آموزشی.اطلاعات مفید علمی . سوال های درسی . تدریس ریاضی

قانونها ی توان در ریاضی - توان چیست؟

تاریخ:جمعه 31 خرداد 1392-06:42 ق.ظ

توان  

هرگاه عددی را چند بار در خودش ضرب کنیم، می گوییم آن عدد را به توان رسانده ایم. که عددر را پایه و تعداد عدد ها را n  که توان می نامیم. نام دیگر توان، نما می باشد.   3 5 =5  ×5×5 در اینجا عدد 5 پایه وعدد3 توان  یا نما نام دارد. تعریف: به عددهایی مانند ab یك عدد تواندار می گوییم. a  را پایه عدد و b را توان یا نمای آن نامیده و می خوانیم «a  به توان b»         82 = 8 × 8 = 64   به مثالها توجه کنید:
     53 = 5 × 5 × 5 = 125
24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16             9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9=96

exponent definitiona7 = a × a × a × a × a × a × a = aaaaaaa 
 x6 = xxxxxx
به مثال توجه کن      8    =3 2=2×2×2   عدد2     چند بار درخودش ضرب شده؟3بار 
         54  ببینیم  عدد5 چند بار درخودش ضرب می شود؟4بار     54   = 5×5×5×5
x2x3 = (xx)(xxx) = xxxxx = x5           = x2   ×   x3 =  x(2+3)=    x5
هرگاه عددی را چند بار در خودش ضرب کنیم  برای آسان شدن تعداد هرچند بار دربالای عدد تعداد آن را می نویسیم .پس ما تعداد چند بار را جمع می کنیم  مثلا دراینجا عدد6  چندبار ضرب شده 
6×6×6×6×6×6 ×6  دراین صورت  7بارضرب شده  7  6
مثال2 :        5 6   =  2  +  3  6  =   2 6 ×   3 6    =6×6× 3 6   دراین جا عدد6 را ببین 5بار ضرب شده دوبار  جدا و(3 6 =6×6×6)  درتمرین بالا اگر در مورد 2 6 ×   3 6     اگر توان ها را ضرب کنید با تعداد ضرب جور در نمی آیدومی شود 6 6   که غلط است  باید 5بار شود 

جمع و تفریق توان ها: در جمع و تفریق دو یا چند عدد توان دار، ابتدا هر کدام از اعداد را جداگانه به توان می رسانیم. سپس با هم جمع یا تفریق می کنیم.   
   20=32-27+25=25-33 + 52
نكته: اگر عددی توان نداشته باشد توان آن را عدد 1 در نظر می گیریم. 1 3=3
نكته:  هر عدد به توان 1 برابر است با همان عدد
نكته: عدد 1 به هر توانی برسد حاصل 1 می شود. 1   =  15  1        و    91 = 9
نكته: توان دوم هر عدد را مجذور (مربع)آن عدد می گویند (در واقع مساحت مربعی را حساب می كنیم كه طول ضلع آن را دارد.  مجذور4= 2 4     
نكته:  توان سوم هر عدد را مكعب آن عدد می گویند (می توان گفت: مكعب یك عدد، حجم مكعب مربعی است  كه این عدد اندازه ی هر ضلع آن مكعب است)     مکعب 5= 3 5
نكته: اگر پایه ی یك عدد توان دار ، عددی منفی، كسری یا اعشاری باشد پایه ی آن عدد را در داخل پرانتز می نویسیم
مانند: 3(2-) یا 4(    1)یک دوم به نوان4
                         2
نكته: هر عدد غیر صفر به توان  0 برسد حاصل 1 می شود .      0≠ a0 =1             a
 اما 00     را می گویند (نا معین) زیرا هم یک می توان گفت وهم صفر
۱)در ضرب اعداد توان دار :
الف)اگر پایه ها مساوی باشند یکی از پایه ها را نوشته و توان ها را جمع می کنیم  b a  ×  ac=  (b+c)  a
۲۱۲  =  ۲۵ × ۲۷ 
 ( y5 =  y2 y3 = yyyyy  =(y2)(y3   یا     : y2 y3 = y2+3 = y5

x2x3 = (xx)(xxx) = xxxxx = x5           = x2   ×   x3 =  x(2+3)=    x5

xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3)
ب)اگر توان ها مساوی باشند پایه ها را ضرب می کنیم و یکی از توان ها را می نویسیم. در ضرب اعداد توان دار با توان مشابه توانها را می نویسیم و پایه ها را ضرب می کنیم
۲۶ × ۵۶ = ۱۰۶
ج) اگر پایه ها نامساوی و نماها نیز نا مساوی باشند ابتدا هر یک از آن ها را به توان می رسانیم سپس در هم ضرب می کنیم.
27×25=۲3 × ۵2
مثال: حاصل ضرب مقابل را به صورت توان دار بنویسید.         = 53 × 53
253= 3 (5 × 5 ) = 53 × 53
توجه: هر یك از دو راه را كه انتخاب كنیم درست است     = 53 × 53
اف)     5×5×5×5×5×5= 56
ب)     25×25×25= 253                         253=56
توجه: در بعضی موارد كه پایه ها و توان ها هیچ كدام مساوی نیستند می توانیم با یك تغییراتی در اعداد ، پایه ها و یا توان های آنها را برابر كنیم.
 (الف)   96= 2 9 ×94=81× 94
 (ج) 95= 93×92= 93× 34   
۲)در تقسیم اعداد توان دار :
الف)اگر پایه ها مساوی باشند یکی از پایه ها را نوشته و توان ها را از هم کم می کنیم.
۲۳۶    ÷  ۲۹ 
  x4/x2 = (xxxx) ÷ (xx) = xx = x2    = x4÷x2 = x(4-2) = x2    (علامت /  خط کسری است)
     x2÷x2 = x2-2 = x0 =1
اگر توجه کنیدx0=1
ب)اگر توان ها مساوی باشند پایه ها را بر هم تقسیم می کنیم و یکی از توان ها را می نویسیم.
۳۷     =   ۲۷  ÷  ۶۷
اگر در تقسیم دوعدد ، توا ن پشت ( ) باشد ،توان برای هر دو حساب می شود. علامت / خط کسری است. y/y = 1
به انواع مثالها توجه کنید:
x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3)
(x/y)n = xn/yn )                   
 
 
    
     3  )توان در توان :
اگر عددی توان دار را مجددا به توان برسانیم توان ها را در هم ضرب می کنیم.
                         5  (   ۲۳     )  =۲۱۵
x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12`)     
(x3)4 = x3×4 = x12 )            

۴)توان- توان :
درعبارت هایی که به شکل a (m)
n هستند ابتدا باید m را به توان n برسانیم و پاسخ را توان a در نطر بگیریم.
                                        3
ابتداتوان را به توان برسانید.      5 2=۲۱۲۵           

 
5- قانون توان صفر:
هر عدد (به جز صفر) به توان صفر برابر است با یک.   0  ۳=    ۱       و   1=0  5
      90 = 1 به مثال زیر توجه کنید:
x2÷x2 = x2-2 = x0 =1
به مثالها توجه کنید وآنها را بررسی کنید.تا.....

35 = 3 ÷6 3 = 31 ÷ 36 =1- 6 3 = 35= 243
34 = 3 ÷5 3 = 31 ÷ 35 =1- 35 = 34= 81
33 = 31 ÷4 3 = 31 ÷ 34 =   1 - 4 3  = 33= 27
32 = 3 ÷3 3 = 31 ÷ 33 =1-- 3 3  = 32= 9
31 = 3 ÷2 3 = 31 ÷ 32 =1-  2 3    = 31= 3

 به طور منطقی اثبات می کنیم.  1=30 =    1-1 3 = 31 ÷ 31  = 30 .
اگر دوعدد مساوی با توان مساوی برهم تقسیم شوند را  داشته باشیم باز مساوی یک می شود:
m0 = m(n – n) = mn × m–n = mn ÷ mn = 1
نتیجه   :1-هرعدد به توان صفر=1    پس: 00 = 1
  2-صفر به توان صفر =صفر پس 00 = 0 البته ریاضی دانان می گویند "00" نامعین وتعریف نشده است.       
 

x0 = 1, پش ... 00 = 1
0n = 0, پس ... 00 = 0
       
تمام اعداد منفی وقتی به توان فرد می رسند، همان منفی باقی می مانند.      
مثال :     64- =   (4-)  یا        8 - = 3  (2 - )

توجه توجه:عدد به توان منفی  به مخرج کسر میرود .اگر صفر را به توان عددی منفی برسانیم،  چون حاصل در مخرج صفر دارد و تعریف نشده‌است.
تمام اعداد منفی وقتی به توان زوج می رسند مثبت می شوند :    9 = 2 (3-)
2(-2) = (2-) × (2-) = 4
     25 +  =(5-) × (-5)  =2( 5-)      
      
تمام اعداد مثبت وقتی به توان فرد یا زوج می رسند، مثبت باقی می مانند.
      
+25 =  ( 5 +) × (5+) =  2( 5+)         و125 += (5+  ) ×(+5)  ×   (+5) =  3( 5+)

1(-1)1 = 1  -      عدد منفی توان فرد
2(-1) = (    1-) × (1- ) +1     عدد منفی توان زوج
3(-1) = (1-) × (1-) × (1-) =1-  عدد منفی توان فرد
4(-1) = (1-) × (1-) × (1-) × (1-) = 1 +  عدد منفی توان زوج
مثال:   97 (-1)  =    1-

 6(-2)= 64 + عدد منفی به توان زوج برسد پاسخ مثبت می شود                   
قرینه ی عدد a یعنی a -. برای به دست آوردن قرینه ی هر عدد، آن عدد را در (1-) ضرب می کنیم.
 


