آموزشی.اطلاعات مفید علمی . سوال های درسی . تدریس ریاضی

اعداد گنگ

تاریخ:دوشنبه 25 دی 1391-09:37 ب.ظ

مجموعه اعداد گنگ (اصم) :
همه ی اعداد اصم مجموعه ای را تشكیل می دهند كه به آن مجموعه اعداد گنگ می نامند و با Q c  نشان می دهند.

اعداداصم یاگنگ را نمی توان به صورت كسر نوشت.مثال:

    3/2کسری است ویک عدد گویا ست ومی توان به صورت   3 به 2نوشت.

 اما عددپی=     ؟/؟=......................3.14159    عددی گنگ یا اصم است ونمی توان نسبتی برایش نوشت.

معرفی اعداد معروف گنگ :

عدد پی یك عدد گنگ است=π = 3.1415926535897932384626433832795 عددپی...)شما نمی توانید

عدد پی را به صورت یك كسر بنویسید زیرا تابینهایت اعداد  متفاوت ادامه دارد.

كسر  بیست ودو هفتم 22/7 = 3.1428571428571...    هم یك عدد گنگ است زیرا  اعداد بعد از اعشار تا بینهایت اعداد متفاوت هستند

مثال:عدد اعشاری  نه ونیم مساوی نوزده دوم     9.5 = 19/2   یك عدد گویاست. 

عدد

به كسر

گنگ یا گویا

1.75

7/4

گویا

 .001

1/1000

گویا

2√ جذر2

؟

گنگ

 

 

 جذر ،ریشه   توان دوم:

به شكل زیر توجه كنید    مربعی داریم به ضلع یك سانتی متر است.اندازه قطر این مربع چقدر است؟


پاسخ  این است ریشه توان دوم 2= (2√)  = 1.4142135623730950...

مربعات وریشه توان دوم: یك مربع داریم به ضلع 3در3  مساحت این مربع=3 × 3 = 9

كه ما می گوییم مجذور عدد 3 یا مربع عدد3   =32 یعنی3 به توان2  

 

 

به مربع یا مجذور  12 تا 62  توجه كنید

               1  =    1 × 1  =  12   و        4  =  2 × 2  = 22   و9 =  3 × 3  =  32  و

       و   16  =  4 × 4  =  42     و      25 = 5  ×   5  =5  2 و   36= 6  ×  6  = 62   و

به جدول توجه كنید ومربع اعداد را ببینید

 5 4 3 2 1
    4 2
   9  3
  16   4
 25    5

میتوانید مربع دوعدد منفی را محاسبه كنید حاصل مثبت است. (-5) × (-5) = 25=

دقت كنید كه با تساوی     25 - -(5×5) =  فرق دارد.

ریشه توان دوم:مجذوریا مربع3=9 اما جذر9=3  نتیجه اینكه جذر 9مساوی عددی كه درخودش ضرب شده یعنی مساوی3   هست.

مجذور یا مربع   4  می شود 16    وجذر16 می شود4

مجذوریا مربع5 می شود25   وجذر25 میشود5

مجذوریا مربع6 می شود36 وجذر 36 میشود6

حالا ببینیم جذر 8 چه عددی است/؟ جذر 9 چه عددی است/؟ جذر 10 چه عددی است/؟

جذر 1 چه عددی است/؟ جذر 1 /  1چه عددی است/؟ جذر 9  /2   چه عددی است/؟

 

 

توجه كنید كه رادیكال25 =   یعنی 25 = 5 × 5پس      √25 = 5و

رادیكال36= 36√ = 6یعنی 6 × 6 = 36

مربع چندعدد را ببینید         

8

7

6

5

4

3

2

1

64

42

36

25

16

9

4

1

توجه كنید كه مربع اعداد را  وجذر آنها را تا 20 به خاطر بسپارید زیرا خیلی كاربرد دارد.

مربع بعضی اعداد بسیار راحت است مثل   3 × 3 = 9  و  4 × 4 = 16   وجذر 9 و16 هم 3و4 می شود .اما جذر بعضی اعداد آسان نیست مثال: 

 25 /  12  =5  / 3 × 5 / 3     یا   24 / 10  = 2 / 3  × 2 / 3 یا

یا      61 / 9   =1 / 3   ×   1  / 3    اگر بخواهیم جذ ر 25 /  12 و24 / 10  و61 / 9   را بگیریم مدتها طول می كشد.اگر با ماشین حساب جذر 24 / 10  را كه بین ان دودیگراست ونزدیك  آنهاست  بگیریم

عددی مثل :  ...  3.1622776601683793319988935444327   كه تقریبا جذر هرسه عددهم حساب كردیم.

