آموزشی.اطلاعات مفید علمی . سوال های درسی . تدریس ریاضی

زیرمجموعه ها

تاریخ:شنبه 21 شهریور 1394-10:52 ق.ظ

نمایش مجموعه با علائم ریاضی

فاصله -اعدادبین دوعدد

زیرمجموعه ها

مجموعه ها در ریاضی

مجموعه ها نمودار ون

اگر A و B دو مجموعه باشند و تمام اعضای A در B نیز باشد، آنگاه:

  • می توان گفت که A زیرمجموعهٔ B است و آن را به صورت A \subseteq B نمایش می‌دهیم.

همچنین از سوی دیگر می‌توان گفت:

  • B ابرمجموعهٔ A است.

به عنوان مثال، اگر داشته باشیم {B = {۱, ۲, ۵, ۷

آنگاه {A = {۱, ۷ که با حذف عضوهای ۲ و ۵ به‌دست آمده‌است را زیرمجموعهٔ B می‌گویند.

اگر مجموعهٔ A زیرمجموعهٔ B باشد و هم‌زمان مجموعهٔ B نیز زیرمجموعهٔ A، مجموعه‌های A و B با یکدیگر برابرند.

فعالیت: زیر مجموعه ها الگویابی

خواهشمندم اول لینک زیر  را مطالعه کن !

                                                    

                                              مجموعه ها در ریاضی مقدمه

این فعالیت برای درک مفهوم زیر مجموعه انجام می شود.

زیر مجموعه چیست?

Bزیر مجموعه A,گوییم . وقتی هر عضوB  در عضوA  هم هست .

ما با مثالی ساده مفهوم را روشن می کنیم:

شما می توانید بستنی مورد علاقه خود را انتخاب کنید.:

{بستنی موزی, شکلاتی, وانیلی}

بستنی مورد علاقه شما می توانید یک نوع  بستنی   باشد: {موزی}, {شکلاتی}, یا {وانیلی},

یا دو نوع : {موزی, شکلاتی}, {موزی, وانیلی}, یا {شکلاتی, وانیلی},

یا هر سه نوع باشد: ,{بستنی موزی, شکلاتی, وانیلی}     (البته منظور شکمو بودن نیست)!!!!

یا بگوید : نه متشکرم"هیچکدام ", که مفهوم آن  "تهی": { }

مثال دیگر: مجموعه {احمد, بهرام, علی, داود}

زیر مجموعه ها:یک نفره

  • {احمد}
  • {بهرام}
  • {علی}
  • {داود}

دونفره:

  • {احمد, بهرام}
  • {احمد, علی}
  • {بهرام, داود}
  • {بهرام, علی}
  • {احمد , داود}
  • {علی, داود}

3نفره:

  • {احمد, بهرام, علی}
  • {احمد, بهرام, داود}
  • غیره ...

وهمچنین داریم:

  • تمام مجموعه: {احمد, بهرام, علی, داود}
  • هیچکدام  تهی: { }

مجموعه تهی

چند زیر مجموعه تهی داریم?

یک مورد انتخاب:

  • هیچ یک ازکل گروه: {}
  • مجموعه تهی: {}

اما , یک دقیقه شما هنگ کردید , این دو مفهوم که یکسان است؟!

بنابراین یک مجموعه تهی هست (انتخاب مجموعه تهی است). هیچ!!!


یک مجموعه با یک عضو

شما می توانید انتخاب کنید , امانه هر چیزی  فقط از مجموعه زیر حق انتخاب دارید:

{سیب}

این مجموعه  {سیب} چند زیر مجموعه دارد؟

  • خود مجموعه: {سیب}
  • مجموعه تهی: {}

همه انتخاب شما این است.شما یا می توانید یک سیب انتخاب کنید یا هیچ, .

بنابراین  هر مجموعه با  یک  عضو  فقط  2 زیر مجموعه دارد.

یک مجموعه با 2 عضو

ما یک عضو به مجموعه قبل اضافه کردیم:

{سیب,موز}

این مجموعه  {سیب، موز} چند زیر مجموعه دارد؟

انتخاب یک نوع میوه {سیب}, یا {موز}, :

  • همه میوه ها: {سیب,موز}
  • هیچکدام ، مجموعه تهی: {}

بنابراین  هر مجموعه با 2  عضو  فقط  4 زیر مجموعه دارد.

