آموزشی.اطلاعات مفید علمی . سوال های درسی . تدریس ریاضی

قانونها ی توان در ریاضی - توان چیست؟

تاریخ:جمعه 31 خرداد 1392-06:42 ق.ظ

توان  

هرگاه عددی را چند بار در خودش ضرب کنیم، می گوییم آن عدد را به توان رسانده ایم. که عددر را پایه و تعداد عدد ها را n  که توان می نامیم. نام دیگر توان، نما می باشد.   3 5 =5  ×5×5 در اینجا عدد 5 پایه وعدد3 توان  یا نما نام دارد. تعریف: به عددهایی مانند ab یك عدد تواندار می گوییم. a  را پایه عدد و b را توان یا نمای آن نامیده و می خوانیم «a  به توان b»         82 = 8 × 8 = 64   به مثالها توجه کنید:
     53 = 5 × 5 × 5 = 125
24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16             9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9=96

exponent definitiona7 = a × a × a × a × a × a × a = aaaaaaa 
 x6 = xxxxxx
به مثال توجه کن      8    =3 2=2×2×2   عدد2     چند بار درخودش ضرب شده؟3بار 
         54  ببینیم  عدد5 چند بار درخودش ضرب می شود؟4بار     54   = 5×5×5×5
x2x3 = (xx)(xxx) = xxxxx = x5           = x2   ×   x3 =  x(2+3)=    x5
هرگاه عددی را چند بار در خودش ضرب کنیم  برای آسان شدن تعداد هرچند بار دربالای عدد تعداد آن را می نویسیم .پس ما تعداد چند بار را جمع می کنیم  مثلا دراینجا عدد6  چندبار ضرب شده 
6×6×6×6×6×6 ×6  دراین صورت  7بارضرب شده  7  6
مثال2 :        5 6   =  2  +  3  6  =   2 6 ×   3 6    =6×6× 3 6   دراین جا عدد6 را ببین 5بار ضرب شده دوبار  جدا و(3 6 =6×6×6)  درتمرین بالا اگر در مورد 2 6 ×   3 6     اگر توان ها را ضرب کنید با تعداد ضرب جور در نمی آیدومی شود 6 6   که غلط است  باید 5بار شود 

جمع و تفریق توان ها: در جمع و تفریق دو یا چند عدد توان دار، ابتدا هر کدام از اعداد را جداگانه به توان می رسانیم. سپس با هم جمع یا تفریق می کنیم.   
   20=32-27+25=25-33 + 52
نكته: اگر عددی توان نداشته باشد توان آن را عدد 1 در نظر می گیریم. 1 3=3
نكته:  هر عدد به توان 1 برابر است با همان عدد
نكته: عدد 1 به هر توانی برسد حاصل 1 می شود. 1   =  15  1        و    91 = 9
نكته: توان دوم هر عدد را مجذور (مربع)آن عدد می گویند (در واقع مساحت مربعی را حساب می كنیم كه طول ضلع آن را دارد.  مجذور4= 2 4     
نكته:  توان سوم هر عدد را مكعب آن عدد می گویند (می توان گفت: مكعب یك عدد، حجم مكعب مربعی است  كه این عدد اندازه ی هر ضلع آن مكعب است)     مکعب 5= 3 5
نكته: اگر پایه ی یك عدد توان دار ، عددی منفی، كسری یا اعشاری باشد پایه ی آن عدد را در داخل پرانتز می نویسیم
مانند: 3(2-) یا 4(    1)یک دوم به نوان4
                         2
نكته: هر عدد غیر صفر به توان  0 برسد حاصل 1 می شود .      0≠ a0 =1             a
 اما 00     را می گویند (نا معین) زیرا هم یک می توان گفت وهم صفر
۱)در ضرب اعداد توان دار :
الف)اگر پایه ها مساوی باشند یکی از پایه ها را نوشته و توان ها را جمع می کنیم  b a  ×  ac=  (b+c)  a
۲۱۲  =  ۲۵ × ۲۷ 
 ( y5 =  y2 y3 = yyyyy  =(y2)(y3   یا     : y2 y3 = y2+3 = y5

x2x3 = (xx)(xxx) = xxxxx = x5           = x2   ×   x3 =  x(2+3)=    x5

xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3)
ب)اگر توان ها مساوی باشند پایه ها را ضرب می کنیم و یکی از توان ها را می نویسیم. در ضرب اعداد توان دار با توان مشابه توانها را می نویسیم و پایه ها را ضرب می کنیم
۲۶ × ۵۶ = ۱۰۶
ج) اگر پایه ها نامساوی و نماها نیز نا مساوی باشند ابتدا هر یک از آن ها را به توان می رسانیم سپس در هم ضرب می کنیم.
27×25=۲3 × ۵2
مثال: حاصل ضرب مقابل را به صورت توان دار بنویسید.         = 53 × 53
253= 3 (5 × 5 ) = 53 × 53
توجه: هر یك از دو راه را كه انتخاب كنیم درست است     = 53 × 53
اف)     5×5×5×5×5×5= 56
ب)     25×25×25= 253                         253=56
توجه: در بعضی موارد كه پایه ها و توان ها هیچ كدام مساوی نیستند می توانیم با یك تغییراتی در اعداد ، پایه ها و یا توان های آنها را برابر كنیم.
 (الف)   96= 2 9 ×94=81× 94
 (ج) 95= 93×92= 93× 34   
۲)در تقسیم اعداد توان دار :
الف)اگر پایه ها مساوی باشند یکی از پایه ها را نوشته و توان ها را از هم کم می کنیم.
۲۳۶    ÷  ۲۹ 
  x4/x2 = (xxxx) ÷ (xx) = xx = x2    = x4÷x2 = x(4-2) = x2    (علامت /  خط کسری است)
     x2÷x2 = x2-2 = x0 =1
اگر توجه کنیدx0=1
ب)اگر توان ها مساوی باشند پایه ها را بر هم تقسیم می کنیم و یکی از توان ها را می نویسیم.
۳۷     =   ۲۷  ÷  ۶۷
اگر در تقسیم دوعدد ، توا ن پشت ( ) باشد ،توان برای هر دو حساب می شود. علامت / خط کسری است. y/y = 1
به انواع مثالها توجه کنید:
x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3)
(x/y)n = xn/yn )                   
 
 
    
     3  )توان در توان :
اگر عددی توان دار را مجددا به توان برسانیم توان ها را در هم ضرب می کنیم.
                         5  (   ۲۳     )  =۲۱۵
x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12`)     
(x3)4 = x3×4 = x12 )            

۴)توان- توان :
درعبارت هایی که به شکل a (m)
n هستند ابتدا باید m را به توان n برسانیم و پاسخ را توان a در نطر بگیریم.
                                        3
ابتداتوان را به توان برسانید.      5 2=۲۱۲۵           

 
5- قانون توان صفر:
هر عدد (به جز صفر) به توان صفر برابر است با یک.   0  ۳=    ۱       و   1=0  5
      90 = 1 به مثال زیر توجه کنید:
x2÷x2 = x2-2 = x0 =1
به مثالها توجه کنید وآنها را بررسی کنید.تا.....

35 = 3 ÷6 3 = 31 ÷ 36 =1- 6 3 = 35= 243
34 = 3 ÷5 3 = 31 ÷ 35 =1- 35 = 34= 81
33 = 31 ÷4 3 = 31 ÷ 34 =   1 - 4 3  = 33= 27
32 = 3 ÷3 3 = 31 ÷ 33 =1-- 3 3  = 32= 9
31 = 3 ÷2 3 = 31 ÷ 32 =1-  2 3    = 31= 3

