تبلیغات
معلم5 فتحی - دایره مثلثاتی

آموزشی.اطلاعات مفید علمی . سوال های درسی . تدریس ریاضی

دایره مثلثاتی

تاریخ:سه شنبه 17 شهریور 1394-11:08 ق.ظ

برای مطالعه بیشتر روی لینکها کلیک کنید.

مثلثات 2زاویه وضلع غیرمجاور(ززض)

مثلثات 3 ضلع مثلث ض ض ض

مثلثات دوضلع وزاویه بین(ض ز ض)

مثلثات قانون سینوسها

مثلثات 2زاویه وضلع

مثلثات دوزاویه وضلع بین (ز ض ز)

مثلثات مقدمه

قانون کسینوس زاویه

نسبت مثلثاتی


دایره مثلثاتی

چرخش یک نقطه روی  دایره ای با شعاع یک

 دایره مثلثاتی دایره ای جهت دار است که جهت حرکت خلاف عقربه شاعت  ونقطه(0  ، 1 )به عنوان مبدا کمان  حرکتی اختیار کردیم.

. توضیح:

دایره ای را روی محور مختصات  x وy به مرکز o که مبدا مختصات است وشعاع 1 در نظر بگیرید.. نقاط (x,y)به فاصله 1واحد محل برخورد دایره با محورهای مختصات است.

یک نقطه  (محل فلش )روی محیط را انتخاب کرده  با رسم شعاع که

با محور  زاویه θ می سازد. این نقطه روی محیط حرکت کرده وزاوبه های مختلف می سازد.


      سینوس ، کسینوس ، تانژانت

Sine, Cosine و Tangent

تشکیل زاویه ها:برای مطالعه بیشتر


Bدایره به شعاع  1, sine, cosineو tangent.

چه اتفاقی می افتد اگر زاویه , θ, مساوی 0°   باشد? در این صورت:

  • cos 0° = 1     , sin 0° = 0      و  tan 0° = 0

وقتی θ می شود 90°    چه اتفاقی می افتد?

  • cos 90° = 0    , sin 90° = 1       و tan 90° تعریف نشده



 

 

فیثاغورث:

تئوری فیثاغورث

تئوری فیثاغورث که برای مثلث قائم الزاویه است می گوید:

مربع وتر=مجموع مربعات دوضلع دیگر

x2 + y2 = 12

اما در این دایره مربع وتر 12 دقیقا مساوی  1, بنابراین:

x2 + y2 = 1
(معادله دایره )

نسبت های مثلثاتی داریم:


     y
     r
 =sinθ


همچنین, since x=cos وy=sin, ما : 

شعاع= r 

    y= ضلع مقابلزاویه θ       

     x=ضلع مجاور زاویه θ =   و    

     x
     r
 =cosθ
     y
     x
 =tanθ
     x
     y
 =cotθ

جاگذاری در معادله دایره(cos(θ))2 + (sin(θ))2 = 1

 

زاویه های مهم: 30°, 45° و 60°

شما باید همیشه  sin, cos و tan زاویه های 30°, 45° و 60°را به خاطر بسپارید.

درست است که خیلی مفاهیم را باید به خاطر سپرد اما بعضی مفاهیم انقدر اهمیت دارند که که به خاطر سپردن انهاحل  کلیه مسائل مثلثاتی 

برای شما  آب خوردن می شود.

این جدول را به خاطر بسپار!

زاویه Sin Cos Tan=Sin÷Cos
30° 3 /1
45° 1
60° 3√

چگونه به خاطر بسپاریم?

برای کمک ، به این اعدادفکر کن "1,2,3" :

  sin(30°)  =   1   =   1   (e:       √1 = 1)
2 2
  sin(45°)  =   2
2
  sin(60°)  =   3
2

 

و کسینوس cos راهم به این اعداد "3,2,1"

  cos(30°)  =   3
2
  cos(45°)  =   2
2
  cos(60°)  =   1   =   1   (e:         √1 = 1)
2 2

دقیقا 3 شماره

در حقیقت دانستن 3 شماره کافیست:  1  ,   2√   و 
3√
2 2 2

زیرا کسینوس  cosبه همان خوبی در سینوس   sin  عمل می کند اما جابه جا  :

 

درباره tan تانژانت    چه?