 موارد توان را با   (  )  بررسی می کنیم:
2(2 -) = (2-) × (2-) = 4
22 -= (22)- =  (2 × 2) -= -4
ab)2 = ab × ab)
 ab2 = a × (b)2 = a × b × b     به چه نتیجه ای رسیدید؟
 

fractional exponents
43/2  یعنی 4به توان سه چهارم
m/n = m × (1/n)    (  /    یعنی خط کسری)


fractional exponents

m/n = (1/n) × m:

fractional exponents

برای اطلاعات بیشترتان بر روی هر کدام از عناوین زیرین که می خواهید کلیک کنید تا باز شود

قانونها ی توان در ریاضی - توان چیست؟


  اعداد1تا12 به توان               کسرهاوتبدیل به اعشارودرصد               فاکتوریل           مجذور وجذر 1تا100         

        جمع وتفریق عددهای توان دار                          توان اعدادبایکان1         توان اعشاری 10
عدد با توان منفی          رادیکال وتوان           رادیکال وتوان2          عددوتوان کسری         توان کسری  توان کسری-منفی
رادیکال-فرجه-توان کسری-منفی
گویا کردن -رادیکال ها 2
گویا کردن -رادیکال ها
توان علمی پاسخ به سوال
رادیکال-ضرب کردن رادیکال -تقسیم کردن رادیکال -گویا کردن رادیکال
جذر - ساده کردن رادیکال -جمع وتفریق رادیکال
تجزیه عدد
جذر-مجذور-ریشه عدد-رادیکال -کلاس هفتم
        عدد به توان منفی         توان کسری  

نماد علمی . توان علمی عدد

توان علمی پاسخ به سوال
888    روی علامت فلش کلیک کنید وتوان را ببینید روی دکمه سمت راست پاک کن است                                             


علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 
سلام
یکشنبه 1 اسفند 1395 07:23 ب.ظ
اگر همچین عددی بود چه کنیم
16*9×7*81=
یکشنبه 1 اسفند 1395 03:28 ب.ظ
چرا هنگامی که اعداد اعشاری را توان دار میکنیم کوچک می شوند مثلا 5.به توان 2 میشه25.
a
یکشنبه 1 اسفند 1395 01:20 ب.ظ
چراهرعددی بتوان0میشود1
محمد
شنبه 30 بهمن 1395 04:48 ب.ظ
ببخشید لطفا زود تر جواب من را زود تر بگین
احسان
شنبه 30 بهمن 1395 02:02 ب.ظ

ااحمد
شنبه 30 بهمن 1395 01:59 ب.ظ
محمد
شنبه 30 بهمن 1395 10:31 ق.ظ
سلام رابطه بین این نوع معادله رو لطفا زود تر بگین


3بتوان a. مساوی ۵
5بتوان b. مساوی ۳ حالا ۳ بتوان ab چقدر میشه
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 3
محمد
شنبه 30 بهمن 1395 09:34 ق.ظ
سلام رابطه بین این نوع معادله رو لطفا زود تر بگین


3بتوان a. مساوی ۵
5بتوان b. مساوی ۳ حالا ۳ بتوان ab چقدر میشه
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 3
محمد
شنبه 30 بهمن 1395 08:44 ق.ظ
سلام رابطه بین این نوع معادله رو لطفا زود تر بگین


