، همان طور که در شبه کد زیر نمایش داده شده:

  وقتی که n > 1

    به جای  n عدد  فرد باشد.

    درتمرین        

   در تمرین 3n + 1   به جایn    عددبگذارید و یک مجموعه عدد به دست آورید.

    یا  در  عبارت زیر

      به جایn    عددبگذارید و یک مجموعه عدد به دست آورید  با عبارت     n / 2

  show n

این برنامه وقتی دنباله به 1 می رسد، برای جلوگیری از چاپ چرخه بی پایان 4و2و1 ،متوقف می شود. اگر حدس کولاتز درست باشد، این برنامه صرف نظر از عدد ورودی همیشه متوقف می شود.

اثبات استدلال

هرچند که این حدس هنوز اثبات نشده است، ولی اکثر ریاضیدانان که این مشکل را بررسی کرده اند، خود به خود اعتقاد دارند که این حدس درست است.

در این قسمت دو دلیل برای این انتظار درستی بیان می کنیم:

مدارک آزمایشی

این حدس توسط کامپیوتر برای تمام صحیح مثبت تا 10 × 258 ≈ 2.88‎×۱۰18.]امتحان شده است.

با تعجب باید گفته شود که این گونه مقید کردن ها توسط کامپیوتر ارزش مدرکی بسیار محدودی دارند.چندین حدس وجود دارند که مثال نقضشان به طور استثنایی مقداری بسیار بزرگ است.(مانند حدس پولیا، حدس مرتن و یا عدد اسکیوویز) همچنین این موضوع که، {4,2,1} تنها چرخه با دوره ی کمتر از 35400 است، روشن شده است.

مدارک احتمالی

اگر کسی تنها اعداد فرد تولید شده در دنباله ی کولاتز را در نظر بگیرد، آنگاه کسی می تواند استدلال کند که در حالت میانگین(در حالت خاص میانگین هندسی قسمتها)عدد فرد بعدی باید ¾قبلی باشد، که اظهار می کند این دسته اعداد باید با ترتیبی طولانی کاهش یابند.(اگرچه این مدرکی علیه چرخه ها نیست، فقط علیه واگرایی است)

 

دیدگاه های دیگر درباره ی موضوع

در حالت معکوس

دیدگاه دیگری برای اثبات این حدس به کار می رود، که روش رشد از بالا به پایین را در نظر می گیرد که گراف کولاتز نام دارد.

گراف کولاتز گرافی است که با رابطه ی معکوس زیر تعریف می شود:

بنابراین به جای این که ثابت کنیم همه ی اعداد طبیعی به طور اتفاقی به 1 می رسند، می توانیم ثابت کنیم که 1 به تمام اعداد طبیعی سوق داده می شود.برای تمام اعداد صحیحپرونده:Untitssed.jpg همچنین، رابطه ی معکوس، به جز حلقه ی 1و2و4، یک درخت است(وارون حلقه 1و4و2 یک تابع بدون تغییر است که در عبارت مشکل بالا مطرح شده است).وقتی رابطه ی 3n+1 در تابع (f(n ، با جانشینی رایج "میان بر" با رابطه ی 3n + 1)/2) جا به جا شود(بهینه سازی زیر را ببینید)، گراف کولاتز با رابطه ی وارون زیر تعریف می شود:

این رابطه ی معکوس، به جز حلقه ی 1-2 ، به شکل یک درخت در می آید(معکوس حلقه ی 1-2در تابع (f(n، همانطور که نشان داده شد، در بالا بازبینی شده است)

به عنوان اعداد گویا

اعداد طبیعی می توانند با به کارگیری روشی مشخص، به اعداد گویا تبدیل شوند.براای به دست آوردن مدل گویا، بزرگترین عددتوان 2 که کمتر مساوی عدد اصلی است پیدا کنیدو آن را به عنوان مخرج در نظر بگیرید.سپس آن را از عدد اصلی کم کنید و به عنوان صورت در نظر بگیرید ( 15/512→527) .برای به دست آوردن مدل طبیعی عدد صورت و مخرج کسر را با هم جمع کنید (511→ 255/256).

حدس کولاتز می گوید که صورت سرانجام برابر صفر می شود.تابع کولاتز به صورت زیر تغییر می کند:

(n=صورت،d=مخزج)

این روش کار می کند زیرا 3x + 1 = 3(d + n) + 1 = (2d) + (3n + d + 1) = (4d) + 3n - d+1 .کاهش یک عدد گویا قبل از هرگونه عملیات باید صورت گیرد تا بتوانx را فرد دریافت کرد.

