آموزشی.اطلاعات مفید علمی . سوال های درسی . تدریس ریاضی

قانونها ی توان در ریاضی - توان چیست؟

تاریخ:جمعه 31 خرداد 1392-06:42 ق.ظ

توان  

هرگاه عددی را چند بار در خودش ضرب کنیم، می گوییم آن عدد را به توان رسانده ایم. که عددر را پایه و تعداد عدد ها را n  که توان می نامیم. نام دیگر توان، نما می باشد.   3 5 =5  ×5×5 در اینجا عدد 5 پایه وعدد3 توان  یا نما نام دارد. تعریف: به عددهایی مانند ab یك عدد تواندار می گوییم. a  را پایه عدد و b را توان یا نمای آن نامیده و می خوانیم «a  به توان b»         82 = 8 × 8 = 64   به مثالها توجه کنید:
     53 = 5 × 5 × 5 = 125
24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16             9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9=96

exponent definitiona7 = a × a × a × a × a × a × a = aaaaaaa 
 x6 = xxxxxx
به مثال توجه کن      8    =3 2=2×2×2   عدد2     چند بار درخودش ضرب شده؟3بار 
         54  ببینیم  عدد5 چند بار درخودش ضرب می شود؟4بار     54   = 5×5×5×5
x2x3 = (xx)(xxx) = xxxxx = x5           = x2   ×   x3 =  x(2+3)=    x5
هرگاه عددی را چند بار در خودش ضرب کنیم  برای آسان شدن تعداد هرچند بار دربالای عدد تعداد آن را می نویسیم .پس ما تعداد چند بار را جمع می کنیم  مثلا دراینجا عدد6  چندبار ضرب شده 
6×6×6×6×6×6 ×6  دراین صورت  7بارضرب شده  7  6
مثال2 :        5 6   =  2  +  3  6  =   2 6 ×   3 6    =6×6× 3 6   دراین جا عدد6 را ببین 5بار ضرب شده دوبار  جدا و(3 6 =6×6×6)  درتمرین بالا اگر در مورد 2 6 ×   3 6     اگر توان ها را ضرب کنید با تعداد ضرب جور در نمی آیدومی شود 6 6   که غلط است  باید 5بار شود 

جمع و تفریق توان ها: در جمع و تفریق دو یا چند عدد توان دار، ابتدا هر کدام از اعداد را جداگانه به توان می رسانیم. سپس با هم جمع یا تفریق می کنیم.   
   20=32-27+25=25-33 + 52
نكته: اگر عددی توان نداشته باشد توان آن را عدد 1 در نظر می گیریم. 1 3=3
نكته:  هر عدد به توان 1 برابر است با همان عدد
نكته: عدد 1 به هر توانی برسد حاصل 1 می شود. 1   =  15  1        و    91 = 9
نكته: توان دوم هر عدد را مجذور (مربع)آن عدد می گویند (در واقع مساحت مربعی را حساب می كنیم كه طول ضلع آن را دارد.  مجذور4= 2 4     
نكته:  توان سوم هر عدد را مكعب آن عدد می گویند (می توان گفت: مكعب یك عدد، حجم مكعب مربعی است  كه این عدد اندازه ی هر ضلع آن مكعب است)     مکعب 5= 3 5
نكته: اگر پایه ی یك عدد توان دار ، عددی منفی، كسری یا اعشاری باشد پایه ی آن عدد را در داخل پرانتز می نویسیم
مانند: 3(2-) یا 4(    1)یک دوم به نوان4
                         2
نكته: هر عدد غیر صفر به توان  0 برسد حاصل 1 می شود .      0≠ a0 =1             a
 اما 00     را می گویند (نا معین) زیرا هم یک می توان گفت وهم صفر
۱)در ضرب اعداد توان دار :
الف)اگر پایه ها مساوی باشند یکی از پایه ها را نوشته و توان ها را جمع می کنیم  b a  ×  ac=  (b+c)  a
۲۱۲  =  ۲۵ × ۲۷ 
 ( y5 =  y2 y3 = yyyyy  =(y2)(y3   یا     : y2 y3 = y2+3 = y5

