تبلیغات
معلم5 فتحی - مطالب شهریور 1394

آموزشی.اطلاعات مفید علمی . سوال های درسی . تدریس ریاضی

فاصله - مجموعه اعدادبین دوعدد

تاریخ:سه شنبه 31 شهریور 1394-10:45 ق.ظ

نمایش مجموعه با علائم ریاضی


زیرمجموعه ها

مجموعه ها در ریاضی

مجموعه ها نمودار ون

فاصله بین دوعدد-یاعدادبین

فاصله :  همه اعداد بین دوعدد.

مثال: همه اعداد بین 1تا6 را فاصله بین گوییم.

همه  اعداد یعنی چه?

همه اعداد حقیقی که بین 1تا6

اعداد حقیقی شامل اعداد گویا ، صحیح ، گنگ و......

مثال     فاصله اعداد بین 2 تا 4  مثل اعداد زیر:


2.1 2.1111 2.5 2.75 2.80001
π
7/2 3.7937

وتا بی شمار عدد ادامه دارد!

ایا پایانی هم دارند?شاید....بله ......شاید خیر....... 

مثال: "یک جعبه 20 کیلویی داریم . اگر  20 کیلویی  را در 3 صورت در  نظر آوریم":

  • نابرابری، عدم تساوی، نامساوی
  • فاصله روی محور خطی
  • کاربرد نماد

 نشان دادن مجموعه بانامساوی

نابرابری، عدم تساوی،

مابرای  نابرابری، عدم تساوی این علائم را به کار می بریم:

  • > بیشتراز
  • بیشتر از یا مساوی
  • < کمتراز
  • کمتراز یا مساوی

مثال:

مثال: x ≤ 20

می گوییم : "xکمتر یا مساوی20"

منظور : اعداد بیشتر از20 وخودعدد 20

نشان دادن مجموعه با  کار برد نماد

فاصله اعداد شروع وپایان  را داخل کروشه  [ ] وگذاریم:

  • [ ] عددی که شامل مجموعه می شود کنارش [  ] می گذاریم.
  • ( ) عددی که شامل مجموعه نیست کنارش (  ) می گذاریم.

مثل:       [ 0,20] 

مجموعه از0 تا20     ،هم شامل 0 وهم شامل 20 هست.

[ 0,20)

مجموعه 0 تا20     ،مجموعه شامل 0  نمی شود ولی  شامل 20 هست.

(0,20]
مجموعه 0 تا20     ،مجموعه شامل 0  هست  ولی  شامل 20 نمی شود.

مثال: فاصله اعداد (5, 12]

منظور از  5 تا 12,که  5 را نمی خواهیم وشامل مجموعه نیست , 12را می خواهیم

 نشان دادن مجموعه باا ستفاده از محور

فاصله را روی محور نشان می دهیم و اغاز وپایان را با دایره پررنگ ویا توخالی نشان می دهیم:

  • دایره توخالی یعنی آن عدد شامل مجموعه نیست دراینجا صفر
  • دایره توپر یعنی ان عدد شامل مجموعه هست.

مثل:

مثال:

(0, 20)

همه اعداد بین  0 و 20, که 0شامل مجموعه نیست , اما  20شامل مجموعه هست

 

همه 3 حالت باهم

در زیر ما فاصله اعدادرا با علائم  با 3 حالت نشان می دهیم):

  از 1   تا 2
  شامل 1 شامل  1نمی شود   شامل 2 نمی شود شامل 2
نامساوی: x ≥ 1
"بزرگتر یا
مساوی 1
"
x > 1
"بزرگتراز1"
 
  x < 2
"کمتراز"
 
x ≤ 2
"کمتر
یا مساوی"
محور اعداد: ≥1 >1   <2 ≤2
نماد : [1 (1   2) 2]

 

مثال:  مجموعه را نمایش دهید که تا   1شامل شود, و  2شامل مجموعه نباشد:با 3 حالت نمایش دهیم:

نامساوی:

x ≥ 1 و x < 2

یا باهم: 1 x < 2

روی محور: ≥1<2
نماد: [1, 2)

مثال بیشتر

مثال1: "هیچ جنسی کمتر از 10 دلار نشود."

