آموزشی.اطلاعات مفید علمی . سوال های درسی . تدریس ریاضی

اعداد گنگ

تاریخ:دوشنبه 25 دی 1391-09:37 ب.ظ

مجموعه اعداد گنگ (اصم) :
همه ی اعداد اصم مجموعه ای را تشكیل می دهند كه به آن مجموعه اعداد گنگ می نامند و با Q c  نشان می دهند.

اعداداصم یاگنگ را نمی توان به صورت كسر نوشت.مثال:

    3/2کسری است ویک عدد گویا ست ومی توان به صورت   3 به 2نوشت.

 اما عددپی=     ؟/؟=......................3.14159    عددی گنگ یا اصم است ونمی توان نسبتی برایش نوشت.

معرفی اعداد معروف گنگ :

عدد پی یك عدد گنگ است=π = 3.1415926535897932384626433832795 عددپی...)شما نمی توانید

عدد پی را به صورت یك كسر بنویسید زیرا تابینهایت اعداد  متفاوت ادامه دارد.

كسر  بیست ودو هفتم 22/7 = 3.1428571428571...    هم یك عدد گنگ است زیرا  اعداد بعد از اعشار تا بینهایت اعداد متفاوت هستند

مثال:عدد اعشاری  نه ونیم مساوی نوزده دوم     9.5 = 19/2   یك عدد گویاست. 

عدد

به كسر

گنگ یا گویا

1.75

7/4

گویا

 .001

1/1000

گویا

2√ جذر2

؟

گنگ

 

 

 جذر ،ریشه   توان دوم:

به شكل زیر توجه كنید    مربعی داریم به ضلع یك سانتی متر است.اندازه قطر این مربع چقدر است؟


پاسخ  این است ریشه توان دوم 2= (2√)  = 1.4142135623730950...

مربعات وریشه توان دوم: یك مربع داریم به ضلع 3در3  مساحت این مربع=3 × 3 = 9

كه ما می گوییم مجذور عدد 3 یا مربع عدد3   =32 یعنی3 به توان2  

 

 

به مربع یا مجذور  12 تا 62  توجه كنید

               1  =    1 × 1  =  12   و        4  =  2 × 2  = 22   و9 =  3 × 3  =  32  و

       و   16  =  4 × 4  =  42     و      25 = 5  ×   5  =5  2 و   36= 6  ×  6  = 62   و

به جدول توجه كنید ومربع اعداد را ببینید

 5 4 3 2 1
    4 2
   9  3
  16   4
 25    5

میتوانید مربع دوعدد منفی را محاسبه كنید حاصل مثبت است. (-5) × (-5) = 25=

دقت كنید كه با تساوی     25 - -(5×5) =  فرق دارد.

ریشه توان دوم:مجذوریا مربع3=9 اما جذر9=3  نتیجه اینكه جذر 9مساوی عددی كه درخودش ضرب شده یعنی مساوی3   هست.

مجذور یا مربع   4  می شود 16    وجذر16 می شود4

مجذوریا مربع5 می شود25   وجذر25 میشود5

مجذوریا مربع6 می شود36 وجذر 36 میشود6

حالا ببینیم جذر 8 چه عددی است/؟ جذر 9 چه عددی است/؟ جذر 10 چه عددی است/؟

جذر 1 چه عددی است/؟ جذر 1 /  1چه عددی است/؟ جذر 9  /2   چه عددی است/؟

 

 

توجه كنید كه رادیكال25 =   یعنی 25 = 5 × 5پس      √25 = 5و

رادیكال36= 36√ = 6یعنی 6 × 6 = 36

مربع چندعدد را ببینید         

8

7

6

5

4

3

2

1

64

42

36

25

16

9

4

1

توجه كنید كه مربع اعداد را  وجذر آنها را تا 20 به خاطر بسپارید زیرا خیلی كاربرد دارد.

