آموزشی.اطلاعات مفید علمی . سوال های درسی . تدریس ریاضی

بردارها

تاریخ:جمعه 19 دی 1393-04:02 ب.ظ


بردارها

این یک بردار است:

یک بردار اندازه(  magnitude) و جهت   (direction)دارد:

طول خط ،اندازه  وسر ( پیکان) جهت را نشان می دهد.

ما می توانیم دو بردار را نشان دهیم که به دنبال هم رسم شدندبه شکلی که انتهای یکی در ابتدای دیگری باشد.:

هر بردار را با حرف کوچکa  هم نشان می دهند. به دو روش دوبردار را جمع می کنند :

1- روش مثلثی                 2-  روش متوازیالاضلاع

جمع دوبردار هم جهت وبه دنبال هم :مثل اینکه شما از اصفهان به تهران رفتید وازتهران به مشهد یا به عکس  :

 

مثال دیگر: هواپیمایی به طرف شمال در پرواز بود بعد از مدتی به طوفان برخورد .مسیر  وجهت را به شرق تغییر  وبه راه ادامه داد.

.

در پرواز پرندگان هم دیده اید جهت کمک به مقاومت هوا  ، به صورت دوبردار شکل عدد8 پرواز می کنند.


تفریق دو بردار:

میتوان دو برداررا از هم کم کنیم: اول مسیررا معکوس حساب می کنیم.  ابتدای بردار -طول بردار = انتهای بردار

                       a-b=a-b

نکات:

همچنین دو بردار را با دو حرف  ابتدای بردار( tail )وانتهای بردار(  head(هم مینویسیم
بردار  AB
 


محاسبه?

دوبردار به دنبالهم  را به صورت دو قطعه جدا از هم با  xو y    نشان دادیم مثل این شکل:

بردار aشکسته وبرداردومی روبه بالا به ترتیب  به این صورت می خوانیم:    ax و   ay

جمع بردار ها
 
گاهی اوقات  دو یا چند بردار بدنبال هم رسم می شوند ,

یعنی از انتهای یکی بردار دیگری رسم می گردد ,

در این حالت اگر برداری رسم کنیم که  ابتدای اولین بردار

 را به انتهای آخرین بردار وصل کند,بردار حاصل جمع  آن

 بردارهای متوالی  را رسم کرده ایم.

جمع بردارها: در شکل ببینید گاه دوبردار هم مسیر به دنبال هم هستند.قسمت xو y را ببینید شکل سمت چپ را  در سمت را به صورت حاصل جمع نشان داده:

بردار (8,13) وبردار (26,7) مجموعا (34,20)

مثال: حاصل جمع بردار( a = (8,13) و ( b = (26,7

                                    انتها ی بردار =  طول   + ابتدای بردار            c = a + b

c = (8,13) + (26,7) = (8+26,13+7) = (34,20

تفریق بردارها :  (طول)+ ابتدا=انتها 

مثال: تفریق کنید(   k = (4,5) از v = (12,2

                           ابتدا       -   انتها       =طول بردار               a = v + −k

a = (12,2) + −(4,5) = (12,2) + (−4,−5) = (12−4,2−5) = (8,−3

اندازه یک بردار

اندازه یک بردار را بین دوعلامت خط عمود نشان می دهیم:   |a|

برای انکه با علامت قدر مطلق اشتباه نشود با دوخط عمودی در هر طرف می نویسیم.):||a||

اندازه یک بردار از فرمول فیثاغورث  استفاده می کنیم.:

                      x|a| = √( x2 + y2

مثال: اندازه     بردار ( b = (6,8   چقدر   ?

 b| = √( 62 + 82 ) = √( 36+64 ) = √100 = 10

یک بردار با اندازه 1 را بردار واحد می گوییم.

 بردار واحد   عرضها"y"      طولها"x"

اندازه بردار واحد = 1:               بردار واحد عرضها  (0,1)= i  =(1,0)                  j بردارواحدطولها

 

نشانه بردار واحد a^
  حرف کوچکaوعلامت "^",  مثل  (کلاه) روی سر a:
(تلفظ آن "a-کلاه")
یک بردار را با واحد می سنجند .  ومجموعی از مضربهای بردارهای(   بردار واحد عرضها(0,1)= i  =(1,0)                  j بردارواحدطولها  )
یعنی مثلا می گوییم بردا رa   ...... برابر a^  ( بردار واحد)است. 

بردار aنشان داده  2.5 برابر بردار واحد در همان راستای بردار واحد است. :

برداردر 2 بعدی

بردار واحد را با دو بعد نشان می دهند:         

                                  =بردار واحد  a )

بردار واحد  a مساوی 2 "x" بردار واحد و 1.3 "y" بردار واحد.

یا بردار واحد  a مساوی 2 "i" بردار واحد و 1.3 "j" بردار واحد

بردار3 بعدی


 

هر بردار را با دو عدد نمایش میدهند (  عرض  ،  طول)

بردار را با حرف درشت( بزرگ) هم نشان می دهند. ,

مثلا zیک بردار است, که  اندازه دارد و جهت که در راستای محور طولها وعرضها را نشان می دهد.

ضرب یک عدد در بردار یعنی بردار را .... برابر کردیم. یا می گوییم بردار a

  3برابر بردار   m  است.

lکه مختصات طول وعرض ، هر یک 3 برابر می کنیم.یعنی عدد را هم در طول وهم در عرض ضرب می کنیم..

