آموزشی.اطلاعات مفید علمی . سوال های درسی . تدریس ریاضی

اعداد گنگ

تاریخ:دوشنبه 25 دی 1391-08:37 ب.ظ

مجموعه اعداد گنگ (اصم) :
همه ی اعداد اصم مجموعه ای را تشكیل می دهند كه به آن مجموعه اعداد گنگ می نامند و با Q c  نشان می دهند.

اعداداصم یاگنگ را نمی توان به صورت كسر نوشت.مثال:

    3/2کسری است ویک عدد گویا ست ومی توان به صورت   3 به 2نوشت.

 اما عددپی=     ؟/؟=......................3.14159    عددی گنگ یا اصم است ونمی توان نسبتی برایش نوشت.

معرفی اعداد معروف گنگ :

عدد پی یك عدد گنگ است=π = 3.1415926535897932384626433832795 عددپی...)شما نمی توانید

عدد پی را به صورت یك كسر بنویسید زیرا تابینهایت اعداد  متفاوت ادامه دارد.

كسر  بیست ودو هفتم 22/7 = 3.1428571428571...    هم یك عدد گنگ است زیرا  اعداد بعد از اعشار تا بینهایت اعداد متفاوت هستند

مثال:عدد اعشاری  نه ونیم مساوی نوزده دوم     9.5 = 19/2   یك عدد گویاست. 

عدد

به كسر

گنگ یا گویا

1.75

7/4

گویا

 .001

1/1000

گویا

2√ جذر2

؟

گنگ

 

 

 جذر ،ریشه   توان دوم:

به شكل زیر توجه كنید    مربعی داریم به ضلع یك سانتی متر است.اندازه قطر این مربع چقدر است؟


پاسخ  این است ریشه توان دوم 2= (2√)  = 1.4142135623730950...

مربعات وریشه توان دوم: یك مربع داریم به ضلع 3در3  مساحت این مربع=3 × 3 = 9

كه ما می گوییم مجذور عدد 3 یا مربع عدد3   =32 یعنی3 به توان2  

 

 

به مربع یا مجذور  12 تا 62  توجه كنید

               1  =    1 × 1  =  12   و        4  =  2 × 2  = 22   و9 =  3 × 3  =  32  و

       و   16  =  4 × 4  =  42     و      25 = 5  ×   5  =5  2 و   36= 6  ×  6  = 62   و

به جدول توجه كنید ومربع اعداد را ببینید

 5 4 3 2 1
    4 2
   9  3
  16   4
 25    5

میتوانید مربع دوعدد منفی را محاسبه كنید حاصل مثبت است. (-5) × (-5) = 25=

دقت كنید كه با تساوی     25 - -(5×5) =  فرق دارد.

ریشه توان دوم:مجذوریا مربع3=9 اما جذر9=3  نتیجه اینكه جذر 9مساوی عددی كه درخودش ضرب شده یعنی مساوی3   هست.

مجذور یا مربع   4  می شود 16    وجذر16 می شود4

مجذوریا مربع5 می شود25   وجذر25 میشود5

مجذوریا مربع6 می شود36 وجذر 36 میشود6

حالا ببینیم جذر 8 چه عددی است/؟ جذر 9 چه عددی است/؟ جذر 10 چه عددی است/؟

جذر 1 چه عددی است/؟ جذر 1 /  1چه عددی است/؟ جذر 9  /2   چه عددی است/؟

 

 

توجه كنید كه رادیكال25 =   یعنی 25 = 5 × 5پس      √25 = 5و

رادیكال36= 36√ = 6یعنی 6 × 6 = 36

مربع چندعدد را ببینید         

8

7

6

5

4

3

2

1

64

42

36

25

16

9

4

1

توجه كنید كه مربع اعداد را  وجذر آنها را تا 20 به خاطر بسپارید زیرا خیلی كاربرد دارد.

مربع بعضی اعداد بسیار راحت است مثل   3 × 3 = 9  و  4 × 4 = 16   وجذر 9 و16 هم 3و4 می شود .اما جذر بعضی اعداد آسان نیست مثال: 

 25 /  12  =5  / 3 × 5 / 3     یا   24 / 10  = 2 / 3  × 2 / 3 یا

یا      61 / 9   =1 / 3   ×   1  / 3    اگر بخواهیم جذ ر 25 /  12 و24 / 10  و61 / 9   را بگیریم مدتها طول می كشد.اگر با ماشین حساب جذر 24 / 10  را كه بین ان دودیگراست ونزدیك  آنهاست  بگیریم

عددی مثل :  ...  3.1622776601683793319988935444327   كه تقریبا جذر هرسه عددهم حساب كردیم.

   @ آسانترین راه برای جذر یك عدد استفاده از ماشین حساب است كه دكمه جذر دارد

 

@ بازی وسرگرمی: بك را ه سرگرمی  برای محاسبه جذر عددهم هست.

الف)  مثلا جذر عدد10 را بخواهیم میگویم مثلاحدس ما عدد4 جذ ر 10 هست

ب)عدد10 رابر4 (حدس شما) تقسیم می كنیم.   (  5 /2 =4 ÷  10    )

ج)پاسخ را با عدد حدس زده جمع می كنیم.(   5 / 6 = 5 / 2 + 4 )

د)عدد به دست آمده را نصف كرده(  25 / 3 = 2  ÷  5 / 6  )

كه جذر عدد10مساوی تقریبا25 / 3   شد.  اگر بخواهیم نزدیك تر شویم 

عدد25  / 3 را حدس قرار داده ودوباره 10 بر 25 / 3 تقسیم می كنیم ومراحل (ب) تا (ج) را طی میكنیم

تا یك بار دیگر  پاسخ اولی=25 / 3     بار دوم=  163 / 3    بارسوم=1623 / 3

حالا اگر پاسخ سوم را درهم ضرب كنید یعنی مربع عدد را به دست آورید به(10) نزدیك شدید.

پس مربع آن =3.1623 × 3.1623 = 10.00014

حال جذرعددها ی دیگرمثل  2 را................... حدس بزن ومراحل (ب تا د) را طی كنید.

مترجم : عفت فتحی

نکته ها

بین هر دو عدد گویای متمایز، حداقل یك عدد گویا و یك عدد گنگ وجود دارد

و بین هر دوعدد گنگ متمایز، حداقل یك عدد گویا و یك عدد گنگ وجود دارد.
مجموع دو عدد گویا، عددی گویاست.
حاصل ضرب دو عدد گویا، عددی گویاست.
مجموع یك عدد گویا و یك عدد گنگ، عددی گنگ است.
حاصل ضرب یك عدد گویای مخالف صفر در یك عدد گنگ، عددی گنگ است.
حاصل ضرب یك عدد گویا در یك عدد گنگ، وقتی گویاست كه عدد گویا برابر صفر باشد.
مجموع و حاصل ضرب دو عدد گنگ، ممكن است گویا یا گنگ باشد.

)بین دو عدد گنگ، حداقل یک عدد گویا وجود دارد.

2)بین دو عدد گویا، حداقل یک عدد گنگ وجود دارد.

3)بین دو عدد گنگ، حداقل یک عدد گنگ وجود دارد.

)بیپایان هستند.

2)تکرار ناپذیر هستند، یعنی رقمهایشان الگویی غیر تکراری را نشان میدهند.

فرض كنید a و b دو عدد گنگ باشند.

آیا ممكن است ab عددی گویا باشد؟مثال:


2√به توان   2√   گنگ است اما اگر همین عبارت را دوباره به توان رادیکال 2 برسانی انوقت گویاست.

  ( 2√ )
 
  (2√ )
        (2√)

 3√جذر  گنگ است؟ بله.

فرض میکنیم رادیکال 3 گنگ نیست و برابر با a/b باشد و b,a)=1). ابتدا دو طرف را به توان 2 میرسانیم و از این مطلب استفاده میکنیم که اگر عددی به توان 2 مضرب 3 باشد، خود آن عدد هم مضرب 3 است.
و در انتها a و b هردو مضارب 3 شدند و با فرض ما در تناقض است.

a2/b2=3       → a2=3b2 → a=3k                     (1=رادیکال 3 را = نسبتa بهb   قرار دهیدو  ان  را به توان 2 برسان

                      9k2=3b2 → b2=3k2 

b=3q                              (2)

k و t دو عدد نامعلومند و نقشی در مسئله ندارند

 

اعداد «گنگ» و رشد گیاهان

ردیابی رشد شاخك‌های میوه‌ی كاج نشان می‌دهد آن‌ها یكی‌یكی از قسمت پایینی اضافه می‌شوند. زاویه‌ی بین یك شاخك با دیگری همیشه یكسان است! این فرض معقول است كه معمولاً مؤثرترین فشردگی زمانی اتفاق بیافتد كه این زاویه تا آن‌جا كه ممكن است عددی «گنگ» باشد؛ به‌همین خاطر است كه در طبیعت، زاویه‌های «گنگ» فراوان دیده می‌شود.

شكل ساده‌ای از این حقیقت در فشردگی مثلث‌ها حول یك استوانه مشاهده می‌شود (شكل 5). در شكل 5 استوانه‌های مورد نظر، برش خورده و گسترده شده‌اند. آن‌ها به‌گونه‌ای درنظر گرفته شده‌اند كه محیط‌شان برابر عدد 1 باشد. مختصات افقی (محور ) هر مثلث جدید به‌گونه‌ای در نظر گرفته شده كه در فواصل مساوی در سمت راست دیگری قرار گرفته باشد. هم‌چنین مثلث‌های جدید به‌گونه‌ای قرار گرفته‌اند كه همیشه زوایا به‌پیمانه‌ی 1 كاهش می‌یابد.


 – چگونگی قرار گرفتن دانه‌ها در شاخك‌های میوه‌ی كاج:
الف – اندازه‌ی دانه = 75/0 و فاصله = .
ب - اندازه‌ی دانه = 75/0 و فاصله = 31/7.
ج - اندازه‌ی دانه = 75/0 و فاصله = .
د - اندازه‌ی دانه = 75/0 و فاصله = عدد طلایی .
هـ - اندازه‌ی دانه = 2/0 و فاصله = عدد طلایی .
و - اندازه‌ی دانه = 125/0 و فاصله = عدد طلایی .
ز - اندازه‌ی دانه = 075/0 و فاصله = عدد طلایی .

اجتماع اعداد گویا وگنگ، اعداد حقیقی است. مجموعه اعداد گنگ مجموعهای ناشمارا است. جورج کانتور (George Cantor) ریاضیدان آلمانی نشان داده است درحالی که بینهایت عدد گنگ و گویا وجود دارند؛ تعداد اعداد گنگ از اعداد گویا بیشتر است.





علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 
جمعه 29 دی 1396 01:02 ق.ظ
بین رادیکال ۳ و عدد ۳ چند عدد گنگ وجود دارد؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بی شمار
شمیم
جمعه 22 دی 1396 01:09 ب.ظ
چگونه باید بین دو کسر یک عدد گنگ بنویسیم؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : کسر بین اگر صورت بر مخرج تقسیم شد وتا بی نهاین بدون نظوم ادامه دارد گنگ است
اعداد گنگ را وقتی به صورت اعشاری بنویسیم، هیچ گاه خاتمه نمی‌یابند. یعنی بخش اعشاری آنها تا بینهایت تکرار می‌شود و برخلاف اعداد اعشاری متناوب، هیچ الگوی مشخصی هم ندارند.
Amir
شنبه 16 دی 1396 08:01 ب.ظ
ببخشید عدد پی بین کدام اداد قرار دارد
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 3و4
مبین
شنبه 16 دی 1396 05:38 ب.ظ
سلام ببخشید خانم فتحی رادیکال 3به توان دو دوباره زیر رادیکال عددی گنگ است گویا؟!
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : گنگ
علی
دوشنبه 11 دی 1396 01:16 ب.ظ
چگونه بین دو عدد گنگ یک عدد گویا پیدا کنیم؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : اعداداعشاری بین این دوعدد یک راه است
خان ریاضی
یکشنبه 10 دی 1396 08:31 ب.ظ
چگونه یک منهای رادیکال 10راروی محور نشان بدهیم؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 3.16-
behzadahmadi901@gm
شنبه 9 دی 1396 09:30 ب.ظ
آیا عددی گویا و گنگ هست
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : خیر
شنبه 9 دی 1396 04:34 ب.ظ
آیا 7 عددی گویاست؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بله
مریم
جمعه 8 دی 1396 10:58 ب.ظ
و شما فاطمه رادیکال دو ضربدر رادیکال دو میشه رادیکال چهار ک خب گنگ نیست و جذر کامل داره..و باز مثلا رادیکال سه در رادیکال یک میشه رادیکال سه ک گنگه
مریم
جمعه 8 دی 1396 10:56 ب.ظ
در جوابه شما سارا باید بگم کاری ک باید بکنی اینه.. اگ بین مثلا سه و دو عدد گنگ ازمون خواستن میگیم سه ک میشه رادیکال نه دو هم رادیکال چهار بعد واسه اعداد گنگش مینویسیم رادیکال چهارویک دهم-رادیکال چهارو دودهم و...
سارا
جمعه 8 دی 1396 07:33 ب.ظ
بین دو عدد طبیعی عدد گنگ بذاریم اعداد اعشتر میذاریم یا رادیکال لطفا بگین فردا امتحان دارم
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : هرسه را می توان
فاطمه
جمعه 8 دی 1396 03:16 ب.ظ
چرا رادیکال 10گویا نیست
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : در جذر10 تا بیشمار ادامه دارد
ayda
جمعه 8 دی 1396 02:59 ب.ظ
خیلی خوب بود
saghar
جمعه 1 دی 1396 06:49 ب.ظ
سلام.عددی وجود دارد که گویا وگنگ باشد؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : خیر
سعید
یکشنبه 26 آذر 1396 07:47 ب.ظ
چگونه بفهمیم بین دوکسر گویا چند اعد گنگ وجود دارد
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : مثلا عدد پی بین 3و4
بین 2و3 بیشمار کسر هست که رادیکال انها بیشمار اعشار دارد
جمعه 24 آذر 1396 06:14 ب.ظ

حاصل جمع عدد گویا با عدد گنگ چه میشود
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/1800
جمعه 24 آذر 1396 12:00 ب.ظ
سلام لطفا بگید چطور میشه بین رادیکال3و عددصحیح 6 چهار عدد گنگ نوشت
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : رادیکال5 و رادیکال 3.7ورادیکال 3.8 و اعداد اعشاری یک رقمی
پنجشنبه 23 آذر 1396 11:01 ق.ظ
تنها عددی که حاصل ضرب آن با هر عدد گنگ عددی گوا است برابر است با.......
پنجشنبه 23 آذر 1396 10:58 ق.ظ
مجموع وتفاضل دو عدد گویا همواره عددی ......است
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : عزیزم پیام قبلی اشتباه کردم
همواره گویا
پنجشنبه 23 آذر 1396 10:56 ق.ظ
تفاضل یک عدد گنگ ویک عدد گویا عددی.....است
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : همواره گنگ
Sana
یکشنبه 12 آذر 1396 08:00 ب.ظ
مجموع جمع دو عدد گنگ که گویا باشد
میشه یک مثال بزنید
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/1824
شنبه 11 آذر 1396 10:54 ب.ظ
حاصل تفریق دو عدد گنگ عددی گنگ است؟؟؟؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : نه همواره
Mamad.vk
دوشنبه 6 آذر 1396 11:21 ب.ظ
سلام من دانش آموز مدرسه نمونه دولتی گلستان باغبادران هستم . مرسی از سایت خوب و مفیدتون
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : ممنون همشهری
دوشنبه 6 آذر 1396 07:24 ب.ظ
بین -2و-3چند عدد گنگ وجود دارد
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : منفی1.5 منفی1.6و...
دوشنبه 6 آذر 1396 11:40 ق.ظ
باسلام
اعداد گنگ جری و متعالی رو توضیح میدین
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : عددی که جبری نباشدمثل اعداد مختلط وحقیقی
نپر به توان عدد پی
مریم
دوشنبه 6 آذر 1396 11:25 ق.ظ
سلام بین رادیکال 2 و رادیکال 3 چند عدد گویا وجود داره لطفا با دلیل بگید
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بی شمارروی محور بین1.4و1و7 را میتوان چندین قسمت کنید وهرنقطه یک کسر
جمعه 3 آذر 1396 03:15 ب.ظ
میشه بگین چطور میشه اعداد گنگ رو به دو زیر مجموعه افراز کرد؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : متعالی(Transcendental number) و اعداد گنگ جبری( Algebraic number)
منبع سایت رشد
متعالی بودن و یک توهم ریاضی
در گذشته فهم واقعی یا اثبات متعالی‌بودن یک عدد کار بسیار مشکلی بود. وقتی اثبات گنگ‌بودن یک عدد هم دشوار بود. یکی از سه مساله معروف روزگار باستان ، یعنی مساله "تربیع دایره تنها با ستاره و پرگار" بنظر می‌رسید که با مسأله گنگ‌بودن مربوط باشد. (دو مساله معروف دیگر ، تضعیف مکعب و تثلیث زاویه‌اند) گنگ بودن و e را لامبرت (1728-1777) در اواسط قرن هجدهم اثبات کرد. هر چند اثبات گنگ ‌بودن مسأله تربیع دایره را حل نمی‌کند. اما با اثبات متعالی بودن مساله حل می‌شود.

هرمیت ریاضی‌دان در 1873 ثابت کرد که e متعالی است. در 1882 لیندمان با استفاده از روش هرمیت ثابت کرد که هم متعالی است. و بنابراین تکلیف آخرین نکته این مساله معروف ترسیم هندسی را معین کرد. امروزه هنوز هم عده‌ای مدعی و دچار این توهم‌اند که مساله تربیع دایره را حل کرده‌اند و راه‌حل‌های غلط خود را به بخش دانشگاه‌های سراسر دنیا می‌فرستند.
جمعه 3 آذر 1396 01:15 ب.ظ
سلام
میشه این سوال برام توضیح بدین فردا امتحان دارم.
اعاد گنگ بین ۲ و۳ را چطوری پیدا کنم؟
ممنون.
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بیشمار 1.5-1.52-1.525
مهدیه
پنجشنبه 2 آذر 1396 11:06 ب.ظ
خوب بود.
زهرا
پنجشنبه 2 آذر 1396 01:28 ب.ظ
حاصل ضرب دو عدد گنگ همواره عددی گنگ است مثال نقض بیاورید ؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/1824
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر


نمایش نظرات 1 تا 30