یک مجموعه با 3 عضو

این مجموعه 3 عضوی چند زیر مجموعه دارد؟:

{گیلاس، موز، سیب}

زیرمجموعه ها عبارتند از::

انتخاب یک نوع میوه: {سیب}, {موز}, {گیلاس}

انتخاب 2نوع میوه: {سیب, موز}, {سیب, گیلاس}, {موز, گیلاس}

و:

  • انتخاب کل میوه ها: {گیلاس، موز، سیب}
  • هیچکدام ، مجموعه تهی: {}

در حقیقت می توانید از جدول استفاده کنید:

  لیست تعداد زیر مجموعه
تهی {} 1
یک عضوی
{سیب}, {موز}, {گیلاس} 3
دو عضوی
{سیب, موز}, {سیب, گیلاس}, {موز, گیلاس} 3
3 عضوی
{سیب, موز, گیلاس} 1
مجموع زیر مجموعه ها: 8

(نکته: آیا می توانی  الگویی دراین جدول بیابی?)

یک مجموعه با 4 عضو

(این بار شما فعالیت  را انجام دهید!)

با توجه به گفته ها وفعالیت های بالا همان فعالیت  را انجام دهید:

{گیلاس، موز، سیب، خرمالو}

  در جدول وارد کنید:

  لیست تعدادزیرمجموعه
هیچ عضو
{}  
یک عضوی    
دو عضوی
   
3عضوی    
4 عضوی
   
مجموع زیر مجموعه ها:  

(نکته :اگر درست انجام دهید الگویی جالب پی دا می کنید..)

یک مجموعه با 5 عضو

وحالا:

{گیلاس، موز، سیب، خرمالو، تخم مرع}

در جدول وارد کنید::

  لیست تعدادزیرمجموعه
هیچ عضو
{}  
یک عضوی    
2عضوی    
3 عضوی    
4 عضوی    
5  عضوی    
مجموع زیر مجموعه ها:  

(چه الگویی پیشنهاد می کنید?)

 

یک مجموعه با 6 عضو

دباره این مجموعه:

{گیلاس، موز، سیب، خرمالو، تخم مرع، شربت}

بله  ... احتیاجی نیست که دیگر جدول را پر کنید...

... حالا دیگر شما باید قادر باشید الگویی برای سریع پیداکردن تعداد زیر مجموعه پیدا کرده باشید!

2 برابر کردن 

 پایه 2 به توان تعدادعضوها    :

یک مجموعه با  nعضو   :        2n زیر مجموعه

حالا شما قادرهستید جواب دهید که:

  • یک مجموعه 6 عضوی چند زیر مجموعه دارد؟ _____
  • یک مجموعه 7عضوی چند زیر مجموعه دارد؟ ? _____

الگویی دیگر

بیایید زیرمجموعه ها را جدا جدا بنویسیم:

  • تهی یک زیرمجموعه دارد:  1
  • یک مجموعه با یک عضو 1  زیر مجموعه ویک  زیر مجموعه تهی : 1و1
  • یک مجموعه بادو عضو  ،2  زیر مجموعه یک عضوی  ویک  زیر مجموعه تهی     ویک زیر مجموعه دو عضوی:1و2و1
  • یک مجموعه با3 عضو  ،زیر مجموعه یک عضوی  ویک  زیر مجموعه تهی  و2 زیر مجموعه دو عضوی  و یک زیر مجموعه 3 عضوی : 1و3و3و1=8
  •  
  • و ادامه....!

ایا الگو را دریافتید?

مثلث خیام -پاسکال!

این خیلی مفید بود, به راحتی زیر مجموعه ها را می فهمید..

نکته: شروع ستون از  0, وستون ها هر چه به پایین می اید باز تر می شود..

مثال: مجموعه {سیب, موز, گیلاس, خرمالو,تخم مرغ} زیر مجموعه های 3 عضوی:

  • {گیلاس، موز، سیب}
  • {سیب, موز, خرمالو}
  • {سیب, موز, تخم مرغ}
  • {سیب, گیلاس, تخم مرغ}
که 10 زیر مجموعه 3 عضوی!