x2x3 = (xx)(xxx) = xxxxx = x5           = x2   ×   x3 =  x(2+3)=    x5

xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3)
ب)اگر توان ها مساوی باشند پایه ها را ضرب می کنیم و یکی از توان ها را می نویسیم. در ضرب اعداد توان دار با توان مشابه توانها را می نویسیم و پایه ها را ضرب می کنیم
۲۶ × ۵۶ = ۱۰۶
ج) اگر پایه ها نامساوی و نماها نیز نا مساوی باشند ابتدا هر یک از آن ها را به توان می رسانیم سپس در هم ضرب می کنیم.
27×25=۲3 × ۵2
مثال: حاصل ضرب مقابل را به صورت توان دار بنویسید.         = 53 × 53
253= 3 (5 × 5 ) = 53 × 53
توجه: هر یك از دو راه را كه انتخاب كنیم درست است     = 53 × 53
اف)     5×5×5×5×5×5= 56
ب)     25×25×25= 253                         253=56
توجه: در بعضی موارد كه پایه ها و توان ها هیچ كدام مساوی نیستند می توانیم با یك تغییراتی در اعداد ، پایه ها و یا توان های آنها را برابر كنیم.
 (الف)   96= 2 9 ×94=81× 94
 (ج) 95= 93×92= 93× 34   
۲)در تقسیم اعداد توان دار :
الف)اگر پایه ها مساوی باشند یکی از پایه ها را نوشته و توان ها را از هم کم می کنیم.
۲۳۶    ÷  ۲۹ 
  x4/x2 = (xxxx) ÷ (xx) = xx = x2    = x4÷x2 = x(4-2) = x2    (علامت /  خط کسری است)
     x2÷x2 = x2-2 = x0 =1
اگر توجه کنیدx0=1
ب)اگر توان ها مساوی باشند پایه ها را بر هم تقسیم می کنیم و یکی از توان ها را می نویسیم.
۳۷     =   ۲۷  ÷  ۶۷
اگر در تقسیم دوعدد ، توا ن پشت ( ) باشد ،توان برای هر دو حساب می شود. علامت / خط کسری است. y/y = 1
به انواع مثالها توجه کنید:
x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3)
(x/y)n = xn/yn )                   
 
 
    
     3  )توان در توان :
اگر عددی توان دار را مجددا به توان برسانیم توان ها را در هم ضرب می کنیم.
                         5  (   ۲۳     )  =۲۱۵
x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12`)     
(x3)4 = x3×4 = x12 )            

۴)توان- توان :
درعبارت هایی که به شکل a (m)
n هستند ابتدا باید m را به توان n برسانیم و پاسخ را توان a در نطر بگیریم.
                                        3
ابتداتوان را به توان برسانید.      5 2=۲۱۲۵           

 
5- قانون توان صفر:
هر عدد (به جز صفر) به توان صفر برابر است با یک.   0  ۳=    ۱       و   1=0  5
      90 = 1 به مثال زیر توجه کنید:
x2÷x2 = x2-2 = x0 =1
به مثالها توجه کنید وآنها را بررسی کنید.تا.....

