آموزشی.اطلاعات مفید علمی . سوال های درسی . تدریس ریاضی

اعداد گنگ

تاریخ:دوشنبه 25 دی 1391-08:37 ب.ظ

مجموعه اعداد گنگ (اصم) :
همه ی اعداد اصم مجموعه ای را تشكیل می دهند كه به آن مجموعه اعداد گنگ می نامند و با Q c  نشان می دهند.

اعداداصم یاگنگ را نمی توان به صورت كسر نوشت.مثال:

    3/2کسری است ویک عدد گویا ست ومی توان به صورت   3 به 2نوشت.

 اما عددپی=     ؟/؟=......................3.14159    عددی گنگ یا اصم است ونمی توان نسبتی برایش نوشت.

معرفی اعداد معروف گنگ :

عدد پی یك عدد گنگ است=π = 3.1415926535897932384626433832795 عددپی...)شما نمی توانید

عدد پی را به صورت یك كسر بنویسید زیرا تابینهایت اعداد  متفاوت ادامه دارد.

كسر  بیست ودو هفتم 22/7 = 3.1428571428571...    هم یك عدد گنگ است زیرا  اعداد بعد از اعشار تا بینهایت اعداد متفاوت هستند

مثال:عدد اعشاری  نه ونیم مساوی نوزده دوم     9.5 = 19/2   یك عدد گویاست. 

عدد

به كسر

گنگ یا گویا

1.75

7/4

گویا

 .001

1/1000

گویا

2√ جذر2

؟

گنگ

 

 

 جذر ،ریشه   توان دوم:

به شكل زیر توجه كنید    مربعی داریم به ضلع یك سانتی متر است.اندازه قطر این مربع چقدر است؟


پاسخ  این است ریشه توان دوم 2= (2√)  = 1.4142135623730950...

مربعات وریشه توان دوم: یك مربع داریم به ضلع 3در3  مساحت این مربع=3 × 3 = 9

كه ما می گوییم مجذور عدد 3 یا مربع عدد3   =32 یعنی3 به توان2  

 

 

به مربع یا مجذور  12 تا 62  توجه كنید

               1  =    1 × 1  =  12   و        4  =  2 × 2  = 22   و9 =  3 × 3  =  32  و

       و   16  =  4 × 4  =  42     و      25 = 5  ×   5  =5  2 و   36= 6  ×  6  = 62   و

به جدول توجه كنید ومربع اعداد را ببینید

 5 4 3 2 1
    4 2
   9  3
  16   4
 25    5

میتوانید مربع دوعدد منفی را محاسبه كنید حاصل مثبت است. (-5) × (-5) = 25=

دقت كنید كه با تساوی     25 - -(5×5) =  فرق دارد.

ریشه توان دوم:مجذوریا مربع3=9 اما جذر9=3  نتیجه اینكه جذر 9مساوی عددی كه درخودش ضرب شده یعنی مساوی3   هست.

مجذور یا مربع   4  می شود 16    وجذر16 می شود4

مجذوریا مربع5 می شود25   وجذر25 میشود5

مجذوریا مربع6 می شود36 وجذر 36 میشود6

حالا ببینیم جذر 8 چه عددی است/؟ جذر 9 چه عددی است/؟ جذر 10 چه عددی است/؟

جذر 1 چه عددی است/؟ جذر 1 /  1چه عددی است/؟ جذر 9  /2   چه عددی است/؟

 

 

توجه كنید كه رادیكال25 =   یعنی 25 = 5 × 5پس      √25 = 5و

رادیكال36= 36√ = 6یعنی 6 × 6 = 36

مربع چندعدد را ببینید         

8

7

6

5

4

3

2

1

64

42

36

25

16

9

4

1

توجه كنید كه مربع اعداد را  وجذر آنها را تا 20 به خاطر بسپارید زیرا خیلی كاربرد دارد.

مربع بعضی اعداد بسیار راحت است مثل   3 × 3 = 9  و  4 × 4 = 16   وجذر 9 و16 هم 3و4 می شود .اما جذر بعضی اعداد آسان نیست مثال: 

 25 /  12  =5  / 3 × 5 / 3     یا   24 / 10  = 2 / 3  × 2 / 3 یا

یا      61 / 9   =1 / 3   ×   1  / 3    اگر بخواهیم جذ ر 25 /  12 و24 / 10  و61 / 9   را بگیریم مدتها طول می كشد.اگر با ماشین حساب جذر 24 / 10  را كه بین ان دودیگراست ونزدیك  آنهاست  بگیریم

عددی مثل :  ...  3.1622776601683793319988935444327   كه تقریبا جذر هرسه عددهم حساب كردیم.

