آموزشی.اطلاعات مفید علمی . سوال های درسی . تدریس ریاضی

دستگاه معادله های خطی

تاریخ:دوشنبه 18 اسفند 1393-07:12 ب.ظ

یک دستگاه معادله خطی مثل تمرین زیر را حل می کنیم منظور از حل کردن ، پیداکدون مقادیری برایy  وx است که وقتی به ازای انها در معادله قراردهیم معادله برقرار باشد.کافی است که ضریب xیا yرا یکسان کنیم البته با داشتن  علامتهای قرینه
کافی است   در معادله زیر چون ضریب x   یکسان است و قرینه هم هستند حذف شوند:


3y - 2x = 11

y + 2x = 9

4y=20      y=5

با جایگزینی در یک از معادله های بالا xرا حساب کنی

y + 2x = 9   :   5 + 2x = 9


 2x = 9-5      2x = 4     x = 2

در حقیقت در حل دومعادله در یک دستگاه باید یکی از مجهولها را با توجه به قرینه بودن وضریبهای مساوی،حذف کنید و   مجهول دیگر را به دست آورید .ودر یکی از معادله ها مقادیر را جایگزین کنید ومجهول دیگر را حساب کنید. .  

توجه کنید مثل قاپیدن طعمه توسط قورباغه که  طعمه دوباره جایگزین شده  ما هم مقادیر را  در معادله جایگزین می کنیم .

می خواهیم دستگاه معادله زیر را حل کنیم".

 4x - 6y = 12
2x + 2y = 6
 

رسم معادله این خط اسان است.

با حل معادله ومراحل کار !


اگر معادله خط به صورت  y = ax + b نوشته شود،ضریب   xیعنی  a شیب خط نام دارد .

ومحورy  را در نقطه به عرضb قطع می کند

یعنی از نقطه ( b   و0)  می گذرد.عدد  bدر معادله  y = ax + b  را عرض از مبدا گوییم.

در مثال y=-x+3شیب خط مساوی 1- است. محو  ر y را در نقطه 3+ قطع می کند.


مراحل حل را در تمرین زیر مشاهده کنید.:

مراحل  توضیح:    4x - 6y = 12
 2x + 2y = 6
می خواهیم ببینیم با حل این دو معادله خط هر یک از خطوط در کجا به هم برخورد کرده ومحور ها در چه نقطه  همدیگر راقطع می کنند.

اول, معادله خط yهر یک ر ا پیداکنید "y =".

4x - 6y = 12

4x=6y+12

4x-12=6y

طرفین را بر 6 تقسیم کردیم:

 12
6

4x-
   6


 =
 y   

2- x
2-
  3


 =
 y   

شیب( ضریبx ) =

نقطه تقاطع با محورyعمودی= -2

2x + 2y = 6

2y=-2x+6

 6
2

2x-
  2


 =y
  


طرفین را بر2 تقسیم می کنیم

y=-x+3

شیب( ضریب) =     1-
y-
نقطه تقاطعبا محورyعمودی= 3

 

  رسم معادله خط.

رسم معادله خطوط را مشاهده کنید شیب خط را بررسی کنید.

نقطه تقاطع دو خط , (3,0),است.که  نتیجه حل دستگاه معادله خط است .

وقتی مختصات( 0و3 ) را درهر یک از  معادله حل شده در مثال قبل جایگزین  x, y کنید:

 معادله درست در می اید

ببینید ما بررسی می کنیم:.


 

بررسی معادله: 
اگر مختصات نقطه (0و3   )  محل تقاطع دو خط را در معادله جایگزین کنیم.

محل تقاطع دوخط (3,0), یعنی x = 3 و y = 0.   میبینیم که جواب درست است. ومعادله برقرار است..  .
4x - 6y = 12
4(3) - 6(0) = 12
12 - 0 = 12
12 = 12  (
بررسی شد .)
2x + 2y = 6
2(3) + 2(0) = 6
6 + 0 = 6
6 = 6 (بررسی شد .)