   @ آسانترین راه برای جذر یك عدد استفاده از ماشین حساب است كه دكمه جذر دارد

 

@ بازی وسرگرمی: بك را ه سرگرمی  برای محاسبه جذر عددهم هست.

الف)  مثلا جذر عدد10 را بخواهیم میگویم مثلاحدس ما عدد4 جذ ر 10 هست

ب)عدد10 رابر4 (حدس شما) تقسیم می كنیم.   (  5 /2 =4 ÷  10    )

ج)پاسخ را با عدد حدس زده جمع می كنیم.(   5 / 6 = 5 / 2 + 4 )

د)عدد به دست آمده را نصف كرده(  25 / 3 = 2  ÷  5 / 6  )

كه جذر عدد10مساوی تقریبا25 / 3   شد.  اگر بخواهیم نزدیك تر شویم 

عدد25  / 3 را حدس قرار داده ودوباره 10 بر 25 / 3 تقسیم می كنیم ومراحل (ب) تا (ج) را طی میكنیم

تا یك بار دیگر  پاسخ اولی=25 / 3     بار دوم=  163 / 3    بارسوم=1623 / 3

حالا اگر پاسخ سوم را درهم ضرب كنید یعنی مربع عدد را به دست آورید به(10) نزدیك شدید.

پس مربع آن =3.1623 × 3.1623 = 10.00014

حال جذرعددها ی دیگرمثل  2 را................... حدس بزن ومراحل (ب تا د) را طی كنید.

مترجم : عفت فتحی

نکته ها

بین هر دو عدد گویای متمایز، حداقل یك عدد گویا و یك عدد گنگ وجود دارد

و بین هر دوعدد گنگ متمایز، حداقل یك عدد گویا و یك عدد گنگ وجود دارد.
مجموع دو عدد گویا، عددی گویاست.
حاصل ضرب دو عدد گویا، عددی گویاست.
مجموع یك عدد گویا و یك عدد گنگ، عددی گنگ است.
حاصل ضرب یك عدد گویای مخالف صفر در یك عدد گنگ، عددی گنگ است.
حاصل ضرب یك عدد گویا در یك عدد گنگ، وقتی گویاست كه عدد گویا برابر صفر باشد.
مجموع و حاصل ضرب دو عدد گنگ، ممكن است گویا یا گنگ باشد.

)بین دو عدد گنگ، حداقل یک عدد گویا وجود دارد.

2)بین دو عدد گویا، حداقل یک عدد گنگ وجود دارد.

3)بین دو عدد گنگ، حداقل یک عدد گنگ وجود دارد.

)بیپایان هستند.

2)تکرار ناپذیر هستند، یعنی رقمهایشان الگویی غیر تکراری را نشان میدهند.

فرض كنید a و b دو عدد گنگ باشند.

آیا ممكن است ab عددی گویا باشد؟مثال:


2√به توان   2√   گنگ است اما اگر همین عبارت را دوباره به توان رادیکال 2 برسانی انوقت گویاست.

  ( 2√ )
 
  (2√ )
        (2√)

 3√جذر  گنگ است؟ بله.

فرض میکنیم رادیکال 3 گنگ نیست و برابر با a/b باشد و b,a)=1). ابتدا دو طرف را به توان 2 میرسانیم و از این مطلب استفاده میکنیم که اگر عددی به توان 2 مضرب 3 باشد، خود آن عدد هم مضرب 3 است.
و در انتها a و b هردو مضارب 3 شدند و با فرض ما در تناقض است.

a2/b2=3       → a2=3b2 → a=3k                     (1=رادیکال 3 را = نسبتa بهb   قرار دهیدو  ان  را به توان 2 برسان

                      9k2=3b2 → b2=3k2 

b=3q                              (2)

k و t دو عدد نامعلومند و نقشی در مسئله ندارند

 

اعداد «گنگ» و رشد گیاهان

ردیابی رشد شاخك‌های میوه‌ی كاج نشان می‌دهد آن‌ها یكی‌یكی از قسمت پایینی اضافه می‌شوند. زاویه‌ی بین یك شاخك با دیگری همیشه یكسان است! این فرض معقول است كه معمولاً مؤثرترین فشردگی زمانی اتفاق بیافتد كه این زاویه تا آن‌جا كه ممكن است عددی «گنگ» باشد؛ به‌همین خاطر است كه در طبیعت، زاویه‌های «گنگ» فراوان دیده می‌شود.

شكل ساده‌ای از این حقیقت در فشردگی مثلث‌ها حول یك استوانه مشاهده می‌شود (شكل 5). در شكل 5 استوانه‌های مورد نظر، برش خورده و گسترده شده‌اند. آن‌ها به‌گونه‌ای درنظر گرفته شده‌اند كه محیط‌شان برابر عدد 1 باشد. مختصات افقی (محور ) هر مثلث جدید به‌گونه‌ای در نظر گرفته شده كه در فواصل مساوی در سمت راست دیگری قرار گرفته باشد. هم‌چنین مثلث‌های جدید به‌گونه‌ای قرار گرفته‌اند كه همیشه زوایا به‌پیمانه‌ی 1 كاهش می‌یابد.


 – چگونگی قرار گرفتن دانه‌ها در شاخك‌های میوه‌ی كاج:
الف – اندازه‌ی دانه = 75/0 و فاصله = .
ب - اندازه‌ی دانه = 75/0 و فاصله = 31/7.
ج - اندازه‌ی دانه = 75/0 و فاصله = .
د - اندازه‌ی دانه = 75/0 و فاصله = عدد طلایی .
هـ - اندازه‌ی دانه = 2/0 و فاصله = عدد طلایی .
و - اندازه‌ی دانه = 125/0 و فاصله = عدد طلایی .
ز - اندازه‌ی دانه = 075/0 و فاصله = عدد طلایی .

اجتماع اعداد گویا وگنگ، اعداد حقیقی است. مجموعه اعداد گنگ مجموعهای ناشمارا است. جورج کانتور (George Cantor) ریاضیدان آلمانی نشان داده است درحالی که بینهایت عدد گنگ و گویا وجود دارند؛ تعداد اعداد گنگ از اعداد گویا بیشتر است.





