دایره مثلثاتی
برای مطالعه بیشتر روی لینکها کلیک کنید.
مثلثات 2زاویه وضلع غیرمجاور(ززض)
مثلثات 3 ضلع مثلث ض ض ض
مثلثات دوضلع وزاویه بین(ض ز ض)
مثلثات قانون سینوسها
مثلثات 2زاویه وضلع
مثلثات دوزاویه وضلع بین (ز ض ز)
مثلثات مقدمه
قانون کسینوس زاویه
نسبت مثلثاتی
دایره مثلثاتی
چرخش یک نقطه روی دایره ای با شعاع یک
دایره مثلثاتی دایره ای جهت دار است که جهت حرکت خلاف عقربه شاعت ونقطه(0 ، 1 )به عنوان مبدا کمان حرکتی اختیار کردیم.
. توضیح:
دایره ای را روی محور مختصات x وy به مرکز o که مبدا مختصات است وشعاع 1 در نظر بگیرید.. نقاط (x,y)به فاصله 1واحد محل برخورد دایره با محورهای مختصات است.
یک نقطه (محل فلش )روی محیط را انتخاب کرده با رسم شعاع که
با محور x زاویه θ می سازد. این نقطه روی محیط حرکت کرده وزاوبه های مختلف می سازد.
Sine, Cosine و Tangent
تشکیل زاویه ها:برای مطالعه بیشتر
Bدایره به شعاع 1, sine, cosineو tangent.
چه اتفاقی می افتد اگر زاویه , θ, مساوی 0° باشد? در این صورت:
- cos 0° = 1 , sin 0° = 0 و tan 0° = 0
وقتی θ می شود 90° چه اتفاقی می افتد?
- cos 90° = 0 , sin 90° = 1 و tan 90° تعریف نشده
فیثاغورث:
تئوری فیثاغورث که برای مثلث قائم الزاویه است می گوید:
مربع وتر=مجموع مربعات دوضلع دیگر
x2 + y2 = 12
اما در این دایره مربع وتر 12 دقیقا مساوی 1, بنابراین:
x2 + y2 = 1
(معادله دایره )
نسبت های مثلثاتی داریم:
|
همچنین, since x=cos وy=sin, ما :
شعاع= r
y= ضلع مقابلزاویه θ
x=ضلع مجاور زاویه θ = و
x r | =cosθ |
y x | =tanθ |
x y | =cotθ |
جاگذاری در معادله دایره(cos(θ))2 + (sin(θ))2 = 1
زاویه های مهم: 30°, 45° و 60°
شما باید همیشه sin, cos و tan زاویه های 30°, 45° و 60°را به خاطر بسپارید.
درست است که خیلی مفاهیم را باید به خاطر سپرد اما بعضی مفاهیم انقدر اهمیت دارند که که به خاطر سپردن انهاحل کلیه مسائل مثلثاتی
برای شما آب خوردن می شود.
این جدول را به خاطر بسپار!
زاویه | Sin | Cos | Tan=Sin÷Cos |
---|---|---|---|
30° | ![]() |
![]() |
3 √ /1 |
45° | ![]() |
![]() |
1 |
60° | ![]() |
![]() |
3√ |
چگونه به خاطر بسپاریم?
برای کمک ، به این اعدادفکر کن "1,2,3" :
sin(30°) = | 1√ | = | 1 | (e: √1 = 1) | |
2 | 2 |
sin(45°) = | 2√ | |
2 |
sin(60°) = | 3√ | |
2 |
و کسینوس cos راهم به این اعداد "3,2,1"
cos(30°) = | 3√ | |
2 |
cos(45°) = | 2√ | |
2 |
cos(60°) = | 1√ | = | 1 | (e: √1 = 1) | |
2 | 2 |
دقیقا 3 شماره
در حقیقت دانستن 3 شماره کافیست: | 1 | , | 2√ | و |
3√ |
2 | 2 | 2 |
زیرا کسینوس cosبه همان خوبی در سینوس sin عمل می کند اما جابه جا :
![]() |
![]() |
درباره tan تانژانت چه?
می دانیم که تانژانت= سینوس÷کسینوس tan = sin/cos
tan(30°) = |
1 3√ | = |
1/2 3/2√ | = |
sin(30°) cos(30° | =tan(30°) |
tan(45°) = |
1 | = |
2/2√ | = |
sin(45°) cos(45° | =tan(45°) |
tan(30°) = |
3√ | = |
3/2√ 1/2 | = |
sin(60°) cos(60° | =tan(60°) |
نکته شماره ( 1)راه دیگر به خاطر سپاری 30° و 60° : کمک از مثلث متساوی الاضلاع
دراین مثلث هر 3 ضلع باهم مساوی وهر3 زاویه هریک 60 درجه مثلثی رسم کنیدطول هر ضلع 2 . |
![]() |
|
با رسم خط تقارن انرا نصف کنید. تا دو مثلث قائم الزاویه درست شود. با توجه به فرمول فیثاغورث:طول ارتفاع مثلث قائم الزاویه=3√ شد. 12 + (√3)2 = 22
1 + 3 = 4 |
![]() |
|
نسبت های مثلثاتی برای sin, cos یا tan را محاسبه می کنیم |
![]() |
مثال: sin(30°)
Sine: با تقسیم ضلع مقابل به وتر =0.5
| =sin300 |
روی محور مختصات حرکت یک نقطه)( 1،0)=p روی محیط دابره مثلثات درجهت خلاف عقربه ساعت که یک دور کامل بزند .
ربع اول(+، +) ربع دوم(+، -) ربع سوم(-، -) ربع چهارمل(-، +)
توجه ( ، ) مختصات نقطه به جای طول cos ,وبه جای عرض sin می نویسیم
( cos, sin ) می گذاریم
مثال: پیداکنید cos(330°) ?
شکل را ببینید اندازه "طول"= : | 3√ |
2 |
با توجه به دایره مثلثاتی.
مثال: پیداکنید sin(7π/6) ? سینوس 7×عددپی ÷6
sin(7π/6) =
فکر کنید میتوان به این صورت نوشت "7π/6 = π + π/6", .
روی دایره =منفی : ½-
Footnote: where do the values come from?ما می توانیم با معادله x2 + y2 = 1 پیداکنیم طول x و y (که مساوی با cos و sin وقتی شعاع= 1باشد ): اگر در مثلث قائم الزاویه ( θتتا)= 45درجهبرای 45 درجه, x و y مساویند, بنابراین y=x: x2 + x2 = 1
2x2 = 1
x2 = ½
x = y = √(½)
اگر در مثلث قائم الزاویه ( θتتا)= 60درجهمثل نکته شماره 1 در بالا اشاره شد : زسم مثلث متساوی الاضلاع(دراین مثلث هر 3 ضلع باهم مساوی وهر3 زاویه هریک 60 درجه ) و رسم خط میانه
x2 + y2 = 1 ضلع "x" = ½, وضلع= "y" : 2(½) + y2 = 1
¼ + y2 = 1
y2 = 1-¼ = ¾
y =√ 3/4
اگر در مثلث قائم الزاویه ( θتتا)= 60درجه30° دقیقا با 60° x و y معکوس هم هستند, پس x = √(¾) و y = ½ و:
به جدول دقت کن):
|