   @ آسانترین راه برای جذر یك عدد استفاده از ماشین حساب است كه دكمه جذر دارد

 

@ بازی وسرگرمی: بك را ه سرگرمی  برای محاسبه جذر عددهم هست.

الف)  مثلا جذر عدد10 را بخواهیم میگویم مثلاحدس ما عدد4 جذ ر 10 هست

ب)عدد10 رابر4 (حدس شما) تقسیم می كنیم.   (  5 /2 =4 ÷  10    )

ج)پاسخ را با عدد حدس زده جمع می كنیم.(   5 / 6 = 5 / 2 + 4 )

د)عدد به دست آمده را نصف كرده(  25 / 3 = 2  ÷  5 / 6  )

كه جذر عدد10مساوی تقریبا25 / 3   شد.  اگر بخواهیم نزدیك تر شویم 

عدد25  / 3 را حدس قرار داده ودوباره 10 بر 25 / 3 تقسیم می كنیم ومراحل (ب) تا (ج) را طی میكنیم

تا یك بار دیگر  پاسخ اولی=25 / 3     بار دوم=  163 / 3    بارسوم=1623 / 3

حالا اگر پاسخ سوم را درهم ضرب كنید یعنی مربع عدد را به دست آورید به(10) نزدیك شدید.

پس مربع آن =3.1623 × 3.1623 = 10.00014

حال جذرعددها ی دیگرمثل  2 را................... حدس بزن ومراحل (ب تا د) را طی كنید.

مترجم : عفت فتحی

نکته ها

بین هر دو عدد گویای متمایز، حداقل یك عدد گویا و یك عدد گنگ وجود دارد

و بین هر دوعدد گنگ متمایز، حداقل یك عدد گویا و یك عدد گنگ وجود دارد.
مجموع دو عدد گویا، عددی گویاست.
حاصل ضرب دو عدد گویا، عددی گویاست.
مجموع یك عدد گویا و یك عدد گنگ، عددی گنگ است.
حاصل ضرب یك عدد گویای مخالف صفر در یك عدد گنگ، عددی گنگ است.
حاصل ضرب یك عدد گویا در یك عدد گنگ، وقتی گویاست كه عدد گویا برابر صفر باشد.
مجموع و حاصل ضرب دو عدد گنگ، ممكن است گویا یا گنگ باشد.

)بین دو عدد گنگ، حداقل یک عدد گویا وجود دارد.

2)بین دو عدد گویا، حداقل یک عدد گنگ وجود دارد.

3)بین دو عدد گنگ، حداقل یک عدد گنگ وجود دارد.

)بیپایان هستند.

2)تکرار ناپذیر هستند، یعنی رقمهایشان الگویی غیر تکراری را نشان میدهند.

فرض كنید a و b دو عدد گنگ باشند.

آیا ممكن است ab عددی گویا باشد؟مثال:


2√به توان   2√   گنگ است اما اگر همین عبارت را دوباره به توان رادیکال 2 برسانی انوقت گویاست.

  ( 2√ )
 
  (2√ )
        (2√)

 3√جذر  گنگ است؟ بله.

فرض میکنیم رادیکال 3 گنگ نیست و برابر با a/b باشد و b,a)=1). ابتدا دو طرف را به توان 2 میرسانیم و از این مطلب استفاده میکنیم که اگر عددی به توان 2 مضرب 3 باشد، خود آن عدد هم مضرب 3 است.
و در انتها a و b هردو مضارب 3 شدند و با فرض ما در تناقض است.

a2/b2=3       → a2=3b2 → a=3k                     (1=رادیکال 3 را = نسبتa بهb   قرار دهیدو  ان  را به توان 2 برسان

                      9k2=3b2 → b2=3k2 

b=3q                              (2)

k و t دو عدد نامعلومند و نقشی در مسئله ندارند

 

اعداد «گنگ» و رشد گیاهان

ردیابی رشد شاخك‌های میوه‌ی كاج نشان می‌دهد آن‌ها یكی‌یكی از قسمت پایینی اضافه می‌شوند. زاویه‌ی بین یك شاخك با دیگری همیشه یكسان است! این فرض معقول است كه معمولاً مؤثرترین فشردگی زمانی اتفاق بیافتد كه این زاویه تا آن‌جا كه ممكن است عددی «گنگ» باشد؛ به‌همین خاطر است كه در طبیعت، زاویه‌های «گنگ» فراوان دیده می‌شود.