مربع بعضی اعداد بسیار راحت است مثل   3 × 3 = 9  و  4 × 4 = 16   وجذر 9 و16 هم 3و4 می شود .اما جذر بعضی اعداد آسان نیست مثال: 

 25 /  12  =5  / 3 × 5 / 3     یا   24 / 10  = 2 / 3  × 2 / 3 یا

یا      61 / 9   =1 / 3   ×   1  / 3    اگر بخواهیم جذ ر 25 /  12 و24 / 10  و61 / 9   را بگیریم مدتها طول می كشد.اگر با ماشین حساب جذر 24 / 10  را كه بین ان دودیگراست ونزدیك  آنهاست  بگیریم

عددی مثل :  ...  3.1622776601683793319988935444327   كه تقریبا جذر هرسه عددهم حساب كردیم.

   @ آسانترین راه برای جذر یك عدد استفاده از ماشین حساب است كه دكمه جذر دارد

 

@ بازی وسرگرمی: بك را ه سرگرمی  برای محاسبه جذر عددهم هست.

الف)  مثلا جذر عدد10 را بخواهیم میگویم مثلاحدس ما عدد4 جذ ر 10 هست

ب)عدد10 رابر4 (حدس شما) تقسیم می كنیم.   (  5 /2 =4 ÷  10    )

ج)پاسخ را با عدد حدس زده جمع می كنیم.(   5 / 6 = 5 / 2 + 4 )

د)عدد به دست آمده را نصف كرده(  25 / 3 = 2  ÷  5 / 6  )

كه جذر عدد10مساوی تقریبا25 / 3   شد.  اگر بخواهیم نزدیك تر شویم 

عدد25  / 3 را حدس قرار داده ودوباره 10 بر 25 / 3 تقسیم می كنیم ومراحل (ب) تا (ج) را طی میكنیم

تا یك بار دیگر  پاسخ اولی=25 / 3     بار دوم=  163 / 3    بارسوم=1623 / 3

حالا اگر پاسخ سوم را درهم ضرب كنید یعنی مربع عدد را به دست آورید به(10) نزدیك شدید.

پس مربع آن =3.1623 × 3.1623 = 10.00014

حال جذرعددها ی دیگرمثل  2 را................... حدس بزن ومراحل (ب تا د) را طی كنید.

مترجم : عفت فتحی

نکته ها

بین هر دو عدد گویای متمایز، حداقل یك عدد گویا و یك عدد گنگ وجود دارد

و بین هر دوعدد گنگ متمایز، حداقل یك عدد گویا و یك عدد گنگ وجود دارد.
مجموع دو عدد گویا، عددی گویاست.
حاصل ضرب دو عدد گویا، عددی گویاست.
مجموع یك عدد گویا و یك عدد گنگ، عددی گنگ است.
حاصل ضرب یك عدد گویای مخالف صفر در یك عدد گنگ، عددی گنگ است.
حاصل ضرب یك عدد گویا در یك عدد گنگ، وقتی گویاست كه عدد گویا برابر صفر باشد.
مجموع و حاصل ضرب دو عدد گنگ، ممكن است گویا یا گنگ باشد.

)بین دو عدد گنگ، حداقل یک عدد گویا وجود دارد.

2)بین دو عدد گویا، حداقل یک عدد گنگ وجود دارد.

3)بین دو عدد گنگ، حداقل یک عدد گنگ وجود دارد.

)بیپایان هستند.

2)تکرار ناپذیر هستند، یعنی رقمهایشان الگویی غیر تکراری را نشان میدهند.

فرض كنید a و b دو عدد گنگ باشند.

آیا ممكن است ab عددی گویا باشد؟مثال:


2√به توان   2√   گنگ است اما اگر همین عبارت را دوباره به توان رادیکال 2 برسانی انوقت گویاست.

  ( 2√ )
 
  (2√ )
        (2√)

 3√جذر  گنگ است؟ بله.

