آموزشی.اطلاعات مفید علمی . سوال های درسی . تدریس ریاضی

درجه رادیان گراد

تاریخ:سه شنبه 2 دی 1393-04:22 ب.ظ


  • لازم به ذکر است زاویه ها را با وسیله ای به نام نقاله اندازه گیری می کنند که بر حسب درجه مقیاس بندی شده اند.
تصویر


واحد های اندازه گیری زاویه: 
واحد های اصلی برای اندازه گیری زاویه عبارتند از: درجه، گراد و رادیان که در اینجا به تعریف و توضیح آنها می پردازیم: 

  • درجه:

  • اگر محیط یک دایره دلخواه را به 360 قسمت مساوی تقسیم کنیم هر قسمت را یک درجه می نامند. به عبارت دیگر یک درجه یک سیصد و شستم محیط یک دایره است. 
    تصویر

  • برای نمایش درجه از علامت o استفاده می شود. لذا می توان گفت:  یک درجه= 1/360 محیط دایره

 
پس به این ترتیب در این مقیاس، زاویه تمام صفحه که یک دور کامل است برابر 360 درجه و زاویه نیم صفحه برابر 180 درجه است.

 

  • استفاده از واحد درجه(degree) برای اندازه گیری زاویه به بابلی ها منسوب است که با دستگاه اعداد در مبنای 60 کار می کردند. همچنین 360 درجه احتمالا از تعداد روزهای سال بابلی ها ( عراق امروز)نشات گرفته است سالی که دارای 12 ماه 30روزه است.

اجزای درجه: 
همان گونه که می دانید معمولا هر واحد دارای اجزایی می باشد. درجه نیز به عنوان یک واحد اندازه گیری دارای اجزایی می باشد که عبارتند از دقیقه و ثانیه.(این اجزا گاهی آرک دقیقه:Arc minute و آرک ثانیه:Arc second نیز گفته میشوند) 
هر دقیقه برابر است با یک شصتم درجه.

                       2rπ × 1/21600 ( محیط دایره) = یک دقیقه= 1/60×1درجه   
o


هر ثانیه برابر یک شصتم دقیقه یا یک سه هزار و شسصدم درجه. 


به عنوان مثال اگر اندازه زاویه ای 37 درجه و 30 دقیقه و 15 ثانیه باشد می نویسیم:

                                                 15 :' 30   :0 37
گراد


اگر محیط یک دایره را به 400 قسمت مساوی تقسیم کنیم هر قسمت را یک گراد می گویند. به عبارت دیگر یک چهارصدم دوران کامل، زاویه ای به اندازه یک گراد پدید می آورد.گراد گاهی گون نیز گفته می شود. برای نمایش گراد از نماد «gr» استفاده می شود. لذا می توان گفت:





  

 π(پی)2R


 ×

1

400

 =1gr



 


پس به این ترتیب در این مقیاس اندازه زاویه تمام صفحه( 360 درجه) یا یک دور کامل 400 گراد و اندازه زاویه نیم صفحه برابر 200 گراد خواهد بود.

اجزای گراد: 
اجزای گراد عبارتند از دسی گراد(dgr) ، سانتی گراد(cgr)، میلی گراد(mgr) که هر کدام به ترتیب:
 یک دهم گراد( 0.1)، یک صدم (
0.01)گراد و یک هزارم (0.001))گراد می باشند. 


به عنوان مثال اگر اندازه زاویه ای 37 گراد و 2 دسی گراد و 8 میلی گرا باشد می نویسیم:  gr  37.208

استفاده از این واحد برای زاویه در ریاضیات بسیار کم است.

رادیان
  دایره ای به شعاع L را در نظر بگیرید. می دانیم محیط این دایره(  2× L×3.14 )  است.
 یک رادیان اندازه زاویه مرکزی مقابل به کمانی از دایره است که طول کمان روبرو به آن برابر شعاع دایره است.
تصویر
برای نمایش رادیان از نماد«rad» استفاده می کنیم. بنابراین محیط هر دایره برحسب رادیان (    2×3.14) رادیان است و زاویه نیم صفحه برابر(  3.14 رادیان) رادیان است. و لذا:

 که در آن P محیط دایره است.
ا استفاده از تعریف رادیان می توان نتیجه گرفت که اگر طول کمان روبرو به زاویه  برابر s و شعاع دایره r باشد آنگاه اندازه زاویه تتا بر حسب رادیان را می توان با یک تناسب ساده چنین محاسبه کرد: 

عنوان مثال می خواهیم بدانیم اندازه زاویه مرکزی مقابل به کمانی از دایره که طول آن کمان  یک ششم محیط دایره است چند رادیان است؟

روش حل بدون استفاده از فرمول(اساس یافتن فرمول فوق) به این صورت است: r=طول شعاع 
اگر طول کمان برابر  باشد آنگاه اندازه زاویه برابر است با  رادیان حال اگر 
طول کمان برابر  باشد اندازه زاویه چقدر می شود؟

تصویر

 

 rad

π

3

  =  

2r×2r π×1/6

 π(پی)2r

 =x



 
  • لازم به توضیح است که پر کاربرد ترین واحد اندازه گیری زاویه رادیان است که بویژه در مثلثات، حساب، فیزیک کاربرد فراوان دارد.


تبدیل واحد های اندازه گیری زاویه به یکدیگر: 
دایره ای به شعاع r و زاویه  را در دایره در نظر بگیرید: 



تصویر

اندازه زاویه  برحسب درجه D، برحسب گراد G و برحسب رادیان R باشد. با استفاده از تناسب داریم: 
1-
فرض کنید ا
طول کمان اندازه زاویه برحسب درجه
360





-

طول کمان اندازه کمان برحسب گراد
400

--__
طول کمان اندازه زاویه برحسب رادیان
R

 

 از تساوی های فوق رابطه زیر نتیجه می شود: 



 



  =  

R

 π(پی)

 = 

G

200

 +

D

180

 

 به عنوان مثال اگر اندازه زاویه ای برابر 20 گراد باشد اندازه این زاویه بر حسب درجه و رادیان به این صورت محاسبه میشود: 
 
 

  • هر رادیان تقریبا برابر است با 57.3 درجه است.


















علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 
manicure
جمعه 18 فروردین 1396 01:34 ب.ظ
I do believe all the concepts you've presented in your post.

They're really convincing and will certainly work. Nonetheless, the posts are too brief for starters.
May you please lengthen them a bit from subsequent time?
Thanks for the post.
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر