آموزشی.اطلاعات مفید علمی . سوال های درسی . تدریس ریاضی

مجموعه ها در ریاضی

تاریخ:شنبه 21 شهریور 1394-10:47 ق.ظ

نمایش مجموعه با علائم ریاضی


زیرمجموعه ها

مجموعه ها در ریاضی

مجموعه ها نمودار ون

اشنایی با مجموعه ها مقدمه

تعریف مجموعه چیست? خوب , خیلی ساده , اجتماع، جمع آوری،گرد آوری.

به تعدادی از اشیاء، اعداد ، افراد ، مشخص که گروهی را تشکیل بدهند و ازهم متمایز باشند مجموعه می گویند. هر یک از اشیاء ، افراد، اعداد یک مجموعه یک عضو مجموعه نامیده می شوند.

 حتی چیزهایی که عموما ویژگی مشترک دارند،  را دریک گروه  قرار میدهند  هم یک مجموعه هستند.

مثال, پوشیدنی ها: کفش ها, جورابها,کلاه, پیراهن , شلوار, و...

شما می توانید تا 100تا  یا بیشتر ادامه دهید.

علامت مجموعه { } است

این یعنی مجموعه.

 البته لازم نیست اعضای یک مجموعه ارتباط خاصی داشته باشند مثل:{   خیام ، 8، 5، تهران ، اکبر}

مثال دیگر  انگشت های دست

نشانه, میانی, انگشت حلقه, وکوچک.

 

نکات:مثالی در زیر . یک مجموعه داریم, هریک از موارد با کاما( ، ) جدا می شوند, در دو طرف مجموعه علامت اکولاد  { } می گذاریم.

          {...،91 ، 6 ، 3 }

هر یک از اعداد 3و6 و91  عضو مجموعه هستند.

 {  } علامت مجموعه  که عضوها را درون مجموعه می گذاریم وبین ها عضو کاما ( ،) می نویسیم.

 ... یعنی ادامه دارد.

نکات مهم دررابطه با مثال قبل:

{جورابها, کفشها, ساعت, پیراهن, ...}
{نشانه, میانی, انگشت حلقه, کوچک}

چرا مثال اول  دردنباله مجموعه 3 نقطه دارد؟ "..." (3 نقطه).

این نقطه ها ... جاافتاده ها  یا حذف شده ها  نام می گیرد که , منظور اینست که  "ادامه دارد".

(یعنی اگر لیست را ادامه دهیم تا چندین مورد اضافه کنیم.,لیست ممکنست که تا یک ساعت یا بیشتر طول بکشد  تا تمام شود شاید هم خیر بنابراین برای کوتاهی کار 3 نقطه می گذاریم. .)

پس:

  • گروه اولی که 3 نقطه دارد {جورابها, کفشها, ساعت, پیراهن, ...} یک مجموعه نامتناهی ( تمام نشدنی  )  می گوییم,
  • دومین مجموعه  {نشانه, میانی, انگشت حلقه, کوچک} را مجموعه متناهی ( محدود-تمام شدنی  )  می گوییم .

گاهی  "..." دربین مجموعه  نوشته شود:

مثال: لیست حروف انگلیسی:

{a, b, c, ..., x, y, z}

این لیست متناهی نام دارد: (زیرا 26 حرف هست برای خلاصه نویسی کار چند حرف اول وچند حرف آخر را مینویسن وبین آنها ... می گذارند?)

برای برخی از مجموعه‌های خاص، اسامی خاصی به کار می‌بریم که باید آن‌ها را به خاطر سپرد:

  • مجموعهٔ اعداد طبیعی را با  (  N)  نشان می‌دهیم و داریم .N{1،2،3  ،...}=N=
  • مجموعهٔ اعداد طبیعی نابیشتر از عدد طبیعی k را قطعه‌ای از اعداد طبیعی می‌گوییم و به صورت  نشان می‌دهیم و داریم 
  • .N{1،2،3  ،...،K}=N=
  • مجموعهٔ همهٔ اعداد اول را با P نشان می‌دهیم.
  • مجموعهٔ اعداد حسابی را با W نشان می‌دهیم و داریم .P{0،1،2،3  ،...،}=N=
  • مجموعهٔ اعداد صحیح را با  Z={...،-2،-1،0،1،2،3  ،...،}=Nنشان می‌دهیم.
  • مجموعهٔ اعداد گویا (منطق) را با  Q   نشان می‌دهیم. طبق تعریف داریم :.
  • مجموعه های عددی وشمارشی

    در مبحث ریاضی ما مجموعه های زیادی داریم ? می توانیم  مجموعه  هایی درریاضی می نویسیم که  ویژگی مشترک داشته باشند, آیا میتوان چنین مواردی را پیداکرد؟ بله :

    مجموعه  عددهای صحیح  زوج: {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}     نا متناهی
    مجموعه عددهای صحیح فرد: {..., -3, -1, 1, 3, ...}   نا متناهی
    مجموعه عددهای اول: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}    نامتناهی
    مجموعه عددهای بخش پذیر بر3 کمتراز 10: {3, 6, 9} متناهی

    ولیست  مجموعه هاادامه دارد  . ما می توانیم مجموعه های بسیاری در ریاضی بنویسیم..

    مجموعه هایی می نویسیم که هیچ  وجه اشتراکی ندارند ولی یک مجموعه هستند. مجموعه زیر را با کمک  کیبورد کامپیوتر تصادفی  عددها را نوشتم ویک مجموعه ساختم..برای مثال:

    {2, 3, 6, 828, 3839, 8827}
    {4, 5, 6, 10, 21}
    {2, 949, 48282, 42882959, 119484203}

    چرا مجموعه ها اهمیت دارند?

    مجموعه ها یکی از مفاهیم بنیادی در  ریاضی  هستند.

    یک گله گرگ، یک خوشه انگور یا یک دسته کبوتر، مثال‌هایی هستند از مجموعه‌ها یی از اشیا. از این مفهوم ریاضی مجموعه، می‌توان به عنوان اساسی برای تمامی ریاضیات امروزی استفاده کرد.

    وقتی شما با مجموعه ها اشنا باشید ودرک بهتری از ریاضی پیدا می کنید. . تئوری نموداری, انتگرال , اعدادحقیقی, اعدادمرکب, جبر خطی, تئوری اعداد, همه انها دریک چیز مشترکند : مجموعه.

    مجموعه اصلی

      مجموعه اصلی (مرجع یا عام)، مجموعه مادر،که مجموعه جهانی هم می گوییم.
    در هر بحث خاص مجموعه همهٔ عناصر مورد بحث را عضو یک مجموعهٔ کلی می‌گیریم و به آن مجموعهٔ جهانی(Universal set) یا مرجع(عام) می‌گوییم.
     
    مجموعه ها شامل: مجموعه عددهای صحیح، شامل کلیه عددهای مثبت و
     عددهای منفی وصفر
     مجموعه عددهای طبیعی :به عددهای صحیح مثبت عددهای طبیعی هم می گوییم.
    که مجموعه عددهای طبیعی زیر مجموعه عددهای صحیح هستند.
    Bزیر مجموعه A,گوییم . وقتی هر عضوB  در عضوA  هم هست .
    نماد \subseteq، علامت زیرمجموعه بودن است. به عنوان مثال می‌نویسیم \mathbb{N}\subseteq \mathbb{Z}

      مجموعه عددهای حقیقی
    همه ی اعداد گویا و اصم مجموعه ای را تشكیل می دهند كه به آن مجموعه اعداد حقیقی می گویند و با    R نشان می دهند

    نکات بیشتر:

    عضویت
    برای مثال, A نام یک مجموعه هست, و a یک عضو  این مجموعهA است .
    ومجموعه  Bنام یک مجموعه است   و bیک عضو مجموعه است,
    و C نام یک مجموعه هست و cعضو .

    همچنین, وقتی می گوییم aعضو مجموعه A است. , ما علامت را به کار می بریم .
      واین علامت یعنی  عضو مجموعه نیست .

    مثال: مجموعه A داریم: {1,2,3}. ما می بینیم که m   :              1 A    

    ,اما                      n:                   5          A   عدد 5 عضومجموعهA ّ نیست.

    تساوی مجموعه ها

     دو مجموعه زمانی با هم مساوی هستند که هر عضو A عضوB وهر عضو  B عضو A باشد.

    مثال:  A و B دو مجموعه مساوی هستند:

    •  مجموعهA   شامل عددهای مثبت  1تا4
    • B = {4, 2, 1, 3}

    بررسی کنیم . هردو عدد1 دارند ، هردو عدد2 دارند . و 3, و 4. وتعداداعضا  هرمجموعه را می شماریم,  4 عضو  بنابراین: بله, انها مساویند!

    علمت تساوی  (=)  را بین نام هر دو مجموعه می گذاریم:A = B

    {1،2،8}   نامساوی     {1،2}   

    اگر دو مجموعه، زیرمجموعه یکدیگر باشند، آنگاه با یکدیگر مساوی خواهند بود.

    زیر مجموعه \subseteq

    ما مجموعه {1, 2, 3, 4, 5}A.    را داریم     زیر مجموعه ها  ی این مجموعه{1, 2, 3} B   که و {5, 4}و  {1}  و...

    مثلا    {1, 6}زیر مجموعه Aنیست.زیرا 6 عضوان نیست.

    Bزیر مجموعهA گوییم هرگاه هرعضو  B عضوA نیز باشد.

    B\subseteqA

    مثال  دیگربزنیم:آیاAزیرمجموعه B چیست؟{ A = {1, 3, 4 و{ B = {1, 4, 3, 2?

     ببینید در مجموعه

       درمجموعه  A     }A ،و 1و3و4 هست درمجموعهB هم 1و4و3 هست.

     ` پس  A زیر مجموعهB     که شامل عضوهایی که  درAهست در  Bهم هست .

    مثال: مجموعه Aاز مضربهای4 ومجموعهB ازمضربهای 2  تشکیل شده آیاAمی تواند زیر مجموعهB  باشد؟

     B زیرمجموعه Aچطور

          { ...،  8 ،4،0،4-،8-،...}A  

         { ...     ،   8  ،   6 ،  4 ،2،0،2-،4-،  6- ، 8- ، ...}A 

      البته دومجموعه نامتناهی هستند . بهتراست مقایسه ای انجام دهیم   :                                             

    pairing off A and B

     هر عضو A،عضو Bهم هست  .پسA می تواند زیر مجموعه Bباشد. اما Bنمی تواندزیر مجموعهA باشد. زیرا همه عضو های Bدر Aنیست

    پس عبارت « .A  زیر مجموعه Bباشد
    نکته 1 : اگر« » و « » ، یعنی اگر هر عضو A در B وهر عضو B در A باشد، آنگاه A و B برابر خواهد بود یعنی A=B .

    در ریاضیات معمولا ً برای آنکه نشان دهند دو مجموعه با هم برابرند، نشان می دهند که هرکدام زیر مجموعه ی دیگری است

    مثال:

    {1, 2, 3} زیر مجموعه {1, 2, 3}, زیرا هر مجموعه زیر مجموعه خودش هم هست{1, 2, 3}.

    مثال:

    {1, 2, 3} یک زیر مجموعه {1, 2, 3, 4} است  هرعضو اولی در مجموعه دومی هم هست.

    اگر    {1،2،8}   B   {1،2}                     A   دراین صورتB  زیر مجموعهAاست.

      e  :                   B A.

     A B ("معادل با این مطلب است که عضوی در A هست که متعلق به B نمی‌باشد")

    , A B.

    مجموعه تهی

    مثال, مجموعه کلیدهای پیانو که روی گیتار است...

    "صبرکنید!" شما می گویید, هیچ کلیدی روی گیتار نیست!"

    درست گفتید. هیچی کلیدی روی گیتار نیست.

    پس یک مجموعه خالی  وتهی است.. البته : صفر نه.

    نماد مجموعه تهی

    یا {} (مجموعه تهی هیچ عضوی ندارد)

     مثال: مجموعه کشورهای جنوب قطب جنوب یک مجموعه تهی است.

    مجموعه تهی، زیرمجموعة تمام مجموعه ها است.

    تنها زیرمجموعه مجموعه تهی، خودش است

    • تعداد اعضای مجموعه تهی صفر است و به عبارتی متناهی است:

    اگر هر عضو مجموعه تهی در مجموعه A باشد پس مجموعه تهی مساوی مجموعهA  زیرا عضوی ندارد.

