آموزشی.اطلاعات مفید علمی . سوال های درسی . تدریس ریاضی

اعداد مختلط

تاریخ:جمعه 10 مهر 1394-12:37 ب.ظ

عددهای موهومی -مختلط

اعداد حقیقی

اعداد موهومی

عددهای مختلط

عددهای مختلط مجموعه عددهای حقیقی وعددهای موهومی:

عددهای حقیقی چندمورد:

1 12.38  منفی0.8625 کسر3/4 2√ 1998

تقریبا هرعددی نزدیک اینها

عددهای موهومی ویژه هستند:  وقتی جذر بگیریم منفی میدهد.

البته به طورعادی اتفاق نمی افتد زیرا:

  • هرگاه عددمثبت را جذر بگیرید مثبت می شوند, ووقتی عددمنفی را جذر بگیرید باز مثبت می شد زیرا منفی درمنفی مثبت می شود.
  •  مراجعه  عددهای صحیح

اماعددهای موهومی!

 "واحد" عددهای موهومی i هست (مثل 1 درعددهای حقیقی)  که ریشه ان مساوی 1-

  1-  = 

equals the square root of -1

ترکیب

تعریف می کنیم:

یک عددمختلط ترکیبی از عددهای موهومی وحقیقی

a + b i

a عددحقیقی


b عددموهومی


1-  = i

مثال:

1 + i 39 + 3i 0.8 -   2.2i (2-) + πi 2√ + i/2
 

ایا میتواند از ترکیب دوعددباشد?

ایا منظوردوعددباهم ? مطمئن بله!

ما  با کسر می توانیم نشان دهیم. کسر 3/8 که  صورت 3 ومخرج ان   "3 از 8 قسمت ".

خوب, یک عددمختلط مجموع دوعددباهم است. (یک عددحقیقی ویک عددموهومی).

ایا میتواند قسمتی از عددمختلط صفر هم باشد؟

می دانیم, یک عددمختلط قسمتی عددحقیقی است وقسمتی عددموهومی.

البته میتواند  0   باشد , به مثال توجه کن هربار  عددهای  حقیقی وعددهای موهومی را صفر دادیم .

عددهای مختلط
قسمتی عددهای حقیقی
قسمتی عددهای
موهومی
3 + 2i 3 2
5 5 0
6i- 0 6-

پیچیده ومشکل?

ایا عددهای مختلط پیچیده هستند؟.

منظور اینکه دونوع عدد ، حقیقی وموهومی با هم عددهای مختلط را می سازند. دقیقا مثل مصالحی که  در ساختمان کاربرد دارد.


جمع دوعدد مختلط

مجموع دوعددمختلط:

a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

مثال:

(3+2i)+(  1+7i )=(  4+9i)

ضرب دوعدد مختلط

 هرقسمت جمله اول درهرقسمت جمله دوم ضرب می شود. مثل ضرب چند جمله ای ها ی جبری

مثال:ضرب دو چند جمله ای:

(x + 2y)(3x − 4y + 5)

(x + 2y)(3x − 4y + 5)

= 3x2 − 4xy + 5x + 6xy − 8y2 + 10y

= 3x2 + 2xy + 5x − 8y2 + 10y

:a+bi)  (c+di)


  • جمله اول در جمله اول: a × c
  • جمله اول درجمله دومی: a × di
  • جمله دوم درجمله اول: bi × c
  • جمله دوم در جمله دوم: bi × di

(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi2

مثال: (3 + 2i)(1 + 7i)

(3 + 2i)(1 + 7i)   = 3×1 + 3×7i + 2i×1+ 2i×7i  
    = 3 + 21i + 2i + 14i2  
    = 3 + 21i + 2i - 14 (زیرا i2 = -1)
    = 11 - 23i  

واین مثال:

مثال:          2(1+i)

                               

                                                 2(1+i)

( i+1)2 = (1 + i)(1 + i)   =
 1×1 + 1×i 2 + 1×i + i
 
     i2= 1 + 2i - 1 (زیرا i2 = -1)
    = 0 + 2i  

اما راه سریع !

کاربرد قانون:

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

مثال:  2i+3+2i)(1 + 7i) = (3×1 - 2×7) + (3×7 + 2×1)i = -11 + 23i

چرا ?

(a+bi)(c+di)  =  ac + adi + bci + bdi2   روش
   =  ac + adi + bci - bd   (زیرا i2=-1)
   =  (ac - bd) + (ad + bc)i   (جمع وجور کردن جمله ها)

ماداریم (ac - bd) + (ad + bc)i ) الگو.

روش محاسبه i2

مثال محاسبه کنید: i2

i میتواند با یک عددحقیقی ترکیب شود : 0 + i

i2 = (0 + i)2   =
 (0+ i+0)( i)
 
    = (1×1 - 0×0) + (0×1 + 1×0)i  
    = 1 - 0i  
    = 1-  

,ونتیجه این که      i2 = -1

 

عددهای مختلط روی سطح شطرنجی

میتوان عددهای مختلط را روی محور مختصات نشان داد..

  • قسمت عددحقیقی(  Real)  چپ وراست محور مختصات روی محورx  ها
وقسمت عددهای موهومی( imaginary ) روی محورy ها نمایش می دهند.

اعداد مختلط ( ترکیب دوعددحقیقی و موهومی) علامت بین آن دو  منفی یا مثبت میتواند  باشد.


Complex Conjugate:

مثال:فقط علامت  خط  بار --- می گیرد.

                                  




5-3i

  = 


5+3i

  3i -  5= a:                                  5 + 3i

تقسیم کردن دو عددمختلط  ،باید صورت ومخرج را در مخرج ضرب کنید:

مثال: تقسیم کن:

                

2+3i

4+5i

  = :                              a:
     


صورت ومخرج را در                        f)                        4+5 i :ضرب کنید

    




  =   

8+10i+12i+15i2

16+20i+20i-25i2

  =  

4+5i

4+5i

  × 

2+3i

4+5i



می دانیم که  i2 = -1,   پس :

 

8+10i+12i+15

16+20i+20i+25

  =  

هردو مثبت ومنفی هم =صفر      0  = 20i - 20i     !):

7+22i-

44

  =  

حالا به صورت عددمختلط می نویسیم         a + bi :

 
  =  

22i

44

  + 

7-

44

انجام شد!

پس عملیات تقسیم هم روی اعداد مختلط انجام می شود..

ضرب اعداد مختلط

دوعدد مختلط را میتوان ضرب کرد.

که با کمک قانون اتحاد مزدوج حل می شود.:

 4-5i)(4 + 5i) = 16 + 20i - 20i - 25i2

ساده می کنیم!
ومیدانیم که  i2=-1       که جایگزین می کنیم:

4 - 4-5i)(4 + 5i) = 42 + 52

که ساده شد

درحقیقت از قانون مزدوج استفاده می کنیم:

a + bi)(a - bi) = a2 + b2

میتوانید در تقسیم هم از روش قانون مزدوج کمک گرفت:

مثال: چقدر می شود؟

   2+3i
4-5
 

صورت ومخرج را در                        f)                        4+5 i :ضرب کنید

    




  =   

8+10i+12i+15i2

16+20i+20i-25i2

  =  

4+5i

4+5i

  × 

2+3i

4+5i

 

7+22i-

44

  =  

حالا به صورت عددمختلط می نویسیم         a + bi :

 
  =  

22i

44

  + 

7-

44

انجام شد!

مجموعه مندل بروت

Mandelbrot Set

تصویر زیبای  روبرو از مندل بروت  (تصویر  سمت راست)  براساس اغداد مختلط پایه گذاری شده.

به کمک معادله     z2+c (هردو جمله عددمختلط     )  که هربار برگشت به z

.

رنگها نشان میدهد رشد سریع z2+c ,  که با نظم برگشت می کند .

تصویر که روی مجموعه زوم شده

Mandelbrot Set Zoomed In
وتصویر زوم شده روی مرکز مجموعه:

 




علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 


شبکه اجتماعی فارسی کلوب | Buy Website Traffic | Buy Targeted Website Traffic