آموزشی.اطلاعات مفید علمی . سوال های درسی . تدریس ریاضی

قانونها ی توان در ریاضی - توان چیست؟

تاریخ:جمعه 31 خرداد 1392-06:42 ق.ظ

توان  

هرگاه عددی را چند بار در خودش ضرب کنیم، می گوییم آن عدد را به توان رسانده ایم. که عددر را پایه و تعداد عدد ها را n  که توان می نامیم. نام دیگر توان، نما می باشد.   3 5 =5  ×5×5 در اینجا عدد 5 پایه وعدد3 توان  یا نما نام دارد. تعریف: به عددهایی مانند ab یك عدد تواندار می گوییم. a  را پایه عدد و b را توان یا نمای آن نامیده و می خوانیم «a  به توان b»         82 = 8 × 8 = 64   به مثالها توجه کنید:
     53 = 5 × 5 × 5 = 125
24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16             9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9=96

exponent definitiona7 = a × a × a × a × a × a × a = aaaaaaa 
 x6 = xxxxxx
به مثال توجه کن      8    =3 2=2×2×2   عدد2     چند بار درخودش ضرب شده؟3بار 
         54  ببینیم  عدد5 چند بار درخودش ضرب می شود؟4بار     54   = 5×5×5×5
x2x3 = (xx)(xxx) = xxxxx = x5           = x2   ×   x3 =  x(2+3)=    x5
هرگاه عددی را چند بار در خودش ضرب کنیم  برای آسان شدن تعداد هرچند بار دربالای عدد تعداد آن را می نویسیم .پس ما تعداد چند بار را جمع می کنیم  مثلا دراینجا عدد6  چندبار ضرب شده 
6×6×6×6×6×6 ×6  دراین صورت  7بارضرب شده  7  6
مثال2 :        5 6   =  2  +  3  6  =   2 6 ×   3 6    =6×6× 3 6   دراین جا عدد6 را ببین 5بار ضرب شده دوبار  جدا و(3 6 =6×6×6)  درتمرین بالا اگر در مورد 2 6 ×   3 6     اگر توان ها را ضرب کنید با تعداد ضرب جور در نمی آیدومی شود 6 6   که غلط است  باید 5بار شود 

جمع و تفریق توان ها: در جمع و تفریق دو یا چند عدد توان دار، ابتدا هر کدام از اعداد را جداگانه به توان می رسانیم. سپس با هم جمع یا تفریق می کنیم.   
   20=32-27+25=25-33 + 52
نكته: اگر عددی توان نداشته باشد توان آن را عدد 1 در نظر می گیریم. 1 3=3
نكته:  هر عدد به توان 1 برابر است با همان عدد
نكته: عدد 1 به هر توانی برسد حاصل 1 می شود. 1   =  15  1        و    91 = 9
نكته: توان دوم هر عدد را مجذور (مربع)آن عدد می گویند (در واقع مساحت مربعی را حساب می كنیم كه طول ضلع آن را دارد.  مجذور4= 2 4     
نكته:  توان سوم هر عدد را مكعب آن عدد می گویند (می توان گفت: مكعب یك عدد، حجم مكعب مربعی است  كه این عدد اندازه ی هر ضلع آن مكعب است)     مکعب 5= 3 5
نكته: اگر پایه ی یك عدد توان دار ، عددی منفی، كسری یا اعشاری باشد پایه ی آن عدد را در داخل پرانتز می نویسیم
مانند: 3(2-) یا 4(    1)یک دوم به نوان4
                         2
نكته: هر عدد غیر صفر به توان  0 برسد حاصل 1 می شود .      0≠ a0 =1             a
 اما 00     را می گویند (نا معین) زیرا هم یک می توان گفت وهم صفر
۱)در ضرب اعداد توان دار :
الف)اگر پایه ها مساوی باشند یکی از پایه ها را نوشته و توان ها را جمع می کنیم  b a  ×  ac=  (b+c)  a
۲۱۲  =  ۲۵ × ۲۷ 
 ( y5 =  y2 y3 = yyyyy  =(y2)(y3   یا     : y2 y3 = y2+3 = y5