در مثال زیرروش جایگزینی در معادله را ببینید.:

حل این دو معادل از راه جایگزینی
   (و بررسی):
  3y - 2x = 11
 y + 2x = 9
 

1.  انتخاب یک از متغیر ها "x =" یا "y =".
در این مثال ما متغییر  "y ="را  از معادله دومی

انتخاب می کنیم.

 

 

 

3y - 2x = 11
  y =
9 - 2x

 

2.  ارزش به دست آمده   "y" را در

معادله  3y - 2x = 11 به جای 

y "y"  می گذاریم   

 

 

  3y - 2x = 11
11=2x3(9-2x)-2x


11=27-6x-2x

 

3.   در ادامه   مقادیر"x"به دست می آید.

 

 

 


  27 - 6x - 2x = 11
         27 - 8x = 11
               8x = -16-
                  x =
2

4.  مقادیر ارزشی  "x" را  در معادله دیگر قرار می دهیم تا  "yبه دست اید.!  

 

 
 y + 2x = 9 یا
y = 9 - 2x
y = 9 - 2(2
y = 9 - 4
y =
5
 

5.  بررسی: مقادیر x = 2 و y = 5به دست آمده را

در هر دو معادله اصلی جایگزین می کنیم ببینیم معادله برقرار هست وطرفین مساوی در می آید  .  !

اگر مساوی شدند مقادیر ما درست هستند.

   

3y - 2x = 11
3(5) - 2(2) = 11
  15 - 4 = 11
  11 = 11

(بررسی شد درست!)

y + 2x = 9
  5 + 2(2) = 9
  5 + 4 = 9
  9 = 9

 (بررسی شد درست!)

 
 
دستگاه  معادله خط زیررا حل کنید و   بعد درستی رابررسی کنید 

x - 2y = 14
x + 3y = 9

شما با دیدن هردو معادله گیج شدید ?   ریلکس باش !  راحت ! حالا فکر کن ! دیدی چه راحت حل میشه؟

ببین اول کدام را با توجه به ضریبها و قرینه بودن حذف کنی؟انچه که برایت راحت تر است انتخاب کن .

به نظر میرسد که انتخاب  متغییر xراحت باشد".

اجازه دهید که در طرفین یکی از معادله ها علامت "+" یا "-"

را  ضرب کنیم:

1.  حل دستگاه معادله 
       وبررسی درستی آن:
  x - 2y = 14
x + 3y = 9
 

a.  اول مشاهده دقیق وانتخاب متغییر ".

 

 

 

x - 2y = 14
x + 3y = 9

 

b.  تصمیم بگیریم که ("x" یا "y") کدام اسانتر است/ توجه کنید که متغییری که انتخاب می شود، ضریب مساوی داشته باشند  والبنه قرینه هم باشد . در اینجا   انتخاب "x" راحتر است  زیرافقط علامت منفی در طرفین معادله ضرب شود.

 

 

 

x - 2y = 14
x + 3y = 9

 

c.  به خاطر داشته باشید که اگر علامت را در طرفین ضرب کردید از قانون ضرب علامت ها غافل نشوید.

حالا معادله بالا با پایین را ساده می کنیم.)

 

 

 

 x - 2y = 14
x - 3y = - 9 -  

     5y =- 5  

d.  به سادگی حل شد..  

 

 

5y =- 5
   y =
-1

 

e. حالا "y = -1"در معادله اصلی  جایگزین کنید تا مقدار  "x"به دست اید..

   

 x - 2y = 14
x - 2(-1) = 14
     x + 2 = 14
            x =
12

 

f.  بررسی درستی:   مقادیر

x = 12 و y = -1را در دو معادله اصلی جایگزین کنید.

اگر تساوی برقرارشد مقادیر به دست امده ما درست است.    !

   

x - 2y = 14
14
= (1-) 2- 12
  12  =2+ 12
  14 = 14 

(بررسی شد درست!)

x + 3y = 9
12
+ 3(-1) = 9
 12 + 3 -= 9
  9 = 9

(بررسی شد درست!)

متوقف نشوید وارد محله سخت تر می شویم.....
2.  حل دستگاه معادله 
       وبررسی درستی آن:
:
  4x + 3y = -1
5x + 4y = 1
  قدم به قدم:

a.  توجه کنید که متغییری که انتخاب می شود، ضریب مساوی داشته باشند  والبنه قرینه هم باشد . در اینجا   انتخاب "x" یا y  هیچکدام این شرایط را ندارند.  باید  طرفین در عددی ضرب شوند که ضریب مساوی وعلامت ها قرینه شوند..

 

 

 

4x + 3y = -1
5x + 4y = 1

 

b.  در اینجا ما    "x" یا "y" .  را باید انتخاب کنیم و ضریب هریک را در معادله دیگری ضرب کنیم که ما   "y"  را انتخاب وضریب های "y" را یعنی 3 و4 را در طرفین    ضرب می کنیم ا دارای ضریب یک سان شود.
به خاطر داشته باشید که می توانید یکباره طرفین را در علامت + یا-  ضرب کنی تا قرینه هم شوند و  حذف کنیم.:.  

 

 

 

4(4x + 3y = -1)
3
(5x + 4y = 1)

16x + 12y = -4
15x + 12y = 3

 

 

c.   " حالا"y دارای ضریب یک سان شد .  
(
r: معادله دوم را در منفی ضرب می کنیم..)

 

 

 

 16x + 12y = -4
-15x - 12y = - 3

               = - 7

 

d.  مقادیر "x = -7" در معادله اصلی جایگزین می کنیم تا مقدار  "y".

   

   5x + 4y = 1

(7-)5 -+ 4y = 1
   35 + 4y = 1
             4y = 36
               y = 9 

 

e.  Check:  مقادیر x = -7 و y = 9هردو را در معادله اصلی جایگزین کنید اگر تساوی به دست امد درست است.!

   

4x + 3y = -1
4(-7) +(9) 3= 1-
  28 - 27 = 1-
  1- = 1 -

(بررسی شد درست !)

5x + 4y = 1
(7-) 5+ 4(9) = 1
  35 - 36 = 1
   1 = 1 

(بررسی شد درست !)

 

اجازه دهید تا دستگاه دیگری را بررسی کنیم :

3.  حل دستگاه معادله 
       وبررسی درستی آن:
:
  4x - y = 10
2x  = 12 - 3y 
  اول مطمئن شوید که دو معادله مرتب باشد.

a.  در اینجا معادله اولی مرتب است اما دومی را باید مرتب کنید باتوجه به علامتها .

 

 

 

4x  -   y = 10
2x + 3y = 12

 

b.  تصمیم بگیرید کدام  متغییر را برای حذف انتخاب کنید. ("x" یا "y") کدام اسانتر است؟   "x" یا  "y" . به نظر می رسد   "y"  معادله  اولی به ضریب  احتیاج دارد.  که عدد 3 را در طرفین معادله اولی ضرب می کنیم. و قرینه هم هستند .) 

 

 

 

3(4x - y = 10)
 2x + 3y = 12

12x - 3y = 30
 2x + 3y = 12

 

c.  حالا حل می کنیم و"y"  با ضریب حذف شد.

 

 

 

12x - 3y = 30
 2x + 3y = 12    

 14x        = 42 

d.  مقدار x به دست امد.  

 

 

14x = 42
    x = 3

 

e.  مقادیر  "x = 3" را در معادله اصلی جایگزین می کنیم تا مقدار "y"حساب شود.

   

  4x - y = 10
(3)4 - y = 10-
   12 - y = 10-
         y = -2-
          y = 2

 

f.  بررسی درستی:   x = 3 و y = 2 هردو را در معادله های اصلی جایگزین کنید.اگر تساوی به دست امد درست است.! !

   

4x - y = 10
10 = 2 -( 3)
4
10=   2 - 12
  10 = 10
(بررسی شد درست !)

2x  = 12 - 3y
(2)3 - 12 = (3)2
  6 = 12 - 6
  6 = 6 
(بررسی شد درست !)