به عنوان یک ماشین انتزاعی...

استفاده ی مکرر از تابع کولاتز را می توان به عنوان یک ماشین انتزاعی که با رشته هایی از بیت ها سرو کار دارد، بیان کرد.

ماشین دو قدم زیر را تا زمانی که فقط 1 باقی بماند روی هر عدد فردی انجام می دهد:

1.عدد اصلی را با عدد اصلیی که یک "1" به انتهای آن اضافه شده جمع کن.(رشته را به عنوان یک عدد دودویی در نظر میگیریم)میدانیم: 3n + 1 = (2n + 1) + n

2.تمام 0 های انتهایی را پاک کن.

...که برابر مبنای دو در محاسبات است

راه دیگر امتحان حدس 3n+1 اقدام از طریق اعداد در مبنای دو است.مثال آن به صورت زیر است:

مثال:ما از عدد 7 استفاده می کنیم پس در مبنای دو به صورت 111 است:

 

راه استفاده شده برای بازگو کردن هر عدد در مبنای دو به صورتی است که ابتدا عدد اولیه را می نویسیم سپس زیر آن همان عدد را با یک "1" اضافه شده به انتهای سمت راست آن می نویسیم و دو عدد را جمع می کنیم.هر صفری که در انتهای چپ حاصل جمع ظاهر شد حذف می کنیم و این روند را تا جایی ادامه می دهیم که به عدد 1 برسیم.

عدد اولیه را می نویسیم سپس زیر آن همان عدد را با یک "1" اضافه شده به انتهای سمت راست آن می نویسیم و دو عدد را جمع می کنیم.هر صفری که در انتهای چپ حاصل جمع ظاهر شد حذف می کنیم و این روند را تا جایی ادامه می دهیم که به عدد 1 برسیم.

مقایسه ی ماشین انتزاعی به برابری حسابی در مبنای 2 :

 #

 # Python

 #

 import re     # regular expressions

 import gmpy   # base 2 math library

 def abstract_machine(s):

   # define Truth Tables for the Full Adder

   sum_tt   = {'000':'0','001':'1','010':'1','011':'0','100':'1','101':'0','110':'0','111':'1'}

   carry_tt = {'000':'0','001':'0','010':'0','011':'1','100':'0','101':'1','110':'1','111':'1'}

   print s

   while s != '1':

     if s[-1]=='1':                                  # it's odd

       s  = '00' + s                                 # operands must be same length, so prepend with MS 0

       ss = '0' + s + '0'                            # shift left (append LS 0) and prepend (MS 0) to allow carry

       t  = "".join(reversed(s))                     # iterating is L->R, so temporarily reverse

       tt = "".join(reversed(ss))

       carry = '1'                                   # preset carry (the '1' of '3n+1')

       answer = ""                                   # initialize answer

       for i,j in enumerate(t):                      # walk through operands one char at a time

         the_input = carry + j + tt[i]               # assemble input from previous carry & two operands

         the_sum = sum_tt[the_input]                 # look up sum out in sum Truth Table

         carry   = carry_tt[the_input]               # look up carry out in carry Truth Table

         answer = answer + the_sum                   # append sum to answer (carry used on next iteration)

       final_answer = "".join(reversed(answer))      # un-reverse answer

       if final_answer[0]=='0':                      # if the last pad caharacter didn't receive a carry,

         final_answer = final_answer[1:]             # ...get rid of it

       print final_answer                            # show result before stripping LS 0's

     else:                                           # it's even

       final_answer = s

     m = re.search('(.*1)(0*$)',final_answer)        # remove all LS 0's in one fell swoop

     s = "".join(m.groups()[0])                      # reassemble answer to do next iteration

     print s

 def base_2(n):

   while n>1:

     f = gmpy.scan1(n,0)                             # find position of LS 1-bit

     if f>0:                                         # it's even

       print gmpy.digits(n,2)                        # print n in base 2

       n = n >> f                                    # remove all LS 0's in one fell swoop

     else:                                           # it's odd

       print gmpy.digits(n,2)                        # print n in base 2

       n = (n << 1) + n + 1                          # multiply by 3 and add 1

   print gmpy.digits(n,2)                            # print n in base 2

 # main

 print 'test of abstract machine:'

 print

 abstract_machine('111')

 print

 print

 print 'test of base 2:'

 print

 base_2(7)

 ##  test of abstract machine:

 ##

 ##  111

 ##  10110

 ##  1011

 ##  100010

 ##  10001

 ##  110100

 ##  1101

 ##  101000

 ##  101

 ##  10000

 ##  1

 ##

 ##

 ##  test of base 2:

 ##

 ##  111

 ##  10110

 ##  1011

 ##  100010

 ##  10001

 ##  110100

 ##  1101

 ##  101000

 ##  101

 ##  10000

 ##  1

 ##

به عنوان یک تابع زوج

برای این قسمت تابع کولاتز را که اندکی تغییر کرده را در نظر بگیرید:

ما مجوز ایجاد این تغییر را داریم زیرا وقتی n فرد است 3n+1 همیشه زوج است.اگر (...)Pزوجیت یک عدد باشد، به صورتی که P(2n) = 0 و P(2n + 1) = 1 .پس ما میتوانیم دنباله ی زوجیت کولاتز را برای یک عدد n به صورت ('pi = P(aiکه a0 = n و(ai+1 = f(ai تعریف می کنیم.

استفاده از این شکل (f(n می تواند نشان دهد که دنباله ی زوجیت برای دو عدد m,n در k دوره ی اول مساوی است اگر و تنها اگر m,n به پیمانه ی k2برابر باشند. این موضوع به این اشاره دارد که هر عدد به طور خاص با دنباله ی زوجیت خود شناخته می شود و علاوه بر این اگر حلقه های کولاتز متعددی وجود داشت، حلقه ی زوجیت متناظر با آنها نیز باید متفاوت باشد. اثبات این موضوع بسیار ساده است، می توان به صورت شهودی و بسیار ساده مشاهده کرد که اعمال f تابع ،k بار بر عددa 2k+b عدد a 3c+d را نتیجه خواهد داد، که d نتیجه ی اعمال f تابع ،k بار بر عدد b است و c عددی است که نشان می دهد چه تعداد عدد فرد در طی این دنباله به دست آمده است بنابراین زوجیت k عدد اول به کلی با b معین می شود و زوجیت عدد k+1ام ، اگر آخرین عدد پرمعنیa تغییر کند، تغییر خواهد کرد. حدس کولاتز را می توان به این صورت بیان کرد که، زوجیت دنباله ی کولاتز برای هر عدد نهایتا وارد حلقه ی 0 → 1 → 0 می شود.

مانند یک سیستم برچسب

برای تابع کولاتز به فرم:

دنباله های کولاتز توسط سیستم بسیار ساده 2-برچسبی که قانون حاصل جمع آن به صورت زیر است محاسبه می شوند:

و به صورتی که عدد صحیح مثبت n یک رشته ی nتایی از aها بیان شده است، با بیان این موضوع که عملیات برچسب روی هر کلمه ای که طولش از 2 کمتر است می ایستد. حدس کولاتز را می توان به این صورت بیان کرد که، این سیستم برچسب گذاری، با یک رشته ی دلخواه کراندار از aها به عنوان عدد اولیه، در پایان می ایستد.

بسط در دامنه های بزرگتر

تکرار روی تمام اعداد صحیح:

برای هر عدد صحیح، نه فقط اعداد صحیح مثبت، ما آن را روی (f(n می نگاریم که:

*اگر n زوج  f(n) = 3n + 1;

*اگر n فرد     f(n) = n/2.

بطور جالب توجه مشاهده می شود که در این حالت تنها پنج حلقه داریم، که به نظر می رسد که تمام اعداد نهایتا مشمول این تکرار می شوند.این 5 حلقه در پایین نشان داده شده است. برای ذخیره گامها، ما فقط اعداد فرد را در حلقه یادداشت می کنیم(به جز حلقه کوچک {0}) .هر عدد فرد n، وقتی تابع f مکررا اعمال می شود به عدد فرد بعدی خواهد رسید در : (بزرگترین عدد توان دو که3n+1 را عاد می کند)/3n+1

هر حلقه با اولین عضو کمترین مقدار مطلقش فهرست شده.