فرض میکنیم رادیکال 3 گنگ نیست و برابر با a/b باشد و b,a)=1). ابتدا دو طرف را به توان 2 میرسانیم و از این مطلب استفاده میکنیم که اگر عددی به توان 2 مضرب 3 باشد، خود آن عدد هم مضرب 3 است.
و در انتها a و b هردو مضارب 3 شدند و با فرض ما در تناقض است.

a2/b2=3       → a2=3b2 → a=3k                     (1=رادیکال 3 را = نسبتa بهb   قرار دهیدو  ان  را به توان 2 برسان

                      9k2=3b2 → b2=3k2 

b=3q                              (2)

k و t دو عدد نامعلومند و نقشی در مسئله ندارند

 

اعداد «گنگ» و رشد گیاهان

ردیابی رشد شاخك‌های میوه‌ی كاج نشان می‌دهد آن‌ها یكی‌یكی از قسمت پایینی اضافه می‌شوند. زاویه‌ی بین یك شاخك با دیگری همیشه یكسان است! این فرض معقول است كه معمولاً مؤثرترین فشردگی زمانی اتفاق بیافتد كه این زاویه تا آن‌جا كه ممكن است عددی «گنگ» باشد؛ به‌همین خاطر است كه در طبیعت، زاویه‌های «گنگ» فراوان دیده می‌شود.

شكل ساده‌ای از این حقیقت در فشردگی مثلث‌ها حول یك استوانه مشاهده می‌شود (شكل 5). در شكل 5 استوانه‌های مورد نظر، برش خورده و گسترده شده‌اند. آن‌ها به‌گونه‌ای درنظر گرفته شده‌اند كه محیط‌شان برابر عدد 1 باشد. مختصات افقی (محور ) هر مثلث جدید به‌گونه‌ای در نظر گرفته شده كه در فواصل مساوی در سمت راست دیگری قرار گرفته باشد. هم‌چنین مثلث‌های جدید به‌گونه‌ای قرار گرفته‌اند كه همیشه زوایا به‌پیمانه‌ی 1 كاهش می‌یابد.


 – چگونگی قرار گرفتن دانه‌ها در شاخك‌های میوه‌ی كاج:
الف – اندازه‌ی دانه = 75/0 و فاصله = .
ب - اندازه‌ی دانه = 75/0 و فاصله = 31/7.
ج - اندازه‌ی دانه = 75/0 و فاصله = .
د - اندازه‌ی دانه = 75/0 و فاصله = عدد طلایی .
هـ - اندازه‌ی دانه = 2/0 و فاصله = عدد طلایی .
و - اندازه‌ی دانه = 125/0 و فاصله = عدد طلایی .
ز - اندازه‌ی دانه = 075/0 و فاصله = عدد طلایی .

اجتماع اعداد گویا وگنگ، اعداد حقیقی است. مجموعه اعداد گنگ مجموعهای ناشمارا است. جورج کانتور (George Cantor) ریاضیدان آلمانی نشان داده است درحالی که بینهایت عدد گنگ و گویا وجود دارند؛ تعداد اعداد گنگ از اعداد گویا بیشتر است.