یعنی جنس مورد نظز بیشتراز 0 و کمتر یا مساوی 10 دلار باشد .


نمایش با علامتهای نامساوی:

قیمت ≤ 10 وقیمت > 0

در حقیقت خلاصه :

0 < قیمت ≤ 10

نمایش با محور:

(0, 10]

نمایش با نماد:

(0, 10]

 

 

مثال 2: "    سن دوستان از 14و18"

بنابر این  14 شامل مجموعه هست, و "18شامل مجموعه  هست " تا 19(ولی 19 را شامل نمی شود.).

نمایش با عامت های نامساوی:

14 ≤ سن < 19

نمایش با محور:

[14, 19)

نمایش با نماد:

[14, 19)

محور نشان می دهد که از خود14 ساله ها درنظر گرفتیم  و 19 را با دایره توخالی نشان دادیم یعنی خود19 را در نظر نمی گیریم ولی نزدیک 19 را به حساب می اوریم مثلا  ½18را حساب می کنیم .

نمایش مجموعه باز  یا بسته

به مثالها توجه کنید:

(a, b)   a < x < b   نامساوی ( باز)
[a, b)   a ≤ x < b   چپ بسته, راست باز
(a, b]   a < x ≤ b   چپ باز, راست بسته
[a, b]   a ≤ x ≤ b   نامساوی بسته


تا بینهایت یا بی شمار (اما نه تا ماورا!)

نمایش مجموعه  تا بیشمار.

تا بیشمار , منظور "ادامه دار ..."

مثال: x بزرگتراز, یا مساوی, 3:

[3, +∞)

[3, infinity)

نمایش با نماد ونمساویها  که با کمک  علامت [     یا (     حدود مشخص می شود!

دراینجا 4 حالت ممکن "تابیشمار  داریم":

فاصله   نامساوی ها
   
(a, +∞)   x > a   "بزرگتراز a"
[a, +∞)   x ≥ a   "بزرگتراز یا مساوی a"
(-∞, a)   x < a   "کمتر ازa"
(-∞, a]   x ≤ a   "کمتراز یا مساوی a"

محدود ه: (-∞, +∞)

Two Intervals

می توانیم مجموعه را با  با دو یا بیشتر از علامت ناساوی ها استفاده کنیم. .

مثال: x ≤ 2 یا x >3

نمایش با محور:

two intervals

نمایش با نماد::

(-∞, 2]  U  (3, +∞)

اشتراک  "U"معنی  (اشتراک دریک مجموعه).

روی لینکها کلیک کن

مجموعه ها در ریاضی

مجموعه ها نمودار ون

نکته: توجه کنید که حرف x را با علامت × غلط اشتباه نگیرید (No غلط).
البته در کاربرد نامساوی ها:

2 ≥ x > 3 (No غلط)

در نمایش قبلی این مورد غلط نمایش داده شده  نمیتوان کمتراز 2 و بیشتر از 3  عددبنویسیم.

اجتماع واشتراک

مادر مجموعه ها   "اجتماع" را با (علامت )نمایش می دهیم.

اینجا  "اشتراک" که منظور  " عضوها درهردومجموعه ". "مجموعه ای که عضوه هم در A  وهم در  B باشد?".

علامت اشتراک همان   "U"    که وارونه یا  سر پایین شده مثل این:

مثال:   اشتراک  دو مجموعه    (-∞, 6]   (1, ∞)

نمایش اولی  (شامل6)   تا بیشمار منفی

ودومی از  1  تا بی نهایت (اما  ، 1  را شامل نمی شود  ).

اشتراک (یا عضو مشترکها)این دو مجموعه از 1 تا6(شامل  1نیست  ,شامل 6می شود  ):

(1, 6]

 

نتیجه

    فاصله منظور این که کلیه اعداد بین دو عدد
  • شروع وپایان مجموعه را مشخص کنیم .
  • راههای نمایش مجموعه : باعامت نامساویها, محور اعداد ونماد [ ]  و(  ) .




علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
نظرات() 

نمایش مجموعه با علائم ریاضی

تاریخ:دوشنبه 30 شهریور 1394-07:39 ق.ظ

فاصله -اعدادبین دوعدد

زیرمجموعه ها


مجموعه ها در ریاضی

مجموعه ها نمودار ون


نمایش مجموعه با علائم ریاضی


set  

به تعدادی از اشیاء، اعداد ، افراد ، مشخص که گروهی را تشکیل بدهند و ازهم متمایز باشند مجموعه می گویند. هر یک از اشیاء ، افراد، اعداد یک مجموعه یک عضو مجموعه نامیده می شوند.).

مثال: {5, 7, 11} یک مجموعه 3 عضوی.

ما می توانیم یک مجموعه ای به زبان ریاضی بنویسم که مجموعه را شرح دهد:

نشان دادن مجموعه اعداد به زبان ریاضی:

                                             {    0< x   {x   |x              

    }    مجموعه       ،      خط عمودی  | x یعنی مثل انکه،  xهاییکه        ،           <بزرگتر   

    {    0< x                                           {x   |x      

یعنی  "مجموعه همه ی x    ها', کهx بزرگتراز  0     است".

به زبان دیگر عددهای بزرگتر از  0

نتیجه :

  • به جای  "x" , می تواند هر حرفی باشد, مثل { q | q > 0 }
  • بعضی ریاضی دانان     دو نقطه  ":" به جای "|",    می گذارند، { x : x > 0 }

 مشخص کردن نوع اعداد

همچنین گاه نوع عدد  x را مشخص می کنند : نوع عدد یعنی عددحقیقی ( R)  عددصحیح (Z )   اعداد طبیعی (N ) 

رای برخی از مجموعه‌های خاص، اسامی خاصی به کار می‌بریم که باید آن‌ها را به خاطر سپرد:
  • مجموعهٔ اعداد طبیعی را با  (  N)  نشان می‌دهیم و داریم .N{1،2،3  ،...}=N=
  • مجموعهٔ اعداد طبیعی نابیشتر از عدد طبیعی k را قطعه‌ای از اعداد طبیعی می‌گوییم و به صورت  نشان می‌دهیم و داریم 
  • .N{1،2،3  ،...،K}=N=
  • مجموعهٔ همهٔ اعداد اول را با P نشان می‌دهیم.
  • مجموعهٔ اعداد حسابی را با W نشان می‌دهیم و داریم .P{0،1،2،3  ،...،}=N=
  • مجموعهٔ اعداد صحیح را با  Z={...،-2،-1،0،1،2،3  ،...،}=Nنشان می‌دهیم.
  • مجموعهٔ اعداد گویا (منطق) را با  Q   نشان می‌دهیم. طبق تعریف داریم :.
  • همچنین گاه درنمایش  مجموعه   با علائم ریاضی نوع عدد  x را مشخص می کنند :                     
      {    3< x                                           {x R |x

    <

    علامت بزرگتر یا مساوی

    R یعنی xمتعلق به عددهای حقیقی

    •  ∈ منظور "عضو" (عضوهایی که متعلق به "نوع اعداد")
    •  Reals یعنی مجموعه عددهای حقیقی.

    پس مفهوم  این مجموعه: می خوانیم:

      {    3< x                                           {R |x

    "مجموعه همه x'   هایی که عضو اعداد حقیقی  یا متعلق به اعداد حقیقی هستند.
    همچنین x بزرگتر یا مساوی  3" باشد.

    به زبان دیگر  "همه اعداد حقیقی از3 به بالا"

     الف-راه دیگر نشان دادن  این مجموعه  روی محور:[3, infinity)

    علامت  reals (علامت عددهای حقیقی). در زیر انواع عددها و علامت مخصوص انها:

    Natural Numbers Integers Rational Numbers Real Numbers Imaginary Numbers Complex Numbers
    عددهای طبیعی عددهای صحیح عددهای گویا عددهای حقیقی عددهای موهومی
     اعدادمختلط

     

    عددهای اول دوقلو وسه قلو

    مثال: { k Z | k > 5 }

     مجموعه را می خوانیم ( مجموعه همه k' هاییکه متعلق به عددهای صحیح هستند.که k' ها بزرگتراز 5 باشند.)