3 عضوی ها: {گیلاس، موز، سیب} {سیب,موز,خرمالو} {سیب,موز,تخم مرغ} {سیب,گیلاس,خرمالو} {سیب,گیلاس,تخم مرغ} {سیب,خرمالو,تخم مرغ } {موز,گیلاس,خرمالو} {موز,گیلاس,تخم مرغ} {موز,خرمالو,تخم مرغ} {گیلاس,خرمالو,تخم مرغ}

محاسبه تعداد زیرمجموعه

تعدادراه ها در مجموعه 4 عضوی 1, 4, 6, 4 و 1 (به مثلث خیام- پاسکال نگاه کن)?.

مجموعه های 4  عضوی و...:

  • تعدا د انتخاب1 زیر مجموعه تهی از  4 عضو    = 4C0 = 1
  • تعدادانتخاب 1 عضوی از  4 عضو  = 4C1 = 4
  • تعدادانتخاب دو عضوی از  4 عضو= 4C2 = 6
  • تعدادانتخاب 3 عضوی از  4 عضو = 4C3 = 4
  • تعدادانتخاب 4 عضوی از  4 عضو = 4C4 = 1
  •                                                  مجموع زیر مجموعه ها در 4عضوی = 16

آیا از همین راه برای مجموعه 5 عضوی میتوان به کار برد?

تکمیل کن:

  • تعدا د انتخاب1 زیر مجموعه تهی از  5 عضو = 5C0 = 1
  • تعدادانتخاب 1 عضوی از  5 عضو   = ___________
  • تعدادانتخاب دو عضوی از  5 عضو = ___________
  • تعدادانتخاب 3 عضوی از  5 عضو  = ___________
  • تعدادانتخاب 4 عضوی از 5 عضو = ___________ 
  • تعدادانتخاب5 عضوی از5 عضو = ___________
  •                                         مجموع زیرمجموعه ها = ___________

نتیجه

  دراین فعالیت فهمیدیم:

  • فرمولی برای تعداد زیرمجموعه ها : باn عضو    2nمی شود.
  • کمک گرفتن از مثلث خیام پاسکال.
  • یادگرفتیم که به سرعت بتوانیم تعداد زیرمجموعه ها را با    n عضو  محاسبه کنیم.



علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 
پنجشنبه 25 مهر 1398 10:52 ق.ظ
سلام
لطفا‌جواب اینو‌بگید‌.
مجموعه‌ای‌دارای۲۵۶‌زیرمجموعه‌است‌این‌مجموعه
چندعضودارد؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 8
ریحانه
سه شنبه 6 فروردین 1398 09:01 ب.ظ
سلام ببخشید سوال اینکه مجموعه(1و2و3..و10)شامل عضو 1و4و5 باشد اما شامل عضو3 نباشد از طریق فرمول چطور میشه؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 1و4و5و3 را کنار بگذار و2 عضوی ها را حساب کن اما دوعضوی ها را حساب کن و به هر دو عضوی که 1و4و5 را داخل کنی 3 عضوی می شوند.
http://fathi5.mihanblog.com/post/2043
ن.ح
چهارشنبه 11 مهر 1397 05:37 ب.ظ
سلام.
یه مجموعه ی ۶ عضوی داریم.می خوام بدونم چند زیر مجموع ی ۵ تایی داره؟
ممنون میشم اگه زود جواب بدین.
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/2043
NM
سه شنبه 10 مهر 1397 11:37 ب.ظ
سلام مجموعه(12،....1،2)چند زیر مجموعه دارد که شامل 1،2باشد ولی 3نباشد؟؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/2043
shiva
یکشنبه 21 مرداد 1397 07:40 ق.ظ
سلام لطفا فرمول تعداد زیر مجموعه های 5 عضوی را بنویسید
فقظ کاش زود انلاین شین
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 2 به توان5
عاطفه
چهارشنبه 17 مرداد 1397 07:12 ب.ظ
سلام برای اینکه تعداد زیر مجموعه های 6 عضوی و 10 عضوی را در یک مجموعه nعضوی به دست آوریم چه باید بکنیم
Sepehr
جمعه 22 تیر 1397 12:31 ب.ظ
یو مجموعه10عضوی چند زیر مجموعه 8عضوی دارد لطفا با فرمول بگین
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : از فرمول! n!/k!(n-k)
=36
!(10-8) ! 8 / ! 10
پنجشنبه 31 خرداد 1397 02:59 ب.ظ
سلام اگر امکان دارد جواب این سوال را
با راه حل کامل بدهید با تشکر
اگر از یک مجموعه n عضوی 3 عضو حذف کنیم از تعداد زیر مجموعه های ان112 واحد کم میشود این مجموعه چند عضو دارد؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : n=7
=(n-3)^2
112-(2به توان n)
اتنا
شنبه 16 دی 1396 05:35 ب.ظ
اگر تعداد دیر مجموعه های یك مجموعه nعضویات تعداد زیر مجموعه های یك مجموعهn+1
9واحد كمتر باشدتعداد زیر مجموعه nچندتاست
اگر میشه به این سوْال پاسخ بدین
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : مسئله دقیق ننوشتی
اتنا
شنبه 16 دی 1396 05:30 ب.ظ
سلام
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی :
نازی
جمعه 8 دی 1396 06:35 ب.ظ
سلام خسته نباشید
چگونه باداشتن تعداد زیر مجموعه ها میتوان تعداد عضو هارا بدست اورد
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : تعداد زیر مجموعه=2 به توان تعداد عضو
پس باید عدد تجزیه و به توان بنویسی
مرجانه
دوشنبه 27 آذر 1396 07:19 ب.ظ
درمجموعه ای اعداد کمتر از 11 وجود دارند. چند زیرمجموعه 5 عضوی وجود دارد که جمع هیچ 2 عضو آن 11 نباشد ؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : عددهای 8و3
5و6
10و1
7و4
9و2
2 به توان5=32
صدف
چهارشنبه 1 آذر 1396 09:06 ب.ظ
سلام. آیا عبارت( کوچکترین عدد گویای مثبت) مجموعه تهی را مشخص میکند؟ یا اصلا مجموعه نیست؟ چرا؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بی نهایت ویک عضو دارد
امین
چهارشنبه 17 آبان 1396 07:13 ب.ظ
سلام مجوعه صفر وتهی چند زیرمجموعه دارد؟دویاچهار
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 4
ابوالفضل
جمعه 5 آبان 1396 11:57 ق.ظ
با سلام.
فورمول این سوال رو بگید؟
زیر مجموعه 10 عضوی چند زیر مجموعه 6 عضوی دارد ؟
لطفا راه حل کامل رو بگید
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/2043
سیما
یکشنبه 23 مهر 1396 09:23 ق.ظ
مجموعه {۱۰و۹و۸و۷و۶و۵و۴و۳و۲و۱}چند زیر مجموعه سه عضوی دارد که شامل ۱۰ حتما باشد اما ۲و۳ نباشد
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 2و3و10 را کنار بگذار اما دوعضوی ها را حساب کن و به هر دو عضوی که 10 را داخل کنی 3 عضوی می شوند.
21 جواب
Donya
جمعه 21 مهر 1396 08:54 ق.ظ
سلام خانم فتحی این سوال جوابش چیه؟
در مجموعه اعداد طبیعی کمتر از 21 جند زیر مجموعه می توان نوشت که بزرگترین عضو آن 2 برابر کوچکترین عضو آن باشد
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : چند عضوی
مثلا8تا16
6تا12

5تا10
محمد حسین زاده
سه شنبه 18 مهر 1396 07:42 ب.ظ
تعداد زیر مجموعه یک مجموعه 3+k عضوی برابر 64 میباشد. مقدار k را تعیین کنید.
خانم فتحی لطفا این سوال رو جواب بدید من 13 آوردم میخوام ببینم درسته یا نه
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : جواب در همین صفحه نوشتم k=3
یکشنبه 16 مهر 1396 09:07 ب.ظ
لطفا جواب بدین یک مجموعه چهار عضوی که که هر عضو آن زیر مجموعه آن باشد
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 2 به توان4 زیرمجموعه4 عضوی
بهرام
یکشنبه 16 مهر 1396 06:51 ب.ظ
مجموعه ای بنویسید که هرعضو آن زیر مجموعه ی خودش باشد
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : تهی
ناشناس
چهارشنبه 14 تیر 1396 02:15 ب.ظ
ببخشید شما اثبات فرمول دو به توان nرو می دونید اگه میشه همین امروز انلاین شید و جواب
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : برای تعداد زیر مجموعه ،مجموعه ها به کار میرود nتعداد عضوهاست
اگر {A={a,b،c یک مجموعه باشد در این صورت زیرمجموعه‌های مجموعهٔ A عبارت‌اند از:

{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b،c},{}
پایه استقرا: باید نشون بدیم که رابطه 2به توان nبرای یک مجموعه صفر عنصری هم برقراره. یه مجموعه صفر عنصری همون مجموعه تهی هستش که فقط دارای یک زیر مجموعه هست(تهی زیر مجموعه هر مجموعه ای است). از طرفی 2 به توان0 =1.
می بینید 8 تا زیر مجموعه دارد که =2 به توان3
فرض می کنیم برای یک مجموعه n-1 عنصری تعداد زیر مجموعه های اون برابر با 2n−1 باشه.

گام استقرا: باید نشون بدیم که تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه n عنصری برابر با 2n هستش.
حالا چطور میشه این موضوع رو نشون داد.
اینطوری: طبق فرض استقرا یک مجموعه n-1 عنصری دارای 2n−1 عنصر هستش. حالا اگر به مجموعه اولیه یک عنصر جدید اضافه بشه طبیعتا تعداد زیر مجموعه ها افزایش پیدا خواهد کرد. تعداد زیر مجموعه های اضافه شده برابر2 به توان n−1 خواهد بود(کافیه به هر کدوم از زیرمجموعه های مجموعه n-1 عنصری عضو جدید رو اضافه کنیم.) یعنی حالا تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه n عنصری برابر هست با به توان هستند

با 2n−12n−1=2×2n−1=2n
ج
یکشنبه 11 تیر 1396 04:06 ب.ظ
خواهش می کنم زود جوابو بگید
شنبه 5 فروردین 1396 07:50 ب.ظ
سلام ببخشید چرا اشتراک تهی با یک مجموعه تهی می شود
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://elmnama.com/جبر-مجموعه-ها-اشتراک،-اجتماع،-تفاضل/
امیرمحمد
یکشنبه 21 آذر 1395 06:46 ب.ظ
با سلام.خسته نباشید.معلم من سوال پرسیده که یک مجموعه ۱۰ عضوی چند زیر مجموعه ۶ عضوی دارد؟ آیا چنین سوالاتی فرمول دارد؟ اگر بله لطفا فرمولش را بگید.
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/1817
امیرمحمد
یکشنبه 21 آذر 1395 06:44 ب.ظ
با سلام.خسته نباشید.معلم من سوال پرسیده که یک مجموعه ۱۰ عضوی چند زیر مجموعه ۶ عضوی دارد؟ آیا چنین سوالاتی فرمول دارد؟ اگر بله لطفا فرمولش را بگید.
محبوبه
چهارشنبه 12 آبان 1395 05:50 ب.ظ
سلام خانم فتحی لطفا فرمول پیدا کردن زیرمجموعه های 6-7 عضوی مجموعه nعضوی رو بهمون بگید ممنونم
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/1827
سارا
جمعه 30 مهر 1395 09:54 ب.ظ
سلام خانم این مساله راه حلش چطوریه؟ ممنون - تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه 1- K عضوی از تعداد زیر مجموعه های یک مجموعۀ 1+K عضوی 24 واحد کمتر است مقدار K چند استت؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : k=4
24-( 2به توان 1+ K=( دو به توان 1- K
DONYA.TANHAIY
پنجشنبه 29 مهر 1395 11:24 ق.ظ
عالی بود
پویا
جمعه 9 مهر 1395 10:34 ب.ظ
می خواستم اثیات فرمول زیر مجموعه ها رو بدوونم
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://anjoman.ir/Fa/Default.aspx?content=Article&articleID=174


شبکه اجتماعی فارسی کلوب | Buy Website Traffic | Buy Targeted Website Traffic