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 
سه شنبه 28 شهریور 1396 08:01 ب.ظ
ممنونم
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی :
سه شنبه 28 شهریور 1396 06:22 ب.ظ
رادیکال ۵ و رادیکال ۶ و رادیکال ۷ و رادیکال ۸ درسته دیگه؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : درسته
سه شنبه 28 شهریور 1396 06:20 ب.ظ
سلام ببخشید بین دو عدد ۲ و ۳ چه اعداد گنگی می شه نوشت؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : رادیکال ۵ و رادیکال ۶ و رادیکال ۷ و رادیکال ۸
سه شنبه 28 شهریور 1396 04:18 ب.ظ
سلام،چه طوری میتونم اثبات کنم که بین دو عدد گویا بیشمار عدد گویای متمایز وجود دارد؟!
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : روی محور بین 0و1 را یکبار 5 قسمت کن و هرقسمت چند کسر بنویس
حالا 10 قسمت کن چند کسر بنویس مثلا و 2/10و 3/10 و....و1/10
حلا 20 قسمت کن چقدر کسر؟......................
microB
دوشنبه 13 شهریور 1396 02:53 ب.ظ
لباس حامد
نمیدونم این توضیحاتم راجع به گنگ بودن ۲√ به روش برهان خلف کمکتون می‌کنه یا نه
ولی خب طبق چیزی که من به دست آوردن این میشه...
فرض می کنیم 2√ گویا باشد
یعنی بتوانیم به صورت کسر aروی ،b آن را بنویسیم.وقتی به صورت کسر نوشتیم یعنی باید نسبت به هم اول باشند.1=(aوb)
وقتی جایگزاری کنیم و راه حل را ادامه بدهیم
خیلی سخته نوشتنش توی گوشی
درآخر باید به این نتیجه برسید که aوb هردو زوج هستند
پس2=(aوb) پس در تناقض هستند لذا فرض خلف مبنی بر گویا بودن باطل است و رادیکال دو گنگ است...
فاطمه
سه شنبه 7 شهریور 1396 08:27 ب.ظ
سلام اگه بخوایم رادیکال ۵ رو به صورت جمع دو عدد اصم بنویسیم . جواب چیه
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : رادیکال5= رادیکال3+ (رادیکال3- رادیکال5 )
علی
سه شنبه 7 شهریور 1396 03:47 ب.ظ
حاصلضرب عددی گنگ در عددی گویا، حتما عددی گنگ میشه؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : ممکن استhttp://fathi5.mihanblog.com/post/1824
raana
شنبه 4 شهریور 1396 10:24 ب.ظ
مجموعه ی اعداد اصم نسبت به ضرب بسته است ایا؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : همیشه خیر زیرا رادیکال× رادیکال2= 2 ضرب
دوعدد اصم یا گمگ یا گویا می شود
فرشته
شنبه 4 شهریور 1396 06:23 ب.ظ
اعداد گنگ
بین رادیکال 5 و رادیکال 10
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : رادیکال6= ... 2.44948
این عدد را هررقم اعشاری را عوض کنی یک عدد گنگ می شود
بین 5 و10 بیشمار گنگ هست
رادیکال6 و رادیکال8
اسکات
دوشنبه 23 مرداد 1396 11:17 ب.ظ
ببخشید عدد گنگ منهای گویا؟
و گنگ تقسیم بر گویا
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : ;کامل نیست
فاطمه
جمعه 20 مرداد 1396 12:56 ق.ظ
با سلام
مجموع دو عدد گنگ بشود ۵ ؛ دو مثال
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 5= 3 √- 4 +)+( 3 √+1)
hazel
چهارشنبه 18 مرداد 1396 02:57 ب.ظ
با عرض سلام
ممنون از مطالب مفیدتون
hazel
چهارشنبه 18 مرداد 1396 02:55 ب.ظ
اگرaعددی گنگ باشد کدامیک از اعداد زیر همواره گنگ است؟
۱)a_1/a+1
۲)a به توان سه + 1
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : گزینه گزینه 1 گنگ است
گزیته 2 منظور مشخض نیست که aبه توان 3 مخرج است؟
حامد
دوشنبه 16 مرداد 1396 04:39 ق.ظ
سلام
خسته نباشید
با استفاده از روش برهان خلف برای اثبات گنگ بودن رادیکال ۲،میشه گنگ بودن ۲ رو هم اثبات کرد!
تنها به جای رادیکال ۲،عدد ۲ رو قرار دادم
(امکان نوشتن راه حل وجود نداره،چرا که متن نظر به هم ریخته و ناخوانا میشه)
لطفا راهنمایی کنید که اشتباهم کجاست
حامد
یکشنبه 15 مرداد 1396 04:57 ب.ظ
سلام و وقت بخیر