ما هر حلقه را با اندازه ی حلقه ی کامل دنبال می کنیم(داخل پرانتز):شماره ی اعضا، زوج یا فرد، به حلقه متعلق است که بدون تکرار محاسبه شده است.

a)    1  →  1   (size 3)

 

b)    0  →  0   (size 1)

 

c)    -1  →  -1  (size 2)

 

d)    -5  →  -7  →  -5   (size 5)

 

e)    -17  →  -25  →  -37  →  -55  →  -41  →  -61  →  -91  →  -17   (size 18)

در اینجا حدس کولاتز تعمیم یافته را بیان کردیم به این نظر که هر عدد صحیح، در تکرار توسط f ،در پایان وارد یکی از حلقه های a,b,c,d,e می شود. تکرار روی اعداد گویا با مخرج زوج: نگاشت استاندارد کولاتز را می توان به اعداد گویا بسط داد (چه منفی چه مثبت)که مخرج فرد دارند ،زمانی که در ساده ترین حالت نوشته می شوند.زوج یا فرد بودن عدد با توجه به این تعیین می شود که صورت زوج است یا فرد. دنباله های زوجیت همانطور که در بالا تعریف شد دیگر برای کسرها منحصر به فرد نیستند، هر چند می توان نشان داد هر حلقه ی زوجیت ممکن یک دنباله ی زوجیت برای دقیقا یک کسر است:اگر یک حلقه دارای طول n و شامل اعداد فرد دقیقا m تا به صورت

k0, …, km-1،آنگاه کسر منحصر به فرد که حلقه ی زوجیت را به وجود می آورد برابر:

. برای مثال، حلقه ی زوجیت (1 0 1 1 0 0 1) دارای طول 7 و 4 عدد فرد به صورت 0,2,3 است و کسر منحصر به فرد که حلقه ی زوجیت را تولید می کند برابر:

. حلقه ی کامل موجود به صورت: 151/47 → 85/47 → 170/47 → 340/47 → 211/47 → 125/47 → 250/47 → 151/47

هرچند جایگشت های تناوبی دنباله های زوجیت اصلی کسرهایی منحصر به فرد هستند ولی حلقه منحصر به فرد نیست.هر کسر جایگشت برابر عدد بعدی در دور حلقه است:

(0 1 1 0 0 1 1) →

 

(1 1 0 0 1 1 0) →

 

(1 0 0 1 1 0 1) →

 

(0 0 1 1 0 1 1) →

 

(0 1 1 0 1 1 0) →

 

(1 1 0 1 1 0 0) →

همچنین برای منحصر به فردی، دنباله های زوجیت باید "اول" باشد . نباید قابل تقسیم به زبر دنباله های یکسان باشد.برای مثال ، دنباله های زوجیت (1 1 0 0 1 1 0 0) می تواند به دو زیر دنباله ی یکسان(1 1 0 0)(1 1 0 0) تقسیم شود.محاسبه ی کسر 8-عاملی این دنباله نشان میدهد:

(1 1 0 0 1 1 0 0) →

ولی وقتی کسر را ساده کنیم {5/7} مانند همان زیر دنباله ی 4-عاملی است:

(1 1 0 0) →

و این به این دلیل است که دنباله ی زوجیت 8-عاملی در واقع دو حلقه از دور حلقه ای تعریف شده توسط زیر دنباله ی 4-عاملی است.

در این زمینه، حدس کولاتز برابر با این است که بگوییم(0،1) تنها حلقه ای است که تمام اعداد مثبت ایجاد می شود. تکرار روی اعداد حقیقی یا اعداد مختلط:

نمودار تار عنکبوت در دور 10-5-8-4-2-1-2-1-2-1-… در بسط حقیقی نگاشت کولاتز (توسط جایگزینی “3n+1”با “3n+1)/2)”بهینه شده است) " )

نگاشت کولاتز را می توان به عنوان یک محدودیت برای اعداد حقیقی یا اعداد مختلط نشان داد:

,

پس از ساده سازی:

.

اگر نگاشت استاندارد کولاتزی که در بالا تعریف شده توسط جایگزینی “3n+1”با “3n+1)/2)”بهینه شده باشد، این موضوع می تواند نشان داده شود که یک محدودیت برای اعداد حقیقی یا اعداد مختلط است:

, پس از ساده سازی:

. تکرار نگاشت بهینه سازی شده ی فوق در صفحه ی اعداد مختلط فراکتال کولاتز را ایجاد می کند.