     مجموعه، نمی تواند عضو تکراری داشته باشد . در واقع از بین اعضای تکراری، فقط یکی از آنها باقی می ماند و بقیه حذف می شوند.
       ترتیب در نوشتن اعضای مجموعه، تأثیر ندارد. یعنی، می توان ترتیب اعضای مجموعه را به دلخواه جابجا کرد





    علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
    نظرات() 
    خدیجه
    دوشنبه 29 آبان 1396 09:10 ب.ظ
    سلام وقتتون بخیر .الگوی مجموعه {5,55,555,5555}کدام است؟
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/1057
    نمونه
    سالار راحلی
    جمعه 19 آبان 1396 06:21 ب.ظ
    آیا افراز دو مجموعه نامتناهی ممکن است؟
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بله حقیقی به گنگ وگویا
    یه فضول
    شنبه 6 آبان 1396 04:34 ب.ظ
    ببخشید خانم فتحی میخواستم بدونم ایا مجموعه تهی عضو مجموعه تهی است.
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : تهی زیرمجموعه همه مجموعه ها
    نیلوفر
    دوشنبه 1 آبان 1396 08:25 ب.ظ
    خانم فتحی اگر عضوی با چهار اکولاد داشته باشیم با عضوی که پنج اکولاد دارد فرق میکند؟
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بله
    نیلوفر
    دوشنبه 1 آبان 1396 08:00 ب.ظ
    ایا تعداد اکولاد در مجموعه مهم است
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : در هر حال اول عملیات داخل اکولاد حل شود
    علی
    پنجشنبه 27 مهر 1396 11:33 ق.ظ
    سلام خانم فتحی یه سوال جواب 1و2و-3و-4و5و6و-7و-8..... چی میشه 1 هفته اس این سوال ذهنم و درگیر کرده اگه جواب رو به صورت توصیفی و ریاضی بگین ممنونتون میشم
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : سوال چی خواسته
    سارا
    دوشنبه 24 مهر 1396 06:36 ب.ظ
    میشه بگید چرا برای مجموعه تهی نمیتوان نمودار ون کشید؟؟؟
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : خونمودارون تهی است
    امیرعلی
    یکشنبه 23 مهر 1396 11:04 ب.ظ
    میشه جواب [5,55,555,...]رو به زبا فارسی بنویسید
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/1057
    بیتا
    شنبه 22 مهر 1396 07:32 ب.ظ
    سلام مرسی از سایت عالیتون لطفا جواب این مجموعه رو به حالت نماد ریاضی بگین
    ( 5، 55 ، 555 ، 5555 ، 55555 ، ... )
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/1057
    Chibi See
    جمعه 14 مهر 1396 06:00 ب.ظ
    سلام . میخواستم بدونم چرا بعضی وقت ها كنار نماد اعداد طبیعی و حسابی و... یك خط قرار میدن مثل N/
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : نمادکل مجموعه
    سه شنبه 11 مهر 1396 06:37 ب.ظ
    مجموعه ای مانند زیر را چگونه با علاعم ریاضی نشان دهیم
    {...,10-,9-,8-,7-,6+,5+,4+,3-,2-,1+}
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : اشکال دارد
    reza
    دوشنبه 10 مهر 1396 02:02 ق.ظ
    سلام اگه یک مجموعه داخلش علامت تهی باشه میشه براش یک عبارت بگین اگه میشه سریع جواب بدین
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : اگرمجموعه داخلش علامت تهی باشه خودش یک عضو حساب می شود
    محمد امین
    شنبه 8 مهر 1396 06:23 ب.ظ
    چگونه می توان یک مجموعه ی متناهی با عضو های زیاد با نمودار ون نشان داد
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/492
    محمد امین
    شنبه 8 مهر 1396 06:21 ب.ظ
    چگونه می توان یک مجموعه ی نامتناهی را بانمودار ون نشان داد؟
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/492
    زهرا
    جمعه 7 مهر 1396 06:04 ب.ظ
    سلام ببخشید میخواستم بدونم علت استفاده از لغت دوبه دو متمایز در تعریف مجموعه ها چیست ؟
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : متمایز = مختلف باشند
    سعید
    پنجشنبه 6 مهر 1396 10:39 ب.ظ
    سلام خسته نباشین میشه لطفا توضیح بدید علامت k در ریاضی چه مفهومی دارد ( منظورم زمانی است که متغیر به حساب نمی آید )
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : kعضوی
    .
    سه شنبه 4 مهر 1396 04:05 ب.ظ
    مثلا میگه مجموعه ی تهی رو ازش یه مثال بزن چجوری ؟؟؟؟لطفا پاسخ بدین
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : مجموعه عددهای طبیعی کوچکتراز 1
    رضا
    سه شنبه 4 مهر 1396 12:14 ب.ظ
    مجموعه ای که اعضای ان شامل نماد تهی و عضو دیگر ان یک جفت اکولاد خالی باشد یک مجموعه چند عضوی محسوب میشود؟
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 2 عضو
    فاطمه
    جمعه 10 شهریور 1396 04:56 ب.ظ
    سلام خانوم فتحے... میشه با علامت ریاضی جواب بدین ...
    (...؛ ۴۶؛ ۲۵؛ ۱۰؛ ۱؛ منفی۲)
    لدفـــن خیلے برام مهـــمه
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 3n² - 2
    جمعه 6 مرداد 1396 08:42 ب.ظ
    خسته نباشید میشه لطفا قضیه دو شرطی زیر رو با راه حل (بدون مثال) اثبات کنید؟
    اگر دو مجموعه، زیرمجموعه یکدیگر باشند، آنگاه با یکدیگر مساوی خواهند بود.
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : دو مجموعه مساوی هستند اگر و فقط اگر عضوی دریکی نباشد که در دیگری باشد. هر مجموعه با خودش‌ مساوی است و بعلاوه اگر مجموعه A مساوی مجموعه B باشد(یعنی، A=B) آنگاه B نیز مساوی A است(یعنی، B=A)؛ همچنین، اگر A مساوی B و A مساوی C باشد آنگاه B مساوی C است.
    یکشنبه 26 دی 1395 11:52 ب.ظ
    یکم درباره اشتراک توضیح دهید هرچی سریع تر ممنون میشم
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/1591
    یکشنبه 26 دی 1395 11:52 ب.ظ
    یکم درباره اشتراک توضیح دهید هرچی سریع تر ممنون میشم
    چهارشنبه 15 دی 1395 07:20 ب.ظ
    سلام خانم فتحی گرامی اسن سوال مربوز دایره ممنون میشم برام جواب بدید با تشکر از لطف شما
    چهارشنبه 15 دی 1395 07:19 ب.ظ
    تعداد نقاطی از داخل دایره x^2+y^2=25 که مختصاتشان اعداد طبیعی است
    جمعه 10 دی 1395 05:42 ب.ظ
    ایا اعداد گنگ اعشاری هستند
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : اعشاری هم هستند
    میناااااااااا
    جمعه 10 دی 1395 05:39 ب.ظ
    ایا شاعران معاصر ایران یک مجموعه را تشکیل میدهد
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : خیر
    علی
    یکشنبه 5 دی 1395 12:38 ب.ظ
    سلام استاد فتحی .
    جواب این سوال چی میشه !؟
    {(1,3),(1,5),(2,3),(3,3)}-{(3,1),(5,1),(3,2),(3,3)}=?
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : متوجه نشدم اگر زوج مرتب باشند اشکال دارد
    باران
    جمعه 23 مهر 1395 06:35 ب.ظ
    سلام لطفن ب سوالم جواب بدید
    چجوری تعداد عضوها رو مشخص کنیم مثل:{4و.....و-6و-7و-8}
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : عدداولی واخری را جمع کن وبا یک =13 عضو
    سپیده
    شنبه 17 مهر 1395 11:11 ب.ظ
    ببخشید میشه جواب این سوالو بدید؟

    مجموعه زیر رابه صورت ریاضی مشخص
    کنید
    {...،4،44،444}
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : تعدادی 4 بنویس... ادامه وزیر ان nام بنویس
    سارا
    پنجشنبه 8 مهر 1395 11:19 ق.ظ
    چرا مجموعه تهی متناهی محصوب میشود
    پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : تعداد اعضای مجموعه تهی صفر است و به عبارتی متناهی است:


    نمایش نظرات 1 تا 30
    شبکه اجتماعی فارسی کلوب | Buy Website Traffic | Buy Targeted Website Traffic