x2x3 = (xx)(xxx) = xxxxx = x5           = x2   ×   x3 =  x(2+3)=    x5

xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3)
ب)اگر توان ها مساوی باشند پایه ها را ضرب می کنیم و یکی از توان ها را می نویسیم. در ضرب اعداد توان دار با توان مشابه توانها را می نویسیم و پایه ها را ضرب می کنیم
۲۶ × ۵۶ = ۱۰۶
ج) اگر پایه ها نامساوی و نماها نیز نا مساوی باشند ابتدا هر یک از آن ها را به توان می رسانیم سپس در هم ضرب می کنیم.
27×25=۲3 × ۵2
مثال: حاصل ضرب مقابل را به صورت توان دار بنویسید.         = 53 × 53
253= 3 (5 × 5 ) = 53 × 53
توجه: هر یك از دو راه را كه انتخاب كنیم درست است     = 53 × 53
اف)     5×5×5×5×5×5= 56
ب)     25×25×25= 253                         253=56
توجه: در بعضی موارد كه پایه ها و توان ها هیچ كدام مساوی نیستند می توانیم با یك تغییراتی در اعداد ، پایه ها و یا توان های آنها را برابر كنیم.
 (الف)   96= 2 9 ×94=81× 94
 (ج) 95= 93×92= 93× 34   
۲)در تقسیم اعداد توان دار :
الف)اگر پایه ها مساوی باشند یکی از پایه ها را نوشته و توان ها را از هم کم می کنیم.
۲۳۶    ÷  ۲۹ 
  x4/x2 = (xxxx) ÷ (xx) = xx = x2    = x4÷x2 = x(4-2) = x2    (علامت /  خط کسری است)
     x2÷x2 = x2-2 = x0 =1
اگر توجه کنیدx0=1
ب)اگر توان ها مساوی باشند پایه ها را بر هم تقسیم می کنیم و یکی از توان ها را می نویسیم.
۳۷     =   ۲۷  ÷  ۶۷
اگر در تقسیم دوعدد ، توا ن پشت ( ) باشد ،توان برای هر دو حساب می شود. علامت / خط کسری است. y/y = 1
به انواع مثالها توجه کنید:
x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3)
(x/y)n = xn/yn )                   
 
 
    
     3  )توان در توان :
اگر عددی توان دار را مجددا به توان برسانیم توان ها را در هم ضرب می کنیم.
                         5  (   ۲۳     )  =۲۱۵
x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12`)     
(x3)4 = x3×4 = x12 )            

۴)توان- توان :
درعبارت هایی که به شکل a (m)
n هستند ابتدا باید m را به توان n برسانیم و پاسخ را توان a در نطر بگیریم.
                                        3
ابتداتوان را به توان برسانید.      5 2=۲۱۲۵           

 
5- قانون توان صفر:
هر عدد (به جز صفر) به توان صفر برابر است با یک.   0  ۳=    ۱       و   1=0  5
      90 = 1 به مثال زیر توجه کنید:
x2÷x2 = x2-2 = x0 =1
به مثالها توجه کنید وآنها را بررسی کنید.تا.....

35 = 3 ÷6 3 = 31 ÷ 36 =1- 6 3 = 35= 243
34 = 3 ÷5 3 = 31 ÷ 35 =1- 35 = 34= 81
33 = 31 ÷4 3 = 31 ÷ 34 =   1 - 4 3  = 33= 27
32 = 3 ÷3 3 = 31 ÷ 33 =1-- 3 3  = 32= 9
31 = 3 ÷2 3 = 31 ÷ 32 =1-  2 3    = 31= 3

 به طور منطقی اثبات می کنیم.  1=30 =    1-1 3 = 31 ÷ 31  = 30 .
اگر دوعدد مساوی با توان مساوی برهم تقسیم شوند را  داشته باشیم باز مساوی یک می شود:
m0 = m(n – n) = mn × m–n = mn ÷ mn = 1
نتیجه   :1-هرعدد به توان صفر=1    پس: 00 = 1
  2-صفر به توان صفر =صفر پس 00 = 0 البته ریاضی دانان می گویند "00" نامعین وتعریف نشده است.       
 

x0 = 1, پش ... 00 = 1
0n = 0, پس ... 00 = 0
       
تمام اعداد منفی وقتی به توان فرد می رسند، همان منفی باقی می مانند.      
مثال :     64- =   (4-)  یا        8 - = 3  (2 - )

توجه توجه:عدد به توان منفی  به مخرج کسر میرود .اگر صفر را به توان عددی منفی برسانیم،  چون حاصل در مخرج صفر دارد و تعریف نشده‌است.
تمام اعداد منفی وقتی به توان زوج می رسند مثبت می شوند :    9 = 2 (3-)
2(-2) = (2-) × (2-) = 4
     25 +  =(5-) × (-5)  =2( 5-)      
      
تمام اعداد مثبت وقتی به توان فرد یا زوج می رسند، مثبت باقی می مانند.
      
+25 =  ( 5 +) × (5+) =  2( 5+)         و125 += (5+  ) ×(+5)  ×   (+5) =  3( 5+)

1(-1)1 = 1  -      عدد منفی توان فرد
2(-1) = (    1-) × (1- ) +1     عدد منفی توان زوج
3(-1) = (1-) × (1-) × (1-) =1-  عدد منفی توان فرد
4(-1) = (1-) × (1-) × (1-) × (1-) = 1 +  عدد منفی توان زوج
مثال:   97 (-1)  =    1-

 6(-2)= 64 + عدد منفی به توان زوج برسد پاسخ مثبت می شود                   
قرینه ی عدد a یعنی a -. برای به دست آوردن قرینه ی هر عدد، آن عدد را در (1-) ضرب می کنیم.
 