3بتوان a. مساوی ۵
5بتوان b. مساوی ۳ حالا ۳ بتوان ab چقدر میشه
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : به جای 3 به توانaبنویس5 بهتوانb ودراخر =3
امیرحسین
پنجشنبه 28 بهمن 1395 04:28 ب.ظ
ببخشید ممنون از کار خوبتون
اگرنه توان ونه پایه برابر باشند و دو پا یه ها نسبت بهم اول باشند چه باید بکنیم
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : موارد گوناگونند یا تجزیه ویا به توان رساندن ویا هم توان کردن قسمتی
دوشنبه 25 بهمن 1395 08:13 ب.ظ
سلام با تشکر از وبلاگ های خوبتون من چند موضوع دیگه هم ازتون پرسیدم جواباتون کاملا درست و دقیق هست یک سوال داشتم و اونم اینه که لطفا این سوالو برام حل کنید جمله های کلامی زیر را به صورت عبارت جبری نشان دهید صفر به توان هر عدد برابر است با.............؟؟؟؟؟؟؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : خودش
sadegh
دوشنبه 25 بهمن 1395 08:13 ب.ظ
شما وبلاگ های متنوعی دارین و این به درد من خیلی خورد ممنونم
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی :
sadegh
دوشنبه 25 بهمن 1395 08:12 ب.ظ
خیلی خیلی ممنونم
sadegh
دوشنبه 25 بهمن 1395 08:11 ب.ظ
شما وبلاگ های متنوعی دارین و این به درد من خیلی خورد ممنونم
دوشنبه 25 بهمن 1395 08:08 ب.ظ
سلام با تشکر از وبلاگ های خوبتون من چند موضوع دیگه هم ازتون پرسیدم جواباتون کاملا درست و دقیق هست یک سوال داشتم و اونم اینه که لطفا این سوالو برام حل کنید جمله های کلامی زیر را به صورت عبارت جبری نشان دهید صفر به توان هر عدد برابر است با.............؟؟؟؟؟؟؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : صفر
سارا
جمعه 22 بهمن 1395 09:19 ب.ظ
تورو خدا زود جواب بدین.
مسئله یه نمره بیست در میونه
ستاره
جمعه 22 بهمن 1395 07:25 ب.ظ
یا توان ها را جمع میکنیم و یا پایه ها را ضرب میکنیم. درسته؟؟
ستاره
جمعه 22 بهمن 1395 07:19 ب.ظ
سلام خواهش میکنم بگید ضرب دو عددتوان دار با پایه و توان مساوی چی میشه؟
خواهش میکنم زود جواب بدین فردا امتحان دارم
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : یا پایه انتخاب شوودوتوانها جمع شود
یا پایه ها ضرب شود ویک توان انتخاب
جمعه 22 بهمن 1395 06:10 ب.ظ
سلام من میخواستم بدونم میشه 3√2*2√5رو به صورت 6√10 نوشت?
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بله
یکشنبه 17 بهمن 1395 08:44 ب.ظ
ببخشید چرا ۳-با(3-)فرق داره؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : درتوانها عددوعلامت داخل پرانتز هردو به توان می رسند
اما 3- عدد به تنهایی به توان می رسد
یکشنبه 17 بهمن 1395 08:41 ب.ظ
ببخشید چرا ۳-با(3-)فرق داره؟
لیلا
یکشنبه 17 بهمن 1395 12:32 ب.ظ
سلام چرا رادیکال منفی 1 بتوان 2 برابر منفی یک نیست؟مچکرم اگه زود جواب بدید
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : عددهای منفی ریشه دوم ندارند
جمعه 15 بهمن 1395 06:31 ب.ظ
سلام
ببخشید چطور میتونیم اثبات کنیم هر عددی به توان منفی برابر معکوس همان عدد به توان مثبت است؟؟؟
بینهایت سپاسگزارم
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : هرعددخیر
رها
جمعه 15 بهمن 1395 03:35 ب.ظ
خانوم فتحی چرا دو به توان دو برابر با دو هستش تروخدا جواب بدین
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : 4
زهرا
جمعه 8 بهمن 1395 07:55 ب.ظ
سلام اگ توان زوج باشد علامت مثبت منفی عدد تغییر می کند تشکر می کنم فردا امتحان دارم
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : شرط که هم عدد وهم علامت داخل ( ) باشند
پگاه
چهارشنبه 6 بهمن 1395 02:06 ق.ظ
میخواستم ببینم جواب این سوال چی میشه:
145 به توان 59 تقسیم بر 6...
خواهش میکنم جواب بدید
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : عددیکه یکان پنج باشد بر6 که باقی مانده همان 5 هست

mahboob
سه شنبه 5 بهمن 1395 08:46 ب.ظ
وقتی اعداد داخل پرانتز توان دارند و بیرون پرانتز هم توان داریم چگونه حساب می شود؟ وقتی پرانتز نداشته باشیم چطور؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : اگر تک عدد باشد باید توان داخلی در توان پشت پرانتز ضرب شود
اگر پرانتز ندارد عددتوان را به توان بالایی برسان عدد جد ید توان عدد پایه می شود
درهمین صفحه بالا هست
جمعه 1 بهمن 1395 06:16 ب.ظ
کی توانم سوالی غیر ای مطلب بپرسم
اگه آره میشه بگین آیا عدد منفی۶۴ مضرب ۸ محسوب می‌شود سه
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : بله
بهار
جمعه 1 بهمن 1395 12:43 ب.ظ
سلام
یک دوم به توان هشت سوم چگونه محاسبه میشود؟؟
پاسخ عفت فتحی باغبادرانی : ببر داخل رادیکال با توان8 وفرجه 3
سلام
شنبه 25 دی 1395 03:11 ق.ظ
سلام
X به توان 0.54 مساوی است با 25.64
ایکس رو چحوری باید محاسبه کنیم2؟؟؟؟
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر


نمایش نظرات 1 تا 30