می دونیم اعدادی مثل ۱،۲،۳،... زیر رادیکال به فرجه ۲ گنگ هستن؛ایا اگه فرجه ی رادیکال ۳،۴،۵،... باشه،باز هم همینطوره؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 1 گنگ نیست بله
حامد
جمعه 13 مرداد 1396 09:00 ب.ظ
سلام و وقت بخیر
۱-رادیکال کدام اعداد صحیح،عددی گویا خواهد بود؟
۲-حاصل ضرب اعداد صحیح در رادیکال عدد صحیحی دیگر،در چه صورت عددی گویا خواهد بود؟
۳-حاصل ضرب اعداد صحیح در رادیکال عدد صحیحی دیگر،در چه صورت عددی صحیح خواهد بود؟
 بابت صرف وقت،متشکرم.
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 1-اعداد زیر رادیکال مجذور باشند یا صفر
2- عددصحیح در رایکال که اعداد مجذور زیر رادیکال باشداما میتواند قبل از رادیکال منفی هم باشد
3- همان شماره 2
deniz
پنجشنبه 12 مرداد 1396 04:25 ب.ظ
بین رادیکال 3 و 1.7 سه عدد گنگ میگید? با توضیح بگید لطفا
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بین 1.7 تا 1.7320750... بی شمار عدد گنگ هست 1.731-1.732 و ................
رادیکال3تقریبا=...1.7320750
Shirin
چهارشنبه 4 مرداد 1396 11:36 ق.ظ
بین اعداد 4و7√ سه عدد گنگ نام ببرید
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : رادیکال 7
4 =رادیکال16
عددهای گنگ بین این دو =رادیکال8 رادیال10 رادیکال11 رادیکال 12و
علی
یکشنبه 25 تیر 1396 04:31 ب.ظ
ضرب و تقسم عدد گنگ می تواند گویا باشد؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بله
علی
شنبه 24 تیر 1396 07:48 ب.ظ
گویا بودن حاصل جمع دو عدد گویا اثبات داره؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/1741
چهارشنبه 21 تیر 1396 12:42 ق.ظ
دو عدد کنم مثال بزنید که حاصل تقسیمشان گویا شود
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : رادیکال 8 تقسیم بررادیکال2=4
دوشنبه 8 خرداد 1396 01:30 ب.ظ
سلام این جمله درست یا نه ؟
بین رادیکال 2 و رادیکال 3 بی شمار عدد گویا وجود دارد.
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بله
مهسا
شنبه 6 خرداد 1396 10:30 ب.ظ
جمع دو عدد گنگ همیشه گنگ هست؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/1800
پریا
شنبه 6 خرداد 1396 02:15 ب.ظ
نکته های خوبی بودند ممنون
ولی هنوز هم در ذهنم شبهه دارم
زهرا
شنبه 6 خرداد 1396 01:43 ب.ظ
سلام
آیا تساوی زیر درست است ؟
رادیکال 1- به توان دو مساوی است با
1-
مرسی
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : اگر اگر منفی 1 داخا ( ) به توان برسد =1باشد
یه بنده خدا
شنبه 6 خرداد 1396 12:48 ب.ظ
سلام بین دوعدد گنگ متوالی که زیر رادیکال باشند می شود عدد گویا وجود داشته باشد برای مثال رادیکال ۲و۳ اگه جواب می دید کاملا توضیح بدید ممنون
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بین دوعدد روی محور هرچه باشد بیشمار گنگ وبیشمار گویا هست
Ali.M
شنبه 6 خرداد 1396 08:37 ق.ظ
روش پیدا کردن دو عدد میان دو عدد رادیکالی را تضیح دهید
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : به زودی
AMIN
جمعه 5 خرداد 1396 10:53 ب.ظ
آیا دو لوزی که یک زاویه برابر دارند متشابه اند؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 3 حالت را باید داشته باشد دراینجا بله
Omid
جمعه 5 خرداد 1396 06:03 ب.ظ
سلام ببخشید این سعوال رو چطور باید حل کرد؟ بین دو عددرادیکال ۸ورادیکال 26سه عدد صحیح و سه عدد گنگ بنویسید؟؟؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : عدد صحیح=3و4و5
گمگ= رادیکال10-رادیکال11- - رادیکال 13
جمعه 5 خرداد 1396 10:21 ق.ظ
ایا این جمله درست است"بین رادیکال دو و رادیکال سه بیشمار عدد گویا وجود دارد.
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بله
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر


نمایش نظرات 1 تا 30