 موارد توان را با   (  )  بررسی می کنیم:
2(2 -) = (2-) × (2-) = 4
22 -= (22)- =  (2 × 2) -= -4
ab)2 = ab × ab)
 ab2 = a × (b)2 = a × b × b     به چه نتیجه ای رسیدید؟
 

fractional exponents
43/2  یعنی 4به توان سه چهارم
m/n = m × (1/n)    (  /    یعنی خط کسری)


fractional exponents

m/n = (1/n) × m:

fractional exponents

برای اطلاعات بیشترتان بر روی هر کدام از عناوین زیرین که می خواهید کلیک کنید تا باز شود

قانونها ی توان در ریاضی - توان چیست؟


  اعداد1تا12 به توان               کسرهاوتبدیل به اعشارودرصد               فاکتوریل           مجذور وجذر 1تا100         

        جمع وتفریق عددهای توان دار                          توان اعدادبایکان1         توان اعشاری 10
عدد با توان منفی          رادیکال وتوان           رادیکال وتوان2          عددوتوان کسری         توان کسری  توان کسری-منفی
رادیکال-فرجه-توان کسری-منفی
گویا کردن -رادیکال ها 2
گویا کردن -رادیکال ها
توان علمی پاسخ به سوال
رادیکال-ضرب کردن رادیکال -تقسیم کردن رادیکال -گویا کردن رادیکال
جذر - ساده کردن رادیکال -جمع وتفریق رادیکال
تجزیه عدد
جذر-مجذور-ریشه عدد-رادیکال -کلاس هفتم
        عدد به توان منفی         توان کسری  

نماد علمی . توان علمی عدد

توان علمی پاسخ به سوال
888    روی علامت فلش کلیک کنید وتوان را ببینید روی دکمه سمت راست پاک کن است                                             


علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 
جمعه 1 بهمن 1395 06:16 ب.ظ
کی توانم سوالی غیر ای مطلب بپرسم
اگه آره میشه بگین آیا عدد منفی۶۴ مضرب ۸ محسوب می‌شود سه
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بله
بهار
جمعه 1 بهمن 1395 12:43 ب.ظ
سلام
یک دوم به توان هشت سوم چگونه محاسبه میشود؟؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : ببر داخل رادیکال با توان8 وفرجه 3
سلام
شنبه 25 دی 1395 03:11 ق.ظ
سلام
X به توان 0.54 مساوی است با 25.64
ایکس رو چحوری باید محاسبه کنیم2؟؟؟؟
سلام
شنبه 25 دی 1395 03:10 ق.ظ
سلام
X به توان 0.54 مساوی است با 25.64
ایکس رو چحوری باید محاسبه کنیم2؟؟؟؟
سلام
شنبه 25 دی 1395 03:09 ق.ظ
سلام
X به توان 0.54 مساوی است با 25.64
ایکس رو چحوری باید محاسبه کنیم2؟؟؟؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : عدد عجیب وغریبی به دست می اید فکر کنم اشکال در عدد باشد با بردن در رادیکال هم اشکال ایجاد شد
پوریا
پنجشنبه 23 دی 1395 07:41 ب.ظ
حاصل²(۳-)و
۳-²
چند است؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : اولی9
دومی یک نهم
چهارشنبه 22 دی 1395 01:02 ب.ظ
واسه سوال پایینی این درسته؟هرعددبه توان دو یعنی آن عددضربدرخودش
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بله
سه شنبه 21 دی 1395 10:11 ق.ظ
عبارت جبری زیررابه کلامی تبدیل کنید
b*b=b^2
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : حاصل ضرب b و b مساوی bبه توان2
رضا
دوشنبه 20 دی 1395 05:23 ب.ظ
عبارت کلامی :aضربدرa=aبه توان دو
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : درست
ستایش
شنبه 18 دی 1395 04:23 ب.ظ
سلام...آیا a+b به توان دو با aبه توان 2 به علاوه ی bبه توان دو برابر است؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/1139
جمعه 17 دی 1395 04:12 ب.ظ
عدد منفی به توان صفر چی میشه
اگر تو پرانتز باشه یا نباشه فرقی میکنه,؟؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 1
خیر
zahra
دوشنبه 13 دی 1395 04:31 ب.ظ
قرینه4به توان2چندمیشه؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : منفی16
آیلار
یکشنبه 12 دی 1395 10:48 ب.ظ
با عرض سلام و خسته نباشید خدمت معلم عزیز فتحی
دبیر ریاضی ما یه عبارت داده گفته که
27 برابر 9به توان10 به صورت یه عدد توان دار بنویسید این سوال برام مشکل شده
ممنون
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 3 به توان23
شنبه 11 دی 1395 12:13 ب.ظ
سلام .اگر xمنفی باشد حاصل عبارت2 رادیکالx به توان دو منفی x چقدر میش ود لطفا توضیح دهید
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : اگر داخل پرانتز باشد از رادیکال خارج می شود اگر توان فقط برای xباشد خیرخارج نمی شود
سارا
جمعه 10 دی 1395 07:14 ب.ظ
اثبات کنید 3-به توان دو با (3-)به توان دو فرق میکند
باتشکر
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بله اولی فقط 3 به توان می رسد ولی دومی هم علامت وهم عدد به توان می رسد
محمد حسن خلیلی
جمعه 10 دی 1395 06:29 ب.ظ
سلام
اعداد با توان های بالا ایا فرمول خاصی داره

پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : متفاوت تند
امین
جمعه 10 دی 1395 06:23 ب.ظ
سلام. میشه لطفا جواب عبارت زیر رو بهم بگید
3 به توان (2 ایگرگ بعلاوه یک)
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : به صورت × بنویس= 3به توان3y ضرب در 3 به توان1
امیرحسین
پنجشنبه 9 دی 1395 06:43 ب.ظ
سلام
لطفا بفرمایید چطور جواب 2 به توان 50 رو میتونیم به راحتی بدست بیاریم؟ و رابطه ریاضی برای سری مربوط به ان چیست؟
من میدونم که سری ان میشه:
4 و 8 و 16و 32 و ....
و در واقع عدد بعدی از جمع عدد قبلش با خودش بدست می اید ولی بصورت ریاضی نمیدونم چطور میشه نشون داد و چطور جواب رو بدون اینکه بخواییم 2 را 50 بار در خودش ضرب کنیم بدست بیارم!
با تشکر فراوان
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : معمولا وقتی در مسئله بیاید طوری عددهای دیگر هستند که ساده شود ونیازی به حفظ نیست
هدیه
پنجشنبه 9 دی 1395 03:59 ب.ظ
سلام.لطفا زود جواب بدین!:)میشه فرجه ها رو توی هم ضرب کرد؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بله
یکشنبه 5 دی 1395 04:58 ب.ظ
جواب بدین
فاطی
یکشنبه 5 دی 1395 03:28 ب.ظ
سلام. 17به توان منفی یك دوم رو میشه رادیكالی نوشت تورو خدا زود بگین امتحان دارم
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : ببر زیر رادیکال کسری بنویس 1 به 17×17
امیرحسین
شنبه 4 دی 1395 02:19 ب.ظ
سلام ببخشید عدد8به توان 17ضربدر5به توان 45 یه عدد چند رقمی میشه؟ تورو خدا زود جواب بدید باید اینو 5دی ماه ببرم مدرسه نمره بگیرم اگه جوابو میدونین به این شماره پیام بدید09903980551
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 6.4 ×46 ^10
پنجشنبه 2 دی 1395 09:35 ب.ظ
سلام چجوری دو ایکس به توان دو به اضافه ی سه ایکس به اضافه ی یک رو تجزیه کنم
لطفا سریع جواب بدین آخه امتحان دارم
متشکرم
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/1248
حسیین
جمعه 26 آذر 1395 06:16 ب.ظ
جواب سوال مقلوب عددabcبرابرcbaدرست یا غلط
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : درست
جمعه 19 آذر 1395 03:41 ب.ظ
سلام
۴-به توان صفر چند میشه؟؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 1
غزال
جمعه 19 آذر 1395 09:31 ق.ظ
سلام ببخشید وقتی عددی منفی که در پرانتز نیست رو به توان عددی مثبت می رسونیم ایا جواب باز هم مثبت میشه یا منفی؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : منفی
:)
پنجشنبه 18 آذر 1395 12:25 ب.ظ
سلام،
میخواستم بدونم که چرا توانهای گویا برای اعداد منفی تعریف نشده است
Mehdi
سه شنبه 16 آذر 1395 07:12 ب.ظ
جواب x1ضربدر x1
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : xبه توان2
زهرا
سه شنبه 25 آبان 1395 02:04 ب.ظ
عدد منفی 2ـ اگر به توان دو برسد چند میشود پرانتزی ندارد
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 4-
محمد
پنجشنبه 20 آبان 1395 01:04 ب.ظ
چگونه معادله نوان دار حل کنیم لطفا آموزش دهید برای مثال= n^2=224
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : n^2-224=0
مساوی صفر قرار بده تجزیه کن 14 به توان 2
n=مساوی 4 منهای رادیکال14
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر


نمایش نظرات 1 تا 30