مثال:(  m = (7,3 که بردار  a = 3m

(
a = 3m = (3×7,3×3) = (21,9

که بردار درهمان مسیر وراستا است ولی 3برابر شده

بردار بیشتر از 2بعد

بردار ها میتوانند علاوه بر2بعدی چندبعدی هم باشند:

مثال: جمع کنید( a = (3,7,4) و( b = (2,9,11

c = a + b

c = (3,7,4) + (2,9,11) = (3+2,7+9,4+11) = (5,16,15)

 

مثال: تفریق کنیدبردار (1,2,3,4)از (3,3,3,3)

(3,3,3,3) + −(1,2,3,4)
= (3,3,3,3) + (−1,−2,−3,−4)
= (3−1,3−2,3−3,3−4)
= (2,1,0,−1)

مثال: اندازه بردار 3 بعدی( w = (1,−2,3چقدر ?

w| = √( 12 + (−2)2 + 32 ) = √( 1+4+9 ) = √14

 

اندازه  و جهت:یک بردار اندازه(  magnitude) و جهت   (direction)دارد:

برای نوشتن مختصات بردار  روی موحور مختصات ابتدادرراستای طولها وبعد در راستای عرضها حرکت می کنیم. و اندازه حرکت را داخل   (   x,y)یا [  ] )

می نویسیم:

<=>
بردار a مختصات قطبی
( Polar Coordinates )
  برادارa روی محور مختصاتی
(Cartesian Coordinates )



شکل بردارقطبی (r,θ)
به بردار مختصاتی  دکارتی (x,y)
شکل بردارمختصاتی (x,y)
به بردار قطبی (r,θ)
  • x = r × cos( θ
  • y = r × sin( θ
  • r = √ ( x2 + y
  • θ = tan-1 ( y / x

یک مثال

احمد و اکبر یک جعبه را می کشند.

  • احمد با  200 نیوتن نیرو  با زاویه 60°
  • اکبر  120 نیوتن نیروبا زاویه 45°

مجموع نیروها, در یک مسیر مستقیم چقدر?

اول در نیرو رابا بردار دنبالهم رسم کنیم:

حالا, تبدیل بردار قطبی به بردار مختصاتی  ( 2دورقم اعشار):

بردار احمد:

  • x = r × cos( θ ) = 200 × cos(60°) = 200 × 0.5 = 100
  • y = r × sin( θ ) = 200 × sin(60°) = 200 × 0.8660 = 173.21

بردار اکبر:

  • x = r × cos( θ ) = 120 × cos(-45°) = 120 × 0.7071 = 84.85
  • y = r × sin( θ ) = 120 × sin(-45°) = 120 × -0.7071 = −84.85

ببینید نتیج هرا:

به آسانی جمع می شود:

(100, 173.21) + (84.85, −84.85) = (184.85, 88.36)


  • r = √ ( x2 + y2 ) = √ ( 184.852 + 88.362 ) = 204.88
  • θ = tan-1 ( y / x ) = tan-1 ( 88.36 / 184.85 ) = 25.5°

 روش مثلث :مجموع دو بردار به دنبال هم =  بردار حاصل جمع ( بردارنارنجی):

بردار حاصل جمع ( نارنجی)از ابتدای اولین بردار به اخرین بردار وصل شده است.

حالا ببینید روش متوازی الاضلاع بردار احمد واکبر را  ( روش متوازی الاضلاع= مجموع دوبردار اضلاع= بردار قطر متوازی الاضلاع:

روش دیگری که برای جمع بردارها وجود دارد "روش متوازی الاضلاع" نام دارد. این روش كاملاً معادل روش قرار دادن بردارها به شكل پی در پی می‌باشد. در این روش بردارها طوری قرار می‌گیرند كه ابتدای آن ها بر هم منطبق باشد. سپس به كمك این دو بردار (ضلع) متوازی الاضلاعی ساخته می‌شود.

 

 

درواقع بردار برآیند برداری است كه ابتدای آن روی ابتدای دو بردار و انتهای آن بر روی قطر متوازی الاضلاع قرار دارد.

 

دقت كنید كه در انتخاب قطر متوازی الاضلاع اشتباه نكنید.

 

با دقت در دو تصویر زیر به خوبی متوجّه می‌شوید كه جمع بردارها به روش متوازی الاضلاع و مثلث معادل یكدیگرند.

 

در خاتمه بر این نكته تأكید می‌شود كه در جمع بردارها قطر متوازی الاضلاع به درستی انتخاب شود. نكته جالب این است كه اگر قطر دیگر متوازی الاضلاع را همانند شكل انتخاب كنید برداری حاصل می‌شود كه در حقیقت تفاضل دو بردار برابر:

خواهد بود.



 





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 
نسترن
چهارشنبه 3 بهمن 1397 10:18 ب.ظ
خواستم بدونم که زاویه بین دو بردار1j .و رادیکال 3iو 1j چند درجه میشود بعد فرمول خاصی برای زاویه بین دوبردار دارد؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://matheworld.blogfa.com/?p=2
محمد حسین
جمعه 10 شهریور 1396 11:22 ق.ظ
اگر میشه مطالبی درموردجمع وتفریق مختصات بردار وابتداوانتها هم بزارین. ممنون میشم
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/1557
محمد حسین
جمعه 10 شهریور 1396 11:18 ق.ظ
من دانش آموز مدرسه نمونه دولتی هستم و اطلاعات شما همیشه به من کمک میکنه. با تشکر
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی :
غزال
یکشنبه 29 آذر 1394 08:58 ب.ظ
خیلی عالی بود مرسی از زحمات شما
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی :


شبکه اجتماعی فارسی کلوب | Buy Mobile Traffic | سایت سوالات