می دانیم که تانژانت= سینوس÷کسینوس     tan = sin/cos

 

tan(30°) =

1

3√

 =  

1/2

3/2√

  =  

sin(30°)

cos(30°

 =tan(30°) 

         

tan(45°) =

1


 =  


2/2√

2/2√

  =  

sin(45°)

cos(45°

 =tan(45°) 

  

tan(30°) =


3√

=  

3/2√

1/2

  =  

sin(60°)

cos(60°

 =tan(60°) 

  نکته شماره  ( 1)راه دیگر به خاطر سپاری 30° و 60° : کمک از مثلث متساوی الاضلاع

دراین مثلث هر 3 ضلع  باهم مساوی وهر3 زاویه هریک 60 درجه
مثلثی رسم کنیدطول هر ضلع 2
.
 

با رسم خط تقارن انرا نصف کنید. تا دو مثلث قائم الزاویه

درست شود.

با توجه به فرمول

فیثاغورث:

طول ارتفاع مثلث قائم الزاویه=3√ شد.

12 + (√3)2 = 22
1 + 3 = 4
 
نسبت های مثلثاتی  برای sin, cos یا tan
 را محاسبه می کنیم
 

مثال: sin(30°)

Sine:  با تقسیم ضلع مقابل به وتر =0.5


طول ضلع مقابل به زاویهθ
طول وتر
 =sin300
sin(30°) = وتر ÷ ضلع مقابل =

 

روی محور مختصات حرکت یک نقطه)( 1،0)=p روی محیط دابره مثلثات درجهت خلاف عقربه ساعت  که یک دور کامل بزند .

ربع اول(+، +)       ربع دوم(+، -)            ربع سوم(-، -)                       ربع چهارمل(-، +)


 توجه    (     ،   )   مختصات نقطه به جای طول cos ,وبه جای عرض sin          می نویسیم

(    cos, sin     ) می گذاریم

Unit Circle Degrees


مثال: پیداکنید cos(330°) ?

 

شکل را ببینید اندازه "طول"= :   3√
2

با توجه به دایره مثلثاتی.

Unit Circle Radians

مثال: پیداکنید sin(7π/6) ? سینوس 7×عددپی ÷6

sin(7π/6) =                                             

 

فکر کنید    میتوان به این صورت نوشت "7π/6 = π + π/6", .

 روی دایره =منفی : ½-

 

 

Footnote: where do the values come from?

ما می توانیم با معادله x2 + y2 = 1 پیداکنیم طول x و y (که مساوی با cos و sin وقتی شعاع= 1باشد  ):

 اگر در مثلث قائم  الزاویه ( θتتا)= 45درجه

برای 45 درجه, x و y مساویند, بنابراین y=x:

x2 + x2 = 1
2x2 = 1
x2 = ½
x = y = √(½)

 

 اگر در مثلث قائم  الزاویه ( θتتا)= 60درجه

مثل نکته شماره 1 در بالا اشاره شد : زسم مثلث متساوی الاضلاع(دراین مثلث هر 3 ضلع  باهم مساوی وهر3 زاویه هریک 60 درجه )

و رسم خط میانه

x2 + y2 = 1
(معادله دایره )

ضلع "x" = ½,

وضلع= "y" :

2(½) + y2 = 1
¼ + y2 = 1
y2 = 1-¼ = ¾
y =√ 3/4

 اگر در مثلث قائم  الزاویه ( θتتا)= 60درجه

30° دقیقا با  60°  x و y معکوس هم هستند, پس x = √(¾) و y = ½

و:

(½)√ =:  
 :      (¾)√ :  

به جدول دقت کن):

زاویه Sin Cos Tan=Sin/Cos
30° 3 √/
45° 1
60° √3






علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 
دوشنبه 15 آذر 1395 02:56 ب.ظ
روابط مثلثاتی مگه برای قائم الزاویه نیست؟
پس چطور برای زوایای بزرگتر از 90 سینوس و کسینوس و...تعریف میکنیم؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : براساس دایره مثلثاتی است
دوشنبه 5 مهر 1395 02:48 ب.ظ
ممنونم
محمد
سه شنبه 15 دی 1394 02:49 ب.ظ
سلام
ممنون واسه مطالب خوبتون
روش حفظی نسبتهای مثلثاتی واقعا مفید بود.
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی :
آیلین
دوشنبه 30 شهریور 1394 01:30 ب.ظ
با سلام آیا کسی که فقط در ناحیه ی 4 تیزهوشان درس میخواند و فقط در کلاسهای آن شرکت میکند و به هیچ کلاس دیگری نمیرود،(در سطح عالی درس میخواند)شانس دارد که رتبه ی کمتر از 500 در کنکور را بیاورد؟ لطفا جواب بدید
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : کافی به شزطی که همراه باشی نه اهسته راه بروی
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر