آموزشی.اطلاعات مفید علمی . سوال های درسی . تدریس ریاضی

فعا لیت:ساعت عقربه ها زاویه

تاریخ:سه شنبه 10 مرداد 1391-09:37 ق.ظ

در بین ساعت 3 و 4 یك ساعتی وجود دارد كه دقیقاً عقربه ساعت شمار با دقیقه شمار بر روی هم قرار می‌گیرند. به نظر شما این ساعت چند است؟

لطفاً كمی فكر كنید و بعد ادامه را بخوانید

حال بیایید این ساعت را بدست بیاوریم. این كار را به 2 صورت انجام می‌دهیم كه در ابتدا راه حل دشوار و سپس راه حل ساده را ارائه می‌دهیم.

فرض كنید ساعت 12 است و عقربه شمار و ساعت شمار بر روی هم قرار دارند. حال فرض كنید كه عقربه دقیقه شمار بر روی t است و عقربه ساعت شمار نیز به همان نسبت بر روی 15 + t /12 دقیقه است (عبارت t/12 برای این است كه در حقیقت در 60 دقیقه عقربه ساعت شمار به اندازه 5 دقیقه جلو می‌رود)

وقتی دو عقربه بر روی هم منطبق می‌شوند داریم: t= 15 + t/12 و بنابراین t= 16 + 4/11

و در نتیجه در ساعت 3:16 +4/11 دقیقه دو عقربه بر روی هم قرار می‌گیرند.

حال برای عمیق شدن در این مسأله بیایید سوال را در مورد ساعت بین 2 و 3 جواب بدهیم یعنی وقتی را بدست بیاوریم كه عقربه ساعت شمار و دقیقه شمار بر روی هم قرار بگیرند.

با استفاده از همان روش قبل بدست می‌اوریم: t= 10 + t/12 و در نتیجه t= 10 + 10/11 و در نتیجه جواب ساعت 2:10 + 10/11 دقیقه است.

همانطوری كه دیدید ما در هر دو مورد به كسرهایی كه 11 در مخرج آن‌ها است رسیدیم. ما فهمیدیم كه در 12 ساعت، عقربه ساعت شمار و دقیقه شمار 11 بار بر روی هم قرار می‌گیرند كه از ساعت 12 شروع می‌شود و در هر ساعت یكبار این اتفاق می‌افتد به غیر از ساعت 12 تا 1 و 11 تا 12 و این به این علت است كه عقربه دقیقه شمار با سرعت بیشتری نسبت به ساعت شمار حركت می‌كند.

دیدیم كه تطبیق بین ساعت 3 و 4 در 3/11 مسیر اتفاق می‌افتد یعنی به طور مثال 3/11 * 60 = 16 + 4 /11 دقیقه بعد از ساعت 3 عمل تطبیق اتفاق می‌افتد.

حالا نظرتان درباره عقربه ثانیه شمار چیست؟

هیچ ساعتی به غیر از ساعت 12 وجود ندارد كه سه عقربه ساعت شمار و دقیقه شمار و ثانیه شمار بر هم منطبق بشوند. دلیل این اتفاق این است كه عقربه ثانیه شمار و دقیقه شمار در 59 نقطه بر روی یكدیگر قرار می‌گیرند و اعداد 11 و 59 ضریب‌های مشتركی ندارند (اگرچه عقربه ساعت شمار و ثانیه شمار در 719 نقطه بر روی یكدیگر قرار می‌گیرند)

حال به نظر شما به غیر از ساعت 12 چه موقع سه عقربه بر هم منطبق می‌شوند؟

برای پاسخ به این سوال، به 11 نقطه‌ای كه عقربه‌های ساعت شمار و دقیقه شمار بر روی هم قرار می‌گیرند توجه می‌كنیم و زمانی را پیدا می‌كنیم كه عقربه ثانیه شمار نیز بر روی آن‌ها قرار بگیرند.

زمانی كه عقربه ثانیه شمار در نزدیكترین حالت خود قرار دارد، نزدیكترین زمانی است كه سه عقربه به همدیگر بسیار نزدیك هستند. تطبیق دو عقربه ساعت شمار و دقیقه شمار بین ساعت 1 و 2 در 5+5/11 دقیقه اتفاق می‌افتد و در این زمان عقربه ثانیه شمار از این دو عقربه دور است. به طور مشابه بین ساعت 2 و 3 در 10+10/11 دقیقه بعد اتفاق می‌افتد كه عقربه ثانیه شمار در 10/11 اطراف محیط قرار دارد كه همچنان بسیار دور است.
با ادامه این روند می‌فهمیم كه در زمان‌هایی كه تطبیق عقربه های ساعت شمار و دقیقه شمار اتفاق می‌افتد و عقربه ثانیه شمار نیز در نزدیكترین جالت به این دو است در ساعت‌های 3:16 + 4/11 دقیقه و 8:43 + 7/11 دقیقه روی می‌دهد.

در این زمان‌ها عقربه ثانیه شمار در 4/11 و 7/11 محیط دایره قرار دارد. در هر دو حالت كه ثانیه شمار در نزدیكترین حالت ممكن وجود دارد، بر عقربه ساعت شمار منطبق می‌شود اما چون عقربه دقیقه شمار سرعت بیشتری دارد بر روی آن منزبق نمی‌شود.

در بین ساعت 3:16 و 3:17 دو عقربه ثانیه شمار و ساعت شمار بر روی هم منطبق می‌شوند كه زمان دقیق آن از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

t= 15 + 16/12 + t/720

و بنابراین می‌شود t= 16 + 196/719 دقیقه

پس جواب می‌شود: t= 3:16 + 256/719 ثانیه. تفاوت بین عقربه ساعت شمار و دقیقه شمار در این حالت نیز برابر

(16 +256/719) / 60 – (16 +196 / 719) / 60 = 1 /719 محیط دایره

و این كاملا حس می‌شود. و ساعت بعدی نیز برابر 8:43:43 + 463 / 719 ثانیه.




علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر