آموزشی.اطلاعات مفید علمی . سوال های درسی . تدریس ریاضی

قانونها ی توان در ریاضی - توان چیست؟

تاریخ:جمعه 31 خرداد 1392-07:42 ق.ظ

توان  

هرگاه عددی را چند بار در خودش ضرب کنیم، می گوییم آن عدد را به توان رسانده ایم. که عددر را پایه و تعداد عدد ها را n  که توان می نامیم. نام دیگر توان، نما می باشد.   3 5 =5  ×5×5 در اینجا عدد 5 پایه وعدد3 توان  یا نما نام دارد. تعریف: به عددهایی مانند ab یك عدد تواندار می گوییم. a  را پایه عدد و b را توان یا نمای آن نامیده و می خوانیم «a  به توان b»         82 = 8 × 8 = 64   به مثالها توجه کنید:
     53 = 5 × 5 × 5 = 125
24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16             9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9=96

exponent definitiona7 = a × a × a × a × a × a × a = aaaaaaa 
 x6 = xxxxxx
به مثال توجه کن      8    =3 2=2×2×2   عدد2     چند بار درخودش ضرب شده؟3بار 
         54  ببینیم  عدد5 چند بار درخودش ضرب می شود؟4بار     54   = 5×5×5×5
x2x3 = (xx)(xxx) = xxxxx = x5           = x2   ×   x3 =  x(2+3)=    x5
هرگاه عددی را چند بار در خودش ضرب کنیم  برای آسان شدن تعداد هرچند بار دربالای عدد تعداد آن را می نویسیم .پس ما تعداد چند بار را جمع می کنیم  مثلا دراینجا عدد6  چندبار ضرب شده 
6×6×6×6×6×6 ×6  دراین صورت  7بارضرب شده  7  6
مثال2 :        5 6   =  2  +  3  6  =   2 6 ×   3 6    =6×6× 3 6   دراین جا عدد6 را ببین 5بار ضرب شده دوبار  جدا و(3 6 =6×6×6)  درتمرین بالا اگر در مورد 2 6 ×   3 6     اگر توان ها را ضرب کنید با تعداد ضرب جور در نمی آیدومی شود 6 6   که غلط است  باید 5بار شود 

جمع و تفریق توان ها: در جمع و تفریق دو یا چند عدد توان دار، ابتدا هر کدام از اعداد را جداگانه به توان می رسانیم. سپس با هم جمع یا تفریق می کنیم.   
   20=32-27+25=25-33 + 52
نكته: اگر عددی توان نداشته باشد توان آن را عدد 1 در نظر می گیریم. 1 3=3
نكته:  هر عدد به توان 1 برابر است با همان عدد
نكته: عدد 1 به هر توانی برسد حاصل 1 می شود. 1   =  15  1        و    91 = 9
نكته: توان دوم هر عدد را مجذور (مربع)آن عدد می گویند (در واقع مساحت مربعی را حساب می كنیم كه طول ضلع آن را دارد.  مجذور4= 2 4     
نكته:  توان سوم هر عدد را مكعب آن عدد می گویند (می توان گفت: مكعب یك عدد، حجم مكعب مربعی است  كه این عدد اندازه ی هر ضلع آن مكعب است)     مکعب 5= 3 5
نكته: اگر پایه ی یك عدد توان دار ، عددی منفی، كسری یا اعشاری باشد پایه ی آن عدد را در داخل پرانتز می نویسیم
مانند: 3(2-) یا 4(    1)یک دوم به نوان4
                         2
نكته: هر عدد غیر صفر به توان  0 برسد حاصل 1 می شود .      0≠ a0 =1             a
 اما 00     را می گویند (نا معین) زیرا هم یک می توان گفت وهم صفر
۱)در ضرب اعداد توان دار :
الف)اگر پایه ها مساوی باشند یکی از پایه ها را نوشته و توان ها را جمع می کنیم  b a  ×  ac=  (b+c)  a
۲۱۲  =  ۲۵ × ۲۷ 
 ( y5 =  y2 y3 = yyyyy  =(y2)(y3   یا     : y2 y3 = y2+3 = y5

x2x3 = (xx)(xxx) = xxxxx = x5           = x2   ×   x3 =  x(2+3)=    x5

xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3)
ب)اگر توان ها مساوی باشند پایه ها را ضرب می کنیم و یکی از توان ها را می نویسیم. در ضرب اعداد توان دار با توان مشابه توانها را می نویسیم و پایه ها را ضرب می کنیم
۲۶ × ۵۶ = ۱۰۶
ج) اگر پایه ها نامساوی و نماها نیز نا مساوی باشند ابتدا هر یک از آن ها را به توان می رسانیم سپس در هم ضرب می کنیم.
27×25=۲3 × ۵2
مثال: حاصل ضرب مقابل را به صورت توان دار بنویسید.         = 53 × 53
253= 3 (5 × 5 ) = 53 × 53
توجه: هر یك از دو راه را كه انتخاب كنیم درست است     = 53 × 53
اف)     5×5×5×5×5×5= 56
ب)     25×25×25= 253                         253=56
توجه: در بعضی موارد كه پایه ها و توان ها هیچ كدام مساوی نیستند می توانیم با یك تغییراتی در اعداد ، پایه ها و یا توان های آنها را برابر كنیم.
 (الف)   96= 2 9 ×94=81× 94
 (ج) 95= 93×92= 93× 34   
۲)در تقسیم اعداد توان دار :
الف)اگر پایه ها مساوی باشند یکی از پایه ها را نوشته و توان ها را از هم کم می کنیم.
۲۳۶    ÷  ۲۹ 
  x4/x2 = (xxxx) ÷ (xx) = xx = x2    = x4÷x2 = x(4-2) = x2    (علامت /  خط کسری است)
     x2÷x2 = x2-2 = x0 =1
اگر توجه کنیدx0=1
ب)اگر توان ها مساوی باشند پایه ها را بر هم تقسیم می کنیم و یکی از توان ها را می نویسیم.
۳۷     =   ۲۷  ÷  ۶۷
اگر در تقسیم دوعدد ، توا ن پشت ( ) باشد ،توان برای هر دو حساب می شود. علامت / خط کسری است. y/y = 1
به انواع مثالها توجه کنید:
x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3)
(x/y)n = xn/yn )                   
 
 
    
     3  )توان در توان :
اگر عددی توان دار را مجددا به توان برسانیم توان ها را در هم ضرب می کنیم.
                         5  (   ۲۳     )  =۲۱۵
x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12`)     
(x3)4 = x3×4 = x12 )            

۴)توان- توان :
درعبارت هایی که به شکل a (m)
n هستند ابتدا باید m را به توان n برسانیم و پاسخ را توان a در نطر بگیریم.
                                        3
ابتداتوان را به توان برسانید.      5 2=۲۱۲۵           

 
5- قانون توان صفر:
هر عدد (به جز صفر) به توان صفر برابر است با یک.   0  ۳=    ۱       و   1=0  5
      90 = 1 به مثال زیر توجه کنید:
x2÷x2 = x2-2 = x0 =1
به مثالها توجه کنید وآنها را بررسی کنید.تا.....

35 = 3 ÷6 3 = 31 ÷ 36 =1- 6 3 = 35= 243
34 = 3 ÷5 3 = 31 ÷ 35 =1- 35 = 34= 81
33 = 31 ÷4 3 = 31 ÷ 34 =   1 - 4 3  = 33= 27
32 = 3 ÷3 3 = 31 ÷ 33 =1-- 3 3  = 32= 9
31 = 3 ÷2 3 = 31 ÷ 32 =1-  2 3    = 31= 3

 به طور منطقی اثبات می کنیم.  1=30 =    1-1 3 = 31 ÷ 31  = 30 .
اگر دوعدد مساوی با توان مساوی برهم تقسیم شوند را  داشته باشیم باز مساوی یک می شود:
m0 = m(n – n) = mn × m–n = mn ÷ mn = 1
نتیجه   :1-هرعدد به توان صفر=1    پس: 00 = 1
  2-صفر به توان صفر =صفر پس 00 = 0 البته ریاضی دانان می گویند "00" نامعین وتعریف نشده است.       
 

x0 = 1, پش ... 00 = 1
0n = 0, پس ... 00 = 0
       
تمام اعداد منفی وقتی به توان فرد می رسند، همان منفی باقی می مانند.      
مثال :     64- =   (4-)  یا        8 - = 3  (2 - )

توجه توجه:عدد به توان منفی  به مخرج کسر میرود .اگر صفر را به توان عددی منفی برسانیم،  چون حاصل در مخرج صفر دارد و تعریف نشده‌است.
تمام اعداد منفی وقتی به توان زوج می رسند مثبت می شوند :    9 = 2 (3-)
2(-2) = (2-) × (2-) = 4
     25 +  =(5-) × (-5)  =2( 5-)      
      
تمام اعداد مثبت وقتی به توان فرد یا زوج می رسند، مثبت باقی می مانند.
      
+25 =  ( 5 +) × (5+) =  2( 5+)         و125 += (5+  ) ×(+5)  ×   (+5) =  3( 5+)

1(-1)1 = 1  -      عدد منفی توان فرد
2(-1) = (    1-) × (1- ) +1     عدد منفی توان زوج
3(-1) = (1-) × (1-) × (1-) =1-  عدد منفی توان فرد
4(-1) = (1-) × (1-) × (1-) × (1-) = 1 +  عدد منفی توان زوج
مثال:   97 (-1)  =    1-

 6(-2)= 64 + عدد منفی به توان زوج برسد پاسخ مثبت می شود                   
قرینه ی عدد a یعنی a -. برای به دست آوردن قرینه ی هر عدد، آن عدد را در (1-) ضرب می کنیم.
 


 موارد توان را با   (  )  بررسی می کنیم:
2(2 -) = (2-) × (2-) = 4
22 -= (22)- =  (2 × 2) -= -4
ab)2 = ab × ab)
 ab2 = a × (b)2 = a × b × b     به چه نتیجه ای رسیدید؟
 

fractional exponents
43/2  یعنی 4به توان سه چهارم
m/n = m × (1/n)    (  /    یعنی خط کسری)


fractional exponents

m/n = (1/n) × m:

fractional exponents

برای اطلاعات بیشترتان بر روی هر کدام از عناوین زیرین که می خواهید کلیک کنید تا باز شود

قانونها ی توان در ریاضی - توان چیست؟


  اعداد1تا12 به توان               کسرهاوتبدیل به اعشارودرصد               فاکتوریل           مجذور وجذر 1تا100         

        جمع وتفریق عددهای توان دار                          توان اعدادبایکان1         توان اعشاری 10
عدد با توان منفی          رادیکال وتوان           رادیکال وتوان2          عددوتوان کسری         توان کسری  توان کسری-منفی
رادیکال-فرجه-توان کسری-منفی
گویا کردن -رادیکال ها 2
گویا کردن -رادیکال ها
توان علمی پاسخ به سوال
رادیکال-ضرب کردن رادیکال -تقسیم کردن رادیکال -گویا کردن رادیکال
جذر - ساده کردن رادیکال -جمع وتفریق رادیکال
تجزیه عدد
جذر-مجذور-ریشه عدد-رادیکال -کلاس هفتم
        عدد به توان منفی         توان کسری  

نماد علمی . توان علمی عدد

توان علمی پاسخ به سوال
888    روی علامت فلش کلیک کنید وتوان را ببینید روی دکمه سمت راست پاک کن است                                             


علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 
Sana
سه شنبه 28 شهریور 1396 07:59 ب.ظ
سلام خسته نباشید ببخشید من چند تا سوال داشتم یکیش اینه ک چرا یک دوم به توان بی نهایت میشود صفر و اینکه چرا log0میشود منفی بینهایت
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : زیرا هرعدد کوچکترازواحد به توان برسد کوچکتر می شود هرچه توان بیشتر باشد به صفر نزدیک تر می شود.
دوشنبه 27 شهریور 1396 02:19 ب.ظ
سلام.ممنون از اینكه جواب منو دادین.در جواب پنجمین نظر كه نظر من بوده علامتی شبیه پرانتز كه سمت راست عدد 99 است دیده می شود.لطفا توضیح دهید كه آن چیست؟چون من كلاس نهم هستم و آن علامت را در كتاب ریاضی نهممان نخوانده ایم.
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : علامت به توان
چهارشنبه 22 شهریور 1396 02:26 ب.ظ
حل این عدد توان دار چگونه است عدد 16 پایه است. 56
20
10
10
16





پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : کامل نیست
چهارشنبه 22 شهریور 1396 02:20 ب.ظ
اگر در قانون توان توان چند توان(بیش از دو توان) داده باشند ایا باید عمل به توان رساندن را از عدد توان بالا شروع کنیم یا از عدد توان پایین.
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : از بالاترین
atefeh
سه شنبه 21 شهریور 1396 11:48 ب.ظ
سلام و عرض ادب پسر من در المان مدرسه میره و الان مشکل حل رادیکال داره و من نمیتونم کمکش کنم لطفا راهنمایی کنید .با تشکر
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/1215
http://fathi5.mihanblog.com/post/1211
http://fathi5.mihanblog.com/post/1210
http://fathi5.mihanblog.com/post/1207
سه شنبه 14 شهریور 1396 07:26 ب.ظ
درستی یا نادرستی عبارت زیر را مشخص كنید.
عدد 5/19253417 عددی گنگ است.
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : اگر 3 نقطه دارد بله وگرنه خیر
سه شنبه 14 شهریور 1396 07:23 ب.ظ
حاصل (x+y)به توان 100 دارای چند جمله است؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 99^(x+y)100
مریم
سه شنبه 14 شهریور 1396 12:49 ب.ظ
سلام Ln1/25 بدون ماشین حساب چگونه محاسبه میشود؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : log
محمد
دوشنبه 6 شهریور 1396 10:50 ب.ظ
125برابرعدد625را بصورت عمده تواندار بنویسید
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 5 به توان7
نسیم
دوشنبه 6 شهریور 1396 09:36 ق.ظ
سلام در تقسیم عبارت (6x+1)ضرب در xبه توان دو منهای دو تقسیم بر دو جمله ای 3x+2خارج قسمت به صورت توان های نزولی نوشته شده است ضریب جمله درجه 1 کدام است؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : اگر کل جمله =صفر باشد
2 - x به توان2 + 6x به توان3 + پس جمل درجه یک نداریم البته من درست نتوانستم تمرین را بخوانم
حسین
یکشنبه 5 شهریور 1396 10:40 ب.ظ
نصف ثلث خمس عدد 30به توان 1000چند است ان را بصورت توان دار بنویسید .
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی :
1/30 = 1/5 *1/2*1/3
999^0 3 = 1000^0 3 * 1/30
3
شنبه 4 شهریور 1396 03:10 ب.ظ
اعداد کسرسی و اعشاری به توان صفر چی میشه؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : =1
نسیم
شنبه 4 شهریور 1396 10:05 ق.ظ
ببخشید توان های نزولی چی هستن
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : مرتب کردن چندجمله ای ها به ترتیب توان از بزرگ به کوچک
مریم
جمعه 3 شهریور 1396 01:39 ب.ظ
باسلام،در مورد سوالی که پرسیدم۱۰۰۰=n-1۰/۱گفتید پایه ها و توان رو یکسان کنم،میشه توضیح بدید چطوری؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : تمرین نوشته شده اشکال دارد
ایمان
یکشنبه 29 مرداد 1396 06:43 ب.ظ
X به توان ۳ میشود ۸ .x را از چه فرمولی باید بدست اورد.
با تشکر
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 8= 2 به توان3
مساوی هم قرار دهید
X=2
مریم
پنجشنبه 26 مرداد 1396 05:36 ب.ظ
سلام،1000=0.1 به توان 1-n مقدار n چطور محاسبه شود؟ با تشکر
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : n=-2
پایه ها را یکسان کن و توانها را مساوی هم ازراه معادله حل کن
چهارشنبه 25 مرداد 1396 04:49 ب.ظ
سلام.....چرا جمع یک عدد حقیقی با معکوسش بزرگتر یا برابر ۲ میشه؟!
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : انواع کسرها را امتحان کنید
Zeynab
یکشنبه 22 مرداد 1396 03:34 ب.ظ
سلااااااااام
منفی دو به توان شش توی پرانتز با منفی دو به توان شش فرقی میکنه البته بدون پرانتز
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : عدد داخل پرانتز مثبت می شود
Zeynab
جمعه 20 مرداد 1396 10:50 ب.ظ
ایا منفی دو توی پرانتز به توان شش با منفی دو به توان شش بدون پرانتز فرقی میکنه جوابش چی میشه؟؟؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : داخل پرانتز علامت مثبت می شود ولی بدون پرانتز منفی می ماند
هانیه
سه شنبه 17 مرداد 1396 10:11 ب.ظ
سلام مبشه جواب این عبارت و بهم بگین با توضیح اش

6/2(1+2)=?
عدد شیش تقسیم بر دو و بین این اعداد هیچ علامتی نیست با پرانتز
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : اول داخل پرانتز=3
6/2=3
3 ×3=9
گیتی
دوشنبه 2 مرداد 1396 11:25 ب.ظ
یک عدد به توان رادیکال 2 یا هر عدد رادیکالی چجوری بدسی میاد؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : راذیکال را بردارید و خط کسری بنویس و صورت کسر را عدد زیر رادیکال ومخرج کسر عدد داخل فرجه
دانیال
یکشنبه 1 مرداد 1396 10:34 ب.ظ
سلام من کلا چیزی از توان بلد نیستم و نمیفهمم تورو خــــــــــــــدا کمک کنید سرکار خانم فتحی
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : همین صفحه را با دقت مرحله به مرحله بخوان http://fathi5.mihanblog.com/post/620
مجید
سه شنبه 16 خرداد 1396 05:24 ق.ظ
سلام.
چطور cmبه توان ۴ رابه متر به توان ۴تبدی کنیم؟
تشکر
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بر100 تقسیم
لیلا
جمعه 12 خرداد 1396 01:19 ب.ظ
سلام
لطفا میشه بگین
ثلث عدد 27 به توان 4n-2 برابر است با؟؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 27=3 به توان3
توان4n-2 هم یعنی تفسین عددتواندار باپایه مساوی
در اخر جواب=3 به توان7
شنبه 6 خرداد 1396 09:11 ق.ظ
32 به توان هفت تقسیم بر 2 به توان 9
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 32 به توان هفت= 2 به توان35 تقسیم بر 2 به توان9=2 به توان26
حنانه
جمعه 5 خرداد 1396 04:13 ب.ظ
زمانی که هم توان برابر هست هم پایه در ضرب باید چیکار کرد??
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : به تمرین بستگی دارد که کدام برای ساده کردن مفید است

اما یا انتخاب یک پایه و مجموع توانها
یا ضرب پایه ها وانتخاب یک توان
kiana
جمعه 5 خرداد 1396 01:44 ب.ظ
نصف عدد 4 به توان 15......است
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : نصف= دو به توان منفی 1
4 به توان15= 2 به توان30
= 2 به توان 29
جمعه 5 خرداد 1396 12:14 ب.ظ
اگر توان ها باهم مساوی باشند پایه هارو باهم جمع میکنیم!
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : در ضرب
kiana
چهارشنبه 3 خرداد 1396 10:19 ب.ظ
2 ب توان ایکس میشود 10 حالا 2 ب توان ایکس ی علاوه 1 میشه چند محاسبه کنید؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 11
امیر حسین
چهارشنبه 3 خرداد 1396 09:07 ق.ظ
سلام استاد یه سوال فرجه هفت رادیکال 0.7 بیشتره یا فرجه 3 رادیکال 9- لطفا پاسخ دهید.
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : پاسخ دادم
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر


نمایش نظرات 1 تا 30