شكل ساده‌ای از این حقیقت در فشردگی مثلث‌ها حول یك استوانه مشاهده می‌شود (شكل 5). در شكل 5 استوانه‌های مورد نظر، برش خورده و گسترده شده‌اند. آن‌ها به‌گونه‌ای درنظر گرفته شده‌اند كه محیط‌شان برابر عدد 1 باشد. مختصات افقی (محور ) هر مثلث جدید به‌گونه‌ای در نظر گرفته شده كه در فواصل مساوی در سمت راست دیگری قرار گرفته باشد. هم‌چنین مثلث‌های جدید به‌گونه‌ای قرار گرفته‌اند كه همیشه زوایا به‌پیمانه‌ی 1 كاهش می‌یابد.


 – چگونگی قرار گرفتن دانه‌ها در شاخك‌های میوه‌ی كاج:
الف – اندازه‌ی دانه = 75/0 و فاصله = .
ب - اندازه‌ی دانه = 75/0 و فاصله = 31/7.
ج - اندازه‌ی دانه = 75/0 و فاصله = .
د - اندازه‌ی دانه = 75/0 و فاصله = عدد طلایی .
هـ - اندازه‌ی دانه = 2/0 و فاصله = عدد طلایی .
و - اندازه‌ی دانه = 125/0 و فاصله = عدد طلایی .
ز - اندازه‌ی دانه = 075/0 و فاصله = عدد طلایی .

اجتماع اعداد گویا وگنگ، اعداد حقیقی است. مجموعه اعداد گنگ مجموعهای ناشمارا است. جورج کانتور (George Cantor) ریاضیدان آلمانی نشان داده است درحالی که بینهایت عدد گنگ و گویا وجود دارند؛ تعداد اعداد گنگ از اعداد گویا بیشتر است.