35 = 3 ÷6 3 = 31 ÷ 36 =1- 6 3 = 35= 243
34 = 3 ÷5 3 = 31 ÷ 35 =1- 35 = 34= 81
33 = 31 ÷4 3 = 31 ÷ 34 =   1 - 4 3  = 33= 27
32 = 3 ÷3 3 = 31 ÷ 33 =1-- 3 3  = 32= 9
31 = 3 ÷2 3 = 31 ÷ 32 =1-  2 3    = 31= 3

 به طور منطقی اثبات می کنیم.  1=30 =    1-1 3 = 31 ÷ 31  = 30 .
اگر دوعدد مساوی با توان مساوی برهم تقسیم شوند را  داشته باشیم باز مساوی یک می شود:
m0 = m(n – n) = mn × m–n = mn ÷ mn = 1
نتیجه   :1-هرعدد به توان صفر=1    پس: 00 = 1
  2-صفر به توان صفر =صفر پس 00 = 0 البته ریاضی دانان می گویند "00" نامعین وتعریف نشده است.       
 

x0 = 1, پش ... 00 = 1
0n = 0, پس ... 00 = 0
       
تمام اعداد منفی وقتی به توان فرد می رسند، همان منفی باقی می مانند.      
مثال :     64- =   (4-)  یا        8 - = 3  (2 - )

توجه توجه:عدد به توان منفی  به مخرج کسر میرود .اگر صفر را به توان عددی منفی برسانیم،  چون حاصل در مخرج صفر دارد و تعریف نشده‌است.
تمام اعداد منفی وقتی به توان زوج می رسند مثبت می شوند :    9 = 2 (3-)
2(-2) = (2-) × (2-) = 4
     25 +  =(5-) × (-5)  =2( 5-)      
      
تمام اعداد مثبت وقتی به توان فرد یا زوج می رسند، مثبت باقی می مانند.
      
+25 =  ( 5 +) × (5+) =  2( 5+)         و125 += (5+  ) ×(+5)  ×   (+5) =  3( 5+)

1(-1)1 = 1  -      عدد منفی توان فرد
2(-1) = (    1-) × (1- ) +1     عدد منفی توان زوج
3(-1) = (1-) × (1-) × (1-) =1-  عدد منفی توان فرد
4(-1) = (1-) × (1-) × (1-) × (1-) = 1 +  عدد منفی توان زوج
مثال:   97 (-1)  =    1-

 6(-2)= 64 + عدد منفی به توان زوج برسد پاسخ مثبت می شود                   
قرینه ی عدد a یعنی a -. برای به دست آوردن قرینه ی هر عدد، آن عدد را در (1-) ضرب می کنیم.
 


 موارد توان را با   (  )  بررسی می کنیم:
2(2 -) = (2-) × (2-) = 4
22 -= (22)- =  (2 × 2) -= -4
ab)2 = ab × ab)
 ab2 = a × (b)2 = a × b × b     به چه نتیجه ای رسیدید؟
 

fractional exponents
43/2  یعنی 4به توان سه چهارم
m/n = m × (1/n)    (  /    یعنی خط کسری)


fractional exponents

m/n = (1/n) × m:

fractional exponents

برای اطلاعات بیشترتان بر روی هر کدام از عناوین زیرین که می خواهید کلیک کنید تا باز شود

قانونها ی توان در ریاضی - توان چیست؟


  اعداد1تا12 به توان               کسرهاوتبدیل به اعشارودرصد               فاکتوریل           مجذور وجذر 1تا100         

        جمع وتفریق عددهای توان دار                          توان اعدادبایکان1         توان اعشاری 10
عدد با توان منفی          رادیکال وتوان           رادیکال وتوان2          عددوتوان کسری         توان کسری  توان کسری-منفی
رادیکال-فرجه-توان کسری-منفی
گویا کردن -رادیکال ها 2
گویا کردن -رادیکال ها
توان علمی پاسخ به سوال
رادیکال-ضرب کردن رادیکال -تقسیم کردن رادیکال -گویا کردن رادیکال
جذر - ساده کردن رادیکال -جمع وتفریق رادیکال
تجزیه عدد
جذر-مجذور-ریشه عدد-رادیکال -کلاس هفتم
        عدد به توان منفی         توان کسری  

نماد علمی . توان علمی عدد

توان علمی پاسخ به سوال
888    روی علامت فلش کلیک کنید وتوان را ببینید روی دکمه سمت راست پاک کن است                                             


علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 
آرش
پنجشنبه 28 دی 1396 01:26 ب.ظ
کدام گزینه از بقیه بزرگ تر است؟
دو به توان نود، سه به توان هفتاد و پنج، چهار به توان شصت، پنج به توان چهل و پنج.
لطفا آموزش مقایسه این هارو هم بنویسید
ارسلان
دوشنبه 25 دی 1396 08:22 ب.ظ
ممنون بابت پاسخ تون. راه حلش هم اگه بنویسین ممنون میشم.
(20-)^3+....+(1-)^3=A
روش حل مسالهرا میخواستم بدونم.
باز هم تشکر
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : کسری هستد با صورت 1 ومخرج 3 و3 بهتوان2و3به توان3 ...تا3به توان20
ارسلان
یکشنبه 24 دی 1396 09:45 ب.ظ
حاصل عبارت
سه به توان منفی یک تا سه به توان منفی بیست چند میشود؟
20-^3+....+1-^3=A
لطفا راه حل هم بنویسید.
ممنون
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : کمتراز یک دوم
زیرا همه کسره هستند ومخرج 3 به توان1 تا20l
سیروان
جمعه 22 دی 1396 06:17 ب.ظ
ببخشید ده به توان منفی پنج منهای ده به توان منفی پنج صفر میشه!؟
نیما
جمعه 15 دی 1396 08:30 ب.ظ
سلام (۵-)- به توان۲ چند میشه
فقط لطفا سریعتر
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : -25
جمعه 15 دی 1396 03:15 ب.ظ
عددهای (9بتوان 7) و(3 بتوان15)(27بتوان 4) از کوچک به بزر گ مرتب کن
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : (3بتوان 21) و(3 بتوان15)(3بتوان 12)
Reaven
یکشنبه 10 دی 1396 03:03 ب.ظ
سلام ببخشید (۷-)به توان صفر چی میشه؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 1
عرفان
جمعه 8 دی 1396 08:11 ب.ظ
2به توان 2_ چند میشه ?

پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 1/4
m. m
پنجشنبه 7 دی 1396 12:48 ب.ظ
ببخشید ۱۲۰ را به صورت ضرب چند عدد متباین میتوان نوشت؟فرمول؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 3×40
5×24
15×8
....
صابر
جمعه 1 دی 1396 12:35 ق.ظ
با سلام
عدد یک ب توان هر عددی یک میشود؟ حتی ب توان اعداد کسری؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بله
هستی
دوشنبه 27 آذر 1396 10:45 ب.ظ
0
زینب
دوشنبه 27 آذر 1396 07:17 ب.ظ
سلام
اگر توان عددمان کسری باشد باید چگونه حل کنیم؟
مثلا 3 به توان یک دوم
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/1216
شنبه 25 آذر 1396 10:29 ب.ظ
چرا عدد های منفی به توان گویا تعریف نشده است
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : منظور از توان گویا ، توان گویای نا صحیح است
زیرا اگر به توان 3 را بنویسیم 12/4 همان3 هست ومنفی 1 به توان 3 می رسد اما گویای ناصحیح تعریف نشده
پنجشنبه 16 آذر 1396 06:45 ب.ظ
سلام چرا در توان گویا پایه حتما باید مثبت باشد؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : توان کسری را با رادیکال هم نشان میدهند
چهارشنبه 15 آذر 1396 05:06 ب.ظ
آیا هر عددی که داخل پرانتز نباشه و به توان برسه منفی هم به توان میرسه
؟؟؟؟؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : خیر
پنجشنبه 9 آذر 1396 09:34 ق.ظ
۷به توان ۱۱_ ×۱۴ به توان ۹ تقسیم بر ۷به توان ۴ تقسیم بر ۷به توان ۶
جواب به صورت توانی
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : متوجه نشدم کدام اوله
سعید
یکشنبه 5 آذر 1396 04:33 ب.ظ
سلام،ببخشید میشه بگین طرف دوم این تساوی (رادیکالn*n) چطوری بدست میاد؟
رادیکال n = n * n به توان 3/2

پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : اشکال دارد سوال
چهارشنبه 1 آذر 1396 01:03 ق.ظ
سلام
در ضرب اگر پایه و توان هردو مشابه باشند قانون چیه؟
مثلا جواب عبارت ۲a به توان ۲ ضربدر a به توان ۲ چیست؟

و یا ۲a به توان ۲ ضربدر ۲aبه توان ۲؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : اولی2×aبه توان4
دومی4 aبه توان4
حسین
سه شنبه 30 آبان 1396 02:20 ب.ظ
سلام میخواستم بدونم ۹به توان۹به توان۹به توان۹عدد چند رقمیه؟؟و چه جور باید حلش کرد؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : میتوان تقریب10 بزنی
سانیا
جمعه 26 آبان 1396 07:30 ب.ظ
با سلام
میتونین جواب این مسئله رو به من بگین؟
اگر a مساویست با دو به توان ایکس به بعلاوه یک و b مساویست با چهار به توان ایکس منهای ۱ ، نسبت a و b چیه؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 2 به توان3-ایکس
آرش
دوشنبه 22 آبان 1396 03:29 ب.ظ
سلام
اگر توان صورت از مخرج بیشتر باشد چه اتفاقی می افتد
اگه میشه یک منبع در اختیارم بزارید چون یک صفحه ازش تحقیق میخام
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : http://fathi5.mihanblog.com/post/1084
http://fathi5.mihanblog.com/post/1215
ناصری
چهارشنبه 17 آبان 1396 12:57 ق.ظ
سلام لطفا جواب و راه حل این مسئله را میخواستم ممنون
قرینه عددی نسبت به 2- عدد 6 شدهقرینه آن عدد نسبت به 12+ چه عددی است؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 34
امید
سه شنبه 16 آبان 1396 02:20 ب.ظ
حاصل عبارت زیر چند میشود؟؟؟
x+1/x=4
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : ایکس= 2 منهای رادیکال3
2 به اضافه رادیکال3
ناشناس
یکشنبه 14 آبان 1396 03:36 ب.ظ
اگر گفته باشد عدد قرینه عدد8شده -20 نقطه مبدا چیست
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : --6
چهارشنبه 10 آبان 1396 05:05 ب.ظ
سلام خسته نباشید پنج ب توان صد علاوه پنج ب توان صد به علاوه پنج به توان صد جوابش چی میشه؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 3× 100^5
ف
سه شنبه 9 آبان 1396 04:51 ب.ظ
اگر x عددی منفی باشد (xبه توان ۲ چقدر است)؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : توان بیرون پرانتز باشد عدد منفی است
Sadegh
یکشنبه 7 آبان 1396 07:07 ب.ظ
سلام 5به توان 200 ضرب در 2 به توان صد چند میشه ؟؟؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 0 5به توان 100
Sadegh
پنجشنبه 4 آبان 1396 01:57 ب.ظ
ضرب یک عدد اعشاری در یک عدد تواندار چی بهش میگن؟ یعنی ب اینجور ضربی چی میگن.
مثلا سه سه ممیز سه ضربدر ده ب توان سه
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : نماد علمی
علی
یکشنبه 16 مهر 1396 07:22 ب.ظ
0.002*10به توان منفی 3چی میشه...به صورت نماد علمی
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : کدام عددتوان منفی3 دارد
محمد
یکشنبه 16 مهر 1396 01:14 ب.ظ
سلام
آیا [(x به توان 2) به توان 1/2]
با
[رادیکال (x به توان 2)] تفاوتی دارد؟ (جواب کدامیک x می‌شود و جواب کدامیک |x|)
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : دومی قدر مطلق
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر


نمایش نظرات 1 تا 30