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 
مرضیه
سه شنبه 15 فروردین 1396 08:25 ب.ظ
سه عدد گنگ بین 3√و3 کدوم اعدادن
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 1.8- 1.9- 1.10
Pegah
سه شنبه 15 فروردین 1396 12:39 ق.ظ
میشه مثالی از اینکه جمع دو عدد گنگ میشه گویا بزنین لطفا
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/1800
كساییان
دوشنبه 14 فروردین 1396 06:46 ب.ظ
مجموعه دو عدد گنگ لزوما عددی گنگ هست؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : لزوما خیر
اسما
شنبه 12 فروردین 1396 06:35 ب.ظ
ببخشید چطور میشه عدد 5- رو به صورت جمع دو عدد اصم نوشت
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/1800
ابوالفضل
جمعه 11 فروردین 1396 04:21 ب.ظ
سلام.بین دو عدد منفی ۳و رادیکال ۱۰ شش عدد گنگ بنویسید.میشه راهنمایی کنید.جوابش چ اعدادی میشه؟؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : رادیکال10=3.16
اعداد منفی گنگ بین ادوعدد-3و-3.16
3.1 و3.2و...وتا
هلن
دوشنبه 7 فروردین 1396 03:24 ق.ظ
5 منهای رادیکال3 بین کدام اعدا صحیح قرار دارد؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 2و3
سه شنبه 1 فروردین 1396 01:34 ب.ظ
بین دو کسر ۶_۷ و ۵_۶ چهار عدد گویا بنویسید.جواب این سوال چی میشه؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : صورت +صورت=صورت جدید
مخرج+ مخرج=مخرج جدید
فاطمه
یکشنبه 29 اسفند 1395 12:46 ب.ظ
سلام
چطور میشه بین رادیکال ۳ و عدد ۳ سه عدد گنگ یافت؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : رادیکال 5و6و8
پنجشنبه 12 اسفند 1395 11:33 ق.ظ
آیا عدد 4تقسیم بر 3 عددی گویاست
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بله
زهرا
یکشنبه 8 اسفند 1395 12:43 ق.ظ
در عبارت هایش کلامی کن من نوشته ام روز (یک اسفند ساعت نزدیک به چهار) آیا میتوانیم علامت بزرگتر و مساوی بگذاریم؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : علامت تقریب
فاطمه زهرا
جمعه 6 اسفند 1395 09:19 ب.ظ
با سلام و عرض خسته نباشید خدمت شما
مجموعه اعداد گنگ به دو زیر مجموعه افراز شده
چه زیر مجموعه هایی بودن و چطور این کارو کردن
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : چنین چیزی نداریم
زهرا
یکشنبه 1 اسفند 1395 04:55 ب.ظ
عبارت های کلامی زیر را به زبان ریاضی بنویسید.
۱)اگر پول علی را سه برابر کنیم،حداقل ۳۰۰ تومان از دوبرابر پولش بیشتر میشود.
۲)مجموع نصف عدد a و چهار برابر عددb،حداکثر ۶واحد است.
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : a/2+4b>6
3a>300+2a
علی
پنجشنبه 28 بهمن 1395 09:38 ب.ظ
اگر عدد گویای مثبتی را به توان عددی گنگ برسانیم حاصل چه عددی است؟
ماهان
پنجشنبه 28 بهمن 1395 09:54 ق.ظ
آیا هنگامی که مکعب عددی گنگ است،آن عدد حتما گنگ بوده؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : ممکنه گاهی
ماهان
چهارشنبه 27 بهمن 1395 08:05 ق.ظ
سلام.این جمله درسته؟ مثلثی قائم الزاویه وجود دارد که طول سه ضلعش گویاست ولی طول ارتفاع وارد بر وترش گنگ است.
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بله
ماهان
سه شنبه 26 بهمن 1395 10:05 ب.ظ
سلام.میشه بگین این جمله درسته یانه. تقسیم هر عدد گویای مثبت بر عددی گنگ،عددی گنگ میشود.
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بله چون صفر نه مثبت ونه منفی
محمد
دوشنبه 25 بهمن 1395 01:26 ب.ظ
لطفا برای این جمله یک مثال نقض بیاورید:
حاضل ضرب یک عدد گویا در یک عدد گنگ، همیشه گویاست.
ممنون
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : اگر عدد گویا صفر باشد =صفر است
غزل
شنبه 25 دی 1395 11:54 ب.ظ
ایا حاصل جمع دو عدد گنگ همواره عددی گنگ است؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : خیر
یکشنبه 19 دی 1395 07:35 ب.ظ
سلام
داخل ریاضی تکمیلی نهم (تیزهوشان) اومده دانشمندان اعداد گنگ را به دو زیرمجموعه افراز کرده اند.
مهرداد سردری
جمعه 17 دی 1395 11:52 ق.ظ
سلام
ببخشید اعداد گنگ فقط از اعداد رادیکالیه (یادم رفت مثلا رادیکال ده رادیکال دو )و عدد پی به دست میاد یا خودمونم میتونیم بسازیم
اگه میتونیم حداقل بالای چند رقم باید باشه
بعد سوال دومم
اینکه یک کسر که با تجزیه درختی جوابش دو و پنج در میاد مختومه(و تناوبی یا نه ) یا گنگ
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : خیر اعشاری هم هستند تا بیشمار
مختوم
علی نورمحمدی
جمعه 17 دی 1395 11:47 ق.ظ
با سلام ی سوال داشتم کلاس نهم هستم میخواستم بدونم چگونه بین دوعدد چند عدد گویا یافت
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بین 3و4 بیشمار اعشاری هست وبی شمار عددکسری وعددمخلوط
سه شنبه 14 دی 1395 03:35 ب.ظ
اینجمله صحیح است یانه؟. بین هر دو عدد گنگ بیشمار عدد گویا وجود دارد.
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بله
یکشنبه 12 دی 1395 04:09 ب.ظ
ایا 5 تقسیم بر 0 عددی گنگ است یا همیشه بی معنی
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : تعریف نشده بیمعنی
لاله
شنبه 11 دی 1395 02:45 ب.ظ
سلام ببخشید یه سوال داشتم بین رادیکال پنج و عدد شش چه طور میتوان چهار عدد گنگ پیدا کرد؟ ممنون از لطفتون
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : رادیکال 5= ............2.23بی شمار عدد بعد از ممیز که تا عدد6 بیشمار عددهست
2.231 2.235 .....................
جمعه 10 دی 1395 10:09 ب.ظ
چگونه عدد اصم را به کسر مسلسل تبدیل کنم
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : توضیح زیاد است و در اینجا امکان نیست به زودی در وب می نویسم
marzieh
جمعه 10 دی 1395 04:11 ب.ظ
سلام بین رادیکال 5 و رادیکال 10 چهار عدد گنگ چیست؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : رادیکال6و رادیکال7ورادیکال 8
محمد
جمعه 10 دی 1395 02:30 ب.ظ
چگونه بین رادیکال2و رادیکال 4ممیز1دهم چهارعدد گنگ بنویسیم. باتشکر
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : رادیکال 2.2 رادیکال 3 رادیکال3.1 رادیکال 3.5
هلن
چهارشنبه 8 دی 1395 01:43 ق.ظ
ببخشید بین دو عدد گنگ یک عدد گویا چگونه پیدا می شود؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بین رادیکال 8 ورادیکال10 عددگویای رادیکال9 قرار دارد
نازی
سه شنبه 7 دی 1395 01:27 ق.ظ
آیا عددی وجود دارد که هم گویا و هم گنگ باشد؟
نازی
سه شنبه 7 دی 1395 01:26 ق.ظ
آیا عددی وجود دارد که هم گویا و هم گنگ باشد؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : خیر
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر



نمایش نظرات 1 تا 30