بهینه سازیها

در قسمت "زوجیت" راهی برای سرعت بخشیدن به شبیه سازی دنباله ارایه شد.برای جلو افتادن k قدم درهر تکرار (با استفاده از تابع f در همان قسمت)،عدد فعلی را به دو قسمت تقسیم می کنیم،b(kتا کم ارزشترین رقم ها)،و a (بقیه رقم های عدد).نتیجه جلوپریدن k+c[b] قدم به صورت زیر خود را نشان می دهد:

f k+c[b](a 2k+b) = a 3c[b]+d[b]

مقادیر c,d برای تمام اعداد K-بیتی ممکن از قبل محاسبه شده است که d[a] نتیجه اعمال k بار تابع f روی b است، و c[a]تعداد اعداد فرد در طول مسیر است. برای مثال اگر ،k=5 باشد، میتوان 5 قدم در هرتکرار توسط جدا کردن 5 تا از کم ارزشترین رقم ها به جلو پرید و استفاده از:

c [0...31] = {0,3,2,2,2,2,2,4,1,4,1,3,2,2,3,4,1,2,3,3,1,1,3,3,2,3,2,4,3,3,4,5}

d [0...31] = {0,2,1,1,2,2,2,20,1,26,1,10,4,4,13,40,2,5,17,17,2,2,20,20,8,22,8,71,26,26,80,242}

تابع سیراکوس

اگر k یک عدد فرد باشد، آنگاه 3k+1 زوج است، پس میتوانیم بنویسیم 3k + 1 = 2ak، K یک عدد فرد و a ≥ 1 است.ما تابع f را از روی مجموعه ی Iاز اعداد فرد به روی خودش تعریف می کنیم، که تابع سیراکوس نام دارد، با فرض این که‎

f (k) = k′

برخی از خواص تابع سیراکوس:

  • برای تمام kها درI‎

f (4k + 1) = f (k)

  • برای تمام p ≥ 2 و h های فرد،‎

f p - 1(2 p h - 1) = 2 3 p - 1h – 1

  • برای تمام hهای فرد،‎

f (2h - 1) ≤ (3h - 1)/2

حدس سیراکوس این است که برای تمام kها در I ،وجود دارد عدد صحیح n ≥ 1 به صورتی که‎

f n(k) = 1

.به طور هم ارز، فرض می کنیم E مجموعه اعداد فرد k باشد که عدد صحیح n ≥ 1 وجود دارد به صورتی که‎

f n(k) = 1

باشد . مشکل این است که نشان دهیم E=I است.در ادامه تلاشی را برای اثبات از طریق استقرا اغاز می کنیم:

میدانیم 1و3و5و7و9 در E وجود دارند.فرض می کنیم k عددی فرد بزرگتر از 9 باشد.فرض میکنیم که k-2 و تمام اعداد فرد قبل از آن در E هستند و اثبات میکنیم که kدر E است.وقتی k یک عدد فرد است پس میتوان نتیجه گرفت ‎

k + 1 = 2ph

برای p ≥ 1 و hهای فرد و‎

k = 2ph-1

پس حالا داریم:

  • اگر p=1،آنگاه k=2h-1. به راحتی میتوان امتحان کرد که f (k) < k ،بنابراین f (k) ∈ E از اینرو k ∈ E.
  • اگر p ≥ 2و hمضرب 3 باشد، می توانیم بنویسیم‎

h = 3h′

.فرض می کنیم‎

k = 2p + 1h - 1

پس داریم f (k′) = k،و تا زمانی که‎

k′ < k، k′

در E وجود دارد، بنابراین k = f (k′) ∈ E.

  • اگر p ≥ 2و hمضرب 3 نباشد ولی h ≡ (-1)p mod 4 ولی باز هم می توان نشان داد k ∈ E.

قسمت مشکل ساز آنجاست که p ≥ 2و hمضرب 3 نباشد و h ≡ (-1)p+1 mod 4.در اینجا اگر سعی کنیم که نشان دهیم که برای هر عدد صحیح فرد′k،

1 ≤k′≤ k-2 ; 3k′ ∈ E

کار تمام است.

اعداد اول

تعریف: عدد طبیعی  p>1,pرا اول می نامند به شرطی که تنها مقسوم علیه های مثبت آن 1وp  باشند. اگرعددی طبیعی وبزرگتر از 1 اول نباشد مرکب است.

 

قضیه 1: تعداد اعداد اول نامتناهی است.

آیا می توانید اثبات کنید که بینهایت عدد اول داریم؟

برهان: اول از همه باید بدانیم که اعداد طبیعی که تعداد آنها بینهایت است یا عددی اول هستند و یا اینکه حاصل ضربی از اعداد اول می باشند و از این دو حالت خارج نیست. حالا می خواهیم اثبات کنیم که تعداد اعداد اول بینهایت است. برای این کار از برهان خلف استفاده می کنیم یعنی فرض می کنیم اعداد اول متناهی هستند.حالا فرض می کنیم اعداد اولی که گفتیم تعداد آنها بینهایت نیست عبارتند از:  P1وP2وP3و.....وPn

همان طور که قبلا گفتیم اعداد طبیعی یا عددی اول هستند و یا اینکه حاصل ضربی از اعداد اول می باشند(غیراز عددیک) و از این دو حالت خارج نیست و به عبارتی حاصل ضرب همه اعداد اول فرض شده ی بالا به اضافه ی یک بر هیچ یک از اون اعداد اول بخشپذیر نیست و این ممکن نیست که عددی وجود داشته باشد که نه اول باشد و نه حاصل ضربی از اعداد اول و به عبارتی به یک چیز نا ممکن رسیدیم، پس فرض مسئله اشتباه است و به عبارتی بینهایت عدد اول داریم.

خلاصه بحث: حکم را به روشی که منسوب به اقلیدس است اثبات می کنیم: فرض کنید تعداد اعداد اول متناهی و تعداد آنها n تا باشد . حال عدد M را که برابر حاصلضرب این اعداد به علاوه ی 1 را در نظر بگیرید. این عدد مقسوم علیهی غیر از آن n عدد دارد که با فرض در تناقض است. (البته شایان ذکر است که این قضیه اثبات های گوناگونی دارد که ما ساده ترین آنها را انتخاب کردیم اگر مایلید می توانید اثبات های دیگر آن را بیاورید).

 

قضیه 2:قضیه ی اساسی حساب: هر عدد طبیعی بزرگتر از 1 را به شکل حاصلضرب اعدادی اول نوشت.

 

قضیه 3: قضیه چپیشف: اگر n عددی طبیعی و بزرگتر از 2 باشد, حتما" بین n و 2n  عدد اولی وجود دارد.

 

                                         

 حدس گلدباخ

 

انگاره‌ی گلدباخ (حدس گلدباخ) از جمله معروف‌ترین مسایل حل نشده‌ی ریاضیات می‌باشد. برای درک این مساله تنها کافیست با مفهوم اعداد اول آشنا باشید. این انگاره چنین است:

 

هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از 2 حاصل‌جمع دو عدد اول است.

صورت معادل آن چنین است:

هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از 5 حاصل‌جمع سه عدد اول است.

 

تاریخچه

گلدباخ (1690 – 1764) به خاطر این حدس که آن را در سال 1742 در نامه‌ای به اویلر مطرح کرد، نامش در تاریخ ریاضیات باقی مانده است. او ملاحظه کرد در هر موردی که امتحان می‌کند، هر عدد زوج را (به جز 2 و 5) می‌توان به صورت مجموع سه عدد اول نوشت.اویلر حدس گلدباخ را تعمیم داد به طوری‌که هر عدد زوج بزرگ‌تر از 2 را می‌توان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت. مثلاً :

 

4=2+2 , 6=3+3 , 8=5+3 , 10=5+5 , 12=5+7 , 14=7+7 , 16=13+3 , 18=11+7 , 20=13+7 ,

… , 48 = 29 +19 , … , 100 = 97 + 3 , …

 

گلدباخ از اویلر پرسید که آیا می‌تواند این مطلب را برای همه عددهای زوج ثابت کند و یا اینکه مثال نقضی برای آن بیابد؟ شواهد تجربی در تایید اینکه هر عدد زوج به این صورت قابل نمایش است، کاملاً قانع‌کننده است و هر کسی می‌تواند با امتحان کردن چند عدد زوج، این موضوع را تحقیق کند. منشأ دشواری در این است که عددهای اول بر حسب ضرب تعریف می‌شوند در حالی که این مسأله با جمع سروکار دارد. به طور کلی، اثبات رابطه بین ویژگیهای ضربی و جمعی اعداد صحیح کار مشکلی است.