 



علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 
دوشنبه 1 اردیبهشت 1399 03:37 ب.ظ
خانم فتحی میخاستم بدونم طول از مبدا چگونه بدست بیاریم؟
دوشنبه 1 اردیبهشت 1399 03:36 ب.ظ
خانم فتحی میخاستم بدونم طول از مبدا چگونه بدست بیاریم؟
دوشنبه 1 اردیبهشت 1399 03:36 ب.ظ
خانم فتحی میخاستم بدونم طول از مبدا چگونه بدست بیاریم؟
رویا
دوشنبه 1 اردیبهشت 1399 03:34 ب.ظ
سلام خانم فتحیتم میخاستم بدونم اگر نقاط را داده باشد و معادله خط را بخواهد چگونه باید بنویسیم . مثلا (2و-1)و (-7و-1) الان از من خاسته که معادله خطی که از این نقاط میگذرد را بنویسم لطفا کمکم کنید
رویا
دوشنبه 1 اردیبهشت 1399 03:33 ب.ظ
سلام خانم فتحیتم میخاستم بدونم اگر نقاط را داده باشد و معادله خط را بخواهد چگونه باید بنویسیم . مثلا (2و-1)و (-7و-1) الان از من خاسته که معادله خطی که از این نقاط میگذرد را بنویسم لطفا کمکم کنید
زهرا
دوشنبه 6 فروردین 1397 09:42 ب.ظ
اگر دو نقطه در دستگاه مختصات بدهند و بگویند که این دو راس مجاور یک مربع هست چجوری باید قطر این مربع رو حساب کنیم؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : راه زیادی هست زاویه 45 درجه را از یک راس پیدا کنید رسم کنید که نیمساز 45 درجه می شود که محل برخورداین نیمسازبا راس دیگر قطر ایجاد می شود
یا زاویه 90 درجه با یک راس به فاصله دونقطه مختصات رسم کنی ضلع دیگر مربع ایجاد می شود وبا رسم مربع دوقطر اسان به دست می اید
یا رسم زاویه 90 درجه از یک راس با فاصله دو قطر وروش مثلثی قطر را حساب کنید
فاطمه
جمعه 10 شهریور 1396 05:10 ب.ظ
سلام خانوم شمشیری ب نظر من ک بهترین سایت همین جاست اگه شما خودتون خوب درس بدید دانش اموزانــتونم زیاد تو ایتترنت و این ساین نمیان ولی اینجا بهترین جاست
شمشیری
دوشنبه 6 دی 1395 04:36 ب.ظ
خانم فتحی من یک درخواست کوچکی دارم من کلاس اول متوسطه را درس میدم یک سری از بچه به هم می گفتند برید تو سایت خانم فتحی این خیلی خوبه ودرخواستی که زا شما داشتم این بود این سایت را متوقف کنید چون بچه ها عادت کردند و دیگر به درس های من توجه نمی کنند
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : شرمنده هستم ام مطمئن هستم که بچه های پر تلاشی خواهید داشت و مورد رضایت شما خواهند شد
محسن
سه شنبه 25 آبان 1395 11:35 ب.ظ
ضریب x شیب خطه پس ضریب y چیه؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : شیب خط نسبت تغییرات عرض دونقطه به تغییرات طول دو نقطه
yبهx
چهارشنبه 27 اسفند 1393 09:26 ق.ظ
سلام من یکی از معلمین شهر کرمانشاه هستم.که هرساله بالاترین قبولی رو دارم من یک ساله باسایت
شما آشنا شدم وهمیشه مطالب شمارو میخونم درصورت امکان تلفن شمارو خواستم باهاتون صحبت کنم من35 سال سابقه تدریس دراموزش وپرورش و22 سال در کلاسهای تکمیلی وپیشرفته مشغول تدریس هستم پیشاپیش سال نو مبارک .
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : همکار عزیز تلفن را نمی شود در وب گذاشت


شبکه اجتماعی فارسی کلوب | Buy Website Traffic | Buy Targeted Website Traffic