 به طور منطقی اثبات می کنیم.  1=30 =    1-1 3 = 31 ÷ 31  = 30 .
اگر دوعدد مساوی با توان مساوی برهم تقسیم شوند را  داشته باشیم باز مساوی یک می شود:
m0 = m(n – n) = mn × m–n = mn ÷ mn = 1
نتیجه   :1-هرعدد به توان صفر=1    پس: 00 = 1
  2-صفر به توان صفر =صفر پس 00 = 0 البته ریاضی دانان می گویند "00" نامعین وتعریف نشده است.       
 

x0 = 1, پش ... 00 = 1
0n = 0, پس ... 00 = 0
       
تمام اعداد منفی وقتی به توان فرد می رسند، همان منفی باقی می مانند.      
مثال :     64- =   (4-)  یا        8 - = 3  (2 - )

توجه توجه:عدد به توان منفی  به مخرج کسر میرود .اگر صفر را به توان عددی منفی برسانیم،  چون حاصل در مخرج صفر دارد و تعریف نشده‌است.
تمام اعداد منفی وقتی به توان زوج می رسند مثبت می شوند :    9 = 2 (3-)
2(-2) = (2-) × (2-) = 4
     25 +  =(5-) × (-5)  =2( 5-)      
      
تمام اعداد مثبت وقتی به توان فرد یا زوج می رسند، مثبت باقی می مانند.
      
+25 =  ( 5 +) × (5+) =  2( 5+)         و125 += (5+  ) ×(+5)  ×   (+5) =  3( 5+)

1(-1)1 = 1  -      عدد منفی توان فرد
2(-1) = (    1-) × (1- ) +1     عدد منفی توان زوج
3(-1) = (1-) × (1-) × (1-) =1-  عدد منفی توان فرد
4(-1) = (1-) × (1-) × (1-) × (1-) = 1 +  عدد منفی توان زوج
مثال:   97 (-1)  =    1-

 6(-2)= 64 + عدد منفی به توان زوج برسد پاسخ مثبت می شود                   
قرینه ی عدد a یعنی a -. برای به دست آوردن قرینه ی هر عدد، آن عدد را در (1-) ضرب می کنیم.
 


 موارد توان را با   (  )  بررسی می کنیم:
2(2 -) = (2-) × (2-) = 4
22 -= (22)- =  (2 × 2) -= -4
ab)2 = ab × ab)
 ab2 = a × (b)2 = a × b × b     به چه نتیجه ای رسیدید؟
 

fractional exponents
43/2  یعنی 4به توان سه چهارم
m/n = m × (1/n)    (  /    یعنی خط کسری)


fractional exponents

m/n = (1/n) × m:

fractional exponents

برای اطلاعات بیشترتان بر روی هر کدام از عناوین زیرین که می خواهید کلیک کنید تا باز شود

قانونها ی توان در ریاضی - توان چیست؟


  اعداد1تا12 به توان               کسرهاوتبدیل به اعشارودرصد               فاکتوریل           مجذور وجذر 1تا100         

        جمع وتفریق عددهای توان دار                          توان اعدادبایکان1         توان اعشاری 10
عدد با توان منفی          رادیکال وتوان           رادیکال وتوان2          عددوتوان کسری         توان کسری  توان کسری-منفی
رادیکال-فرجه-توان کسری-منفی
گویا کردن -رادیکال ها 2
گویا کردن -رادیکال ها
توان علمی پاسخ به سوال
رادیکال-ضرب کردن رادیکال -تقسیم کردن رادیکال -گویا کردن رادیکال
جذر - ساده کردن رادیکال -جمع وتفریق رادیکال
تجزیه عدد
جذر-مجذور-ریشه عدد-رادیکال -کلاس هفتم
        عدد به توان منفی         توان کسری  

نماد علمی . توان علمی عدد

توان علمی پاسخ به سوال
888    روی علامت فلش کلیک کنید وتوان را ببینید روی دکمه سمت راست پاک کن است                                             


علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 
سانیا
جمعه 26 آبان 1396 07:30 ب.ظ
با سلام
میتونین جواب این مسئله رو به من بگین؟
اگر a مساویست با دو به توان ایکس به بعلاوه یک و b مساویست با چهار به توان ایکس منهای ۱ ، نسبت a و b چیه؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 2 به توان3-ایکس
آرش
دوشنبه 22 آبان 1396 03:29 ب.ظ
سلام
اگر توان صورت از مخرج بیشتر باشد چه اتفاقی می افتد
اگه میشه یک منبع در اختیارم بزارید چون یک صفحه ازش تحقیق میخام
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/1084
http://fathi5.mihanblog.com/post/1215
ناصری
چهارشنبه 17 آبان 1396 12:57 ق.ظ
سلام لطفا جواب و راه حل این مسئله را میخواستم ممنون
قرینه عددی نسبت به 2- عدد 6 شدهقرینه آن عدد نسبت به 12+ چه عددی است؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 34
امید
سه شنبه 16 آبان 1396 02:20 ب.ظ
حاصل عبارت زیر چند میشود؟؟؟
x+1/x=4
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : ایکس= 2 منهای رادیکال3
2 به اضافه رادیکال3
ناشناس
یکشنبه 14 آبان 1396 03:36 ب.ظ
اگر گفته باشد عدد قرینه عدد8شده -20 نقطه مبدا چیست
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : --6
چهارشنبه 10 آبان 1396 05:05 ب.ظ
سلام خسته نباشید پنج ب توان صد علاوه پنج ب توان صد به علاوه پنج به توان صد جوابش چی میشه؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 3× 100^5
ف
سه شنبه 9 آبان 1396 04:51 ب.ظ
اگر x عددی منفی باشد (xبه توان ۲ چقدر است)؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : توان بیرون پرانتز باشد عدد منفی است
Sadegh
یکشنبه 7 آبان 1396 07:07 ب.ظ
سلام 5به توان 200 ضرب در 2 به توان صد چند میشه ؟؟؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 0 5به توان 100
Sadegh
پنجشنبه 4 آبان 1396 01:57 ب.ظ
ضرب یک عدد اعشاری در یک عدد تواندار چی بهش میگن؟ یعنی ب اینجور ضربی چی میگن.
مثلا سه سه ممیز سه ضربدر ده ب توان سه
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : نماد علمی
علی
یکشنبه 16 مهر 1396 07:22 ب.ظ
0.002*10به توان منفی 3چی میشه...به صورت نماد علمی
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : کدام عددتوان منفی3 دارد
محمد
یکشنبه 16 مهر 1396 01:14 ب.ظ
سلام
آیا [(x به توان 2) به توان 1/2]
با
[رادیکال (x به توان 2)] تفاوتی دارد؟ (جواب کدامیک x می‌شود و جواب کدامیک |x|)
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : دومی قدر مطلق
شنبه 15 مهر 1396 09:34 ب.ظ
رادیکال ۴ ضرب ده به توان منفی ۹ چند میشه
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 2 ضرب ده به توان منفی ۹= توان علمی
نیلوفر
پنجشنبه 13 مهر 1396 08:02 ب.ظ
در ضرب توان ها اگر پایه ها و توان ها برابر باشد چه می کنیم؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : درتمرین نسبت به بقیه نگاه کنید ببینی انتخاب کدام برای خلاص کردن مفید است اما معمولا پایه انتخاب و نما جمع می شود
آرمان
پنجشنبه 13 مهر 1396 06:32 ب.ظ
سلام 0به توان هر عدد چند میشه؟
علی
سه شنبه 11 مهر 1396 07:34 ب.ظ
ببخشید یک سوال داشتم جواب 0 به توان 4 0 است یا 1؟
سه شنبه 11 مهر 1396 02:30 ب.ظ
سلام
Sana
سه شنبه 28 شهریور 1396 07:59 ب.ظ
سلام خسته نباشید ببخشید من چند تا سوال داشتم یکیش اینه ک چرا یک دوم به توان بی نهایت میشود صفر و اینکه چرا log0میشود منفی بینهایت
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : زیرا هرعدد کوچکترازواحد به توان برسد کوچکتر می شود هرچه توان بیشتر باشد به صفر نزدیک تر می شود.
دوشنبه 27 شهریور 1396 02:19 ب.ظ
سلام.ممنون از اینكه جواب منو دادین.در جواب پنجمین نظر كه نظر من بوده علامتی شبیه پرانتز كه سمت راست عدد 99 است دیده می شود.لطفا توضیح دهید كه آن چیست؟چون من كلاس نهم هستم و آن علامت را در كتاب ریاضی نهممان نخوانده ایم.
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : علامت به توان
چهارشنبه 22 شهریور 1396 02:26 ب.ظ
حل این عدد توان دار چگونه است عدد 16 پایه است. 56
20
10
10
16





پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : کامل نیست
چهارشنبه 22 شهریور 1396 02:20 ب.ظ
اگر در قانون توان توان چند توان(بیش از دو توان) داده باشند ایا باید عمل به توان رساندن را از عدد توان بالا شروع کنیم یا از عدد توان پایین.
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : از بالاترین
atefeh
سه شنبه 21 شهریور 1396 11:48 ب.ظ
سلام و عرض ادب پسر من در المان مدرسه میره و الان مشکل حل رادیکال داره و من نمیتونم کمکش کنم لطفا راهنمایی کنید .با تشکر
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/1215
http://fathi5.mihanblog.com/post/1211
http://fathi5.mihanblog.com/post/1210
http://fathi5.mihanblog.com/post/1207
سه شنبه 14 شهریور 1396 07:26 ب.ظ
درستی یا نادرستی عبارت زیر را مشخص كنید.
عدد 5/19253417 عددی گنگ است.
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : اگر 3 نقطه دارد بله وگرنه خیر
سه شنبه 14 شهریور 1396 07:23 ب.ظ
حاصل (x+y)به توان 100 دارای چند جمله است؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 99^(x+y)100
مریم
سه شنبه 14 شهریور 1396 12:49 ب.ظ
سلام Ln1/25 بدون ماشین حساب چگونه محاسبه میشود؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : log
محمد
دوشنبه 6 شهریور 1396 10:50 ب.ظ
125برابرعدد625را بصورت عمده تواندار بنویسید
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 5 به توان7
نسیم
دوشنبه 6 شهریور 1396 09:36 ق.ظ
سلام در تقسیم عبارت (6x+1)ضرب در xبه توان دو منهای دو تقسیم بر دو جمله ای 3x+2خارج قسمت به صورت توان های نزولی نوشته شده است ضریب جمله درجه 1 کدام است؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : اگر کل جمله =صفر باشد
2 - x به توان2 + 6x به توان3 + پس جمل درجه یک نداریم البته من درست نتوانستم تمرین را بخوانم
حسین
یکشنبه 5 شهریور 1396 10:40 ب.ظ
نصف ثلث خمس عدد 30به توان 1000چند است ان را بصورت توان دار بنویسید .
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی :
1/30 = 1/5 *1/2*1/3
999^0 3 = 1000^0 3 * 1/30
3
شنبه 4 شهریور 1396 03:10 ب.ظ
اعداد کسرسی و اعشاری به توان صفر چی میشه؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : =1
نسیم
شنبه 4 شهریور 1396 10:05 ق.ظ
ببخشید توان های نزولی چی هستن
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : مرتب کردن چندجمله ای ها به ترتیب توان از بزرگ به کوچک
مریم
جمعه 3 شهریور 1396 01:39 ب.ظ
باسلام،در مورد سوالی که پرسیدم۱۰۰۰=n-1۰/۱گفتید پایه ها و توان رو یکسان کنم،میشه توضیح بدید چطوری؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : تمرین نوشته شده اشکال دارد
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر


نمایش نظرات 1 تا 30