 

تلاش‌ها برای اثبات

در سال 1931 اشنیرلمان (1905-1938) که در آن موقع یک ریاضیدان روس جوان و گمنام بود موفقیت مهمی در این زمینه به دست آورد که برای همه متخصصان غیرمنتظره و  شگفت‌آور بود. او ثابت کرد هر عدد صحیح مثبت را می‌توان به صورت مجموع حداکثر  300000 عدد اول نمایش داد. گر چه این نتیجه در مقایسه با هدف اصلی یعنی اثبات انگاره‌ی گلدباخ مضحک به نظر می‌رسد، ولی این نخستین گام در آن جهت بود. این اثبات مستقیم و سازنده است، اما هیچ روش خاصی برای تجزیه یک عدد صحیح دلخواه به اعداد اول ارائه نمی‌کند.

بعدا وینوگرادوف ریاضیدان روس با استفاده از روشهای هاردی ، لیتلوود و همکار هندی برجسته آنها رامانوجان در نظریه تحلیلی اعداد ، موفق شد تعداد عددهای اول مورد لزوم را از 300000 به 4 کاهش دهد. این نتیجه به تعداد مطلوب در انگاره گلدباخ بسیار نزدیکتر است ولی تفاوت عمده‌ای بین حکم اشنیرلمان و حکم وینوگرادوف وجود دارد که شاید مهمتر از اختلاف میان 300000 و 4 باشد. قضیه وینوگرادوف فقط به ازای همه اعداد صحیح «به اندازه کافی بزرگ» ثابت شده است؛ به بیان دقیقتر، او ثابت کرد عدد صحیح N ای وجود دارد به طوری که هر عدد صحیح n>N را می‌توان به شکل مجموع حداکثر 4 عدد اول نشان داد. اثبات وینوگرادوف راهی برای براورد کردن N به ما نشان نمی‌دهد، و بر خلاف اثبات اشنیرلمان، اساساً غیرمستقیم و غیرسازنده است. در حقیقت، چیزی که وینوگرادوف ثابت کرد این است که فرض نامتناهی بودن تعداد عددهای صحیحی که قابل تجزیه به حداکثر 4 عدد اول نیستند، به نتیجه نامعقولی می‌انجامد. در اینجا با نمونه خوبی از تفاوت عمیق میان دو نوع اثبات، مستقیم و غیرمستقیم، رو به روییم.

در سال 1956 باروتسکین با نشان دادن اینکه عدد exp(exp(16/038))=n در قضیه وینوگرادف کافیست گام دیگری در این راه نهاد. در 1919 ویگوبرون رویکرد متفاوتی با عنوان روش غربال مطرح کرد که تعمیمی از غربال اراتستن است. او ثابت کرد هر عدد صحیح زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد ، مجموع دو عدد است که هر کدام از آنها حاصل‌ضرب حداکثر 9 عدد اول هستند.

در 1937 ریچی ثابت کرد هر عدد زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد مجموع دو عدد است که یکی حاصل‌ ضرب حداکثر دو عدد اول و دیگری حاصل‌ضرب حداکثر 366 عدد اول است. کُن با بهره‌گیری از ایده‌های ترکیبیاتی بوخشتاب ثابت کرد هر عدد زوج بقدر کافی بزرگ مجموع دو عدد است که هر یک حاصل‌ضرب حداکثر چهار عدد اول است.

در 1957 ، ونگ یوان با فرض درست بودن صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان ثابت کرد هر  عدد صحیح زوج بقدر کافی بزرگ ،‌مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر سه عدد اول است.

در 1948 آلفرد بدون استفاده از صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان ثابت کرد که هر عدد زوج بقدر کافی بزرگ مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر c عدد اول است. ( c عددی ثابت و مجهول است). در 1961 باربن نشان داد که c=9 برای این منظور کفایت می‌کند.

در 1962 ، پان چنگ دونگ این مقدار را به c=5 کاهش داد. مدت کوتاهی پس از آن باربن و پان ، مستقل از هم ،‌آن را به c=4 کاهش دادند.

در 1965 بوخشتاب این قضیه را به ازای c=3 کاهش داد.

در 1966 ، چن جینگ ران روش غربال را بهتر کرد و قضیه را به ازای c=2 ثابت کرد. یعنی هر عدد صحیح زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد ، مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر دو عدد اول است.

 

 




علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 
نظرات پس از تایید نشان داده خواهند شد.


شبکه اجتماعی فارسی کلوب | Buy Website Traffic | Buy Targeted Website Traffic