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 
9
دوشنبه 29 آبان 1396 11:45 ق.ظ
چگونه اعداد گنگ را تقسیم میکنند
عرفانه حسینی
جمعه 26 آبان 1396 08:46 ب.ظ
سلام لطفا پاسخ سوال من رو بدید امتحان دارم بین دو عدد رادیکال ۱۱ و رادیکال ۸ سه عدد گویا را بنویسید خواهش میکنم جواب سوال من رو بدید
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 3و2.9و2.91و2.و3.5 و3.51
hadise
جمعه 26 آبان 1396 01:29 ب.ظ
عددهای گنگ بین رادیکال۱۷ و ۴ چیه؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : رادیکال5 و6وو8و10و11و
مهلا
پنجشنبه 25 آبان 1396 03:11 ب.ظ
مجموع هر عدد گویا و هرعدد گنگ عددی گنگ است؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : هرعدد خیر بعضی
نسا
چهارشنبه 24 آبان 1396 01:38 ق.ظ
سلام لطفا جواب سوالمو بدین فردا امتحان دارم خیلی مهمه
این جمله درسته؟
حاصل ضرب عددی گویا در عددی گنگ همیشه گنگ است.
اگه درست نیست میشه مثال نقضشو بگید؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : غلط
رادیکال2×رادیکال8=رادیکال16=4
سه شنبه 23 آبان 1396 09:42 ب.ظ
آیا ضرب دو عدد گنگ گنگ است
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : همیشه خیر
حسین
سه شنبه 23 آبان 1396 06:10 ب.ظ
اگرa=رادیکال3+5باشد.عددرادیکال3-13رابرحسبَaبنویسید؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : متوجه نشدم
حسین
سه شنبه 23 آبان 1396 06:01 ب.ظ
عددگنگ بلافاصله بعدازرادیکال2چیست؟
parisa
دوشنبه 22 آبان 1396 09:06 ب.ظ
با سلام
ایا عددی وجود دارد که هم گنگ باشد و هم گویا
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : خیر
parisa
دوشنبه 22 آبان 1396 09:02 ب.ظ
با سلام
ایا ععدس وجود دارد که هم گنگ باشد و هم گنگ
Ali
یکشنبه 21 آبان 1396 03:11 ب.ظ
سلام دو عدد گنگ که جمعشان برابر ۷ باشد؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 3√-2)+ (3√+5
فاطمه
جمعه 19 آبان 1396 07:45 ب.ظ
سلام میشه جواب سوالمو بدین.مجموعه افراز اعداد حقیقی به دو زیر مجموعه که هریک بیشمار عضو دارد.؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : گنگ وگویا
جمعه 19 آبان 1396 06:04 ب.ظ
آیا15گنگ تست
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : رادیکال15 بله
چهارشنبه 17 آبان 1396 03:50 ب.ظ
سلام چه جوری بین دو عدد گنگ عددی گویا بنویسیم
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بین رادیکال 10 ورادیگل17 یک عدد گویا هست = ردیکال16
شهاب
چهارشنبه 17 آبان 1396 12:44 ق.ظ
سلام
ارتباط اعداد بین 9 - 26 - 52
در چرخه pi چیست ( رسم حلقه حلزونی
متشکر
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : اشکال عدد
هستی
دوشنبه 15 آبان 1396 09:43 ب.ظ
لطفا جواب سوال منو بدید.افراز مجموعه ی اعداد گنگ به دو زیر مجموعه.
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : تهی وخود مجموعه
دوشنبه 15 آبان 1396 07:21 ب.ظ
میشه جواب منو بدید
سارا
دوشنبه 15 آبان 1396 06:41 ب.ظ
سلام میشه یک مثال درمورد اینکه تقسیم دو عدد گنگ گویاست بزنید؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : رادیکل8 تقسیم بر رادیکال2
مریم
دوشنبه 15 آبان 1396 10:25 ق.ظ
ایا مربع عدد پی گنگ است؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بله
مبین
جمعه 12 آبان 1396 01:30 ب.ظ
دوعدد گنگ بنویسید ک جمعشان گویا باشد
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/1800
Erfan
جمعه 12 آبان 1396 12:10 ب.ظ
۲_رادیکال۲ روی محور
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بین1و2
علیرضا
جمعه 12 آبان 1396 10:47 ق.ظ
سلام بین دو عدد گنگ رادیکال۵ورادیکال۱۰،۵۱عددگویابنویسید
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : رادیکال 6 و8و7و10و11و13و17و...
پارسا
چهارشنبه 10 آبان 1396 08:00 ب.ظ
تعداد اعضای مجموعه اعداد گنگ بیشتر است یا گویا؟چرا؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : روی محور اعداد هرنقطه بیشمار گویا وبیشمار گنگ هست
دلارام
چهارشنبه 10 آبان 1396 01:22 ب.ظ
ایا لگاریتم اعداد گنگ گنگ است؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : گاهی
محمد
دوشنبه 8 آبان 1396 06:41 ب.ظ
ایا تقسیم دو عدد گنگ گنگ است
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : همیشه خیر رادیکال8 تقسیم بر رادیکال2 گویاست
سینا
دوشنبه 8 آبان 1396 08:10 ق.ظ
عددی وجود دارد که هم صحیح و هم گویا باشد؟؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : خیر
نیما
یکشنبه 7 آبان 1396 08:07 ب.ظ
مجموع کدام دوعدد گنگ ۵ میشود؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 5= 3 √- 1)+( 3 √+4)
رامین
یکشنبه 7 آبان 1396 07:44 ب.ظ
حاصل جمع کدام دو عدد گنگ ۵ است؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 5= 3 √- 1)+( 3 √+4)
ایدا
یکشنبه 7 آبان 1396 05:48 ب.ظ
سلام ببخشید.ایا مجموع و حاصلضرب هردوعدد گنگ،گنگ میشه؟
وآیا خارج قسمت هردو عدد اصم،اصم است؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/2049
داتیس
یکشنبه 7 آبان 1396 04:35 ب.ظ
سلام خدمت شما می خواستم بگم اعدادگنگ بین 4و5چی هست
؟؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 2.2-.2.3 -2.237,,, ,تا ادامه
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر


نمایش نظرات 1 تا 30