    یا همه  k' ها که بزرگتراز 5 هستند.. که به این صورتA={6،7،8  ،...}=A نوشتیم


    به این صورت  {6, 7, 8, ... } , پس:

    Z={ k reals | k > 5 } = {6, 7, 8, ... }=Z

    چرا به این صورت می نویسیم?

    وقتی ما مجموعه عددهای صحیح مثبت 2تا6 را مینویسیم: 

    {2, 3, 4, 5, 6}

    اما چرا باید عددهای حقیقی 2 تا 6  را اینگونه نشان دهیم?

                                           R={2،2.1،2.01،2.001،2.0001  ،...}=A

      در این گونه مواقع برای نشاندادن مقدار  مجموعه   بالااز علائم استفاده می کنیم:

    مثال: { x ≤ 6 و   x R | x > 2 }

    شروع ان  xهابا همه عددهای حقیقی،که حدود ان از2 تا خود6 باشد.

    ویا مجموعه زیر:

    { x reals | x = x2 } = {0, 1}
    همه عددهای حقیقی که x = x2
      0و1 که فقط x = x2

    مثال دیگر:

    مثال: x ≤ 2 یا x > 3

    با زبان علائم این صورت:

                                          { x > 3 یا   x R | x < 2 }

     

    همان مجموعه روی محور:

    two intervals

    همان مجموعه  با فاصله.. و:     (∞+ ،    3)   اشتراک       (   2و∞-   )که بین این  دو پرانتز حرف "U"می گذاریم:

    منظور از "U" اشتراک).





    علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
    نظرات() 

    توان جذر

    تاریخ:دوشنبه 30 شهریور 1394-07:24 ق.ظ

    رادیکال به توان

    توان 10

    رادیکال-فرجه-توان کسری-منفی

    توان رساندن یک عدد تواندار-اثبات

    یکان عددهای توان دار با توان بزرگ

    خلاصه مطلب

    a0 = 1

    a1 = a

    Negative Exponent Rule

    Radical Exponent Rule

    am · a n = am+n

    am : a n = am - n

    (am)n = am · n

    an · b n = (a · b) n

    an : b n = (a : b) n

    Simplifying Radicals

    Simplifying Radicals

    Factors within Radical Sign


    Sum of Radicals

    Product of Radicals

    Quotient of Radicals

    Radical within a Radical


    گویا کردن رادیکال

    1Radical Quotient

    Rationizing

    2Radical Quotient

    Rationizing

    3Radical Quotient

    Rationizing






    علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
    نظرات() 

    عددهای مرکب ساعت دقیقه ثانیه

    تاریخ:یکشنبه 29 شهریور 1394-07:56 ق.ظ

    واحد اندازه گیری زمان ثانیه است. (s).

    واحد های اندازه گیری زمان:

    ثانیه (s).

    دقیقه (min) = ثانیه 60 s.

    ساعت (h) = دقیقه 60 min =ثانیه 3,600 s.

    یک روز = 24 ساعتh.

    هفته = 7 روز.

    نصف ماه = 15 روز.

    ماه = 28 یا 29 یا 30 یا 31 روز.  ( بعضی ماه های خارجی 28 روز هم هست)

    فصل = 3 ماه

    نیمسال = 6 ماه.

    سال = 365 روز یا 366روز (سال کبیسه).

    دهه = 10 سال.

    قرن = 100 سال.

    هزارمین سال = 1,000 سال.



    در عددهای مرکب که برپایه 60 تایی است موارد زیر را باید درنظر داشته ومفاهیم پایه را بدانی.

    1 ساعت ( h)                               (دقیقهmin  )60                             هر دقیقه s)  60) ثانیه

     0 1                                              60'                                                         " 60     


    تبدیل عددهای مرکب

    تبدیل  3 ساعت, 36 دقیقه, 42 ثانیه به ثانیه.

      3ساعت                                 10800ثانیه=3×3600

                         2160ثانیه=60×36

         42 ثانیه

      13002=

    Sexagesimal Decimal Conversion

    تبدیل ثانیه ها به عدد مرکب: 7,520''          به عدد مرکب تبدیل شود.

       ساعت  2=3600÷7520      که 320 ثانیه باقی مانده       

           5=60÷320   که 20 ثانیه باقی مانده                "20         '5               2                                                       

    7,520''      راه دوم:

    Sexagesimal Decimal Conversion

    تبدیل عدد اعشاری به عدمرکب     : 2.32 ساعت به عددمرکب   می شود:   2 ساعت که خود 2ساعت   اما قسمت اعشاری 0.32   را در 60 ضرب کنید:

                                     19.2 =   0.32   ×60            حالا 0.2 را در 60 ضرب کنید:      12 =   0.2   ×60    پس  می شود:   

                                                         2.32=               "12         '19               2

     راه دوم:

    Sexagesimal Decimal Conversion


    اندازه گیری زمان و زاویه:   2ساعت  را 2 درجه می توان نوشت 20  = 2ساعت

    جمع عددهای مرکب:

    1.زیر هم  مینویسیم ودقت می کنیم که( ساعت زیر ساعت  ، دقیقه زیر دقیقه ، ثانیه زیر ثانیه  ) و هر مورد را جدا جدا جمع می کنیم:

          


               "48         '24               32   

               "25         '49               43+
                  "73         '73               43

    Sexagesimal Addition

    2. مجموع  هر مورد 60 یا بیشتر از 60  شد ، از حاصل ثانیه ها  60 واحد کم شود ویک واحد به دقیقه ها اضافه شود ،

     یا هر مورد بر 60 تقسیم شود ،خارج قسمت به دقیقه اضافه شود . وباقی مانده بهدر ستون خودش نوشته شود.

    Sexagesimal Addition

    3.وهمین طور 60 واحد از دقیقه ها کم شود ویک واحد به ساعت ها اضافه شود.یا هر مورد بر 60 تقسیم شود ،خارج قسمت به دقیقه اضافه شود . وباقی مانده در ستون خودش نوشته شود.


    Sexagesimal Addition

                                                                                 

                  "48         '24               32   

               "25         '49               43+
                  "73         '73               76

        
                 "13         '14               76

    تفریق عددهای مرکب:

    1.

    زیر هم  مینویسیم ودقت می کنیم که عددبزرگتر بالا نوشته شود( ساعت زیر ساعت  ، دقیقه زیر دقیقه ، ثانیه زیر ثانیه  ) و هر مورد را جدا جدا تفریق می کنیم.

               "18         '23               52   
               "25         '49               43ـ


    2.ببینید  در ستون ثانیه ها 25 را از 18 نمی توان کم کرد، از ستون دقیقه ها یک واحد کم شود و60 ثانیه به 18 در ستون ثانیه اضافه شود.

    حالا ممکن شد،78=60+18    حالا 25  را از 78  کم می کنیم :


                 "78         '22               52   
               "25         '49               43   ـ
                  "53             


    3.ببینید  در ستون دقیقه ها 49 را از22 نمی توان کم کرد، از ستون ساعت یک واحد کم شود و60 دقیقه به 22  در ستون دقیقه اضافه شود

    82=60+22    حالا 49  را از 82  کم می کنیم :.

               "78         '82               52   

               "25         '49               43ـ
                  "53         '33               8

    دقت کنید خلاصه:


               "18         '23               52   

               "25         '49               43ـ
                  "53         '33               8



        
                 

    ضرب در عددهای مرکب در یک عدد:

    1.

    باید هر عددرا در دقیقه  وثانیه وساعت ضرب کنید:.


               "49         '23               32   

               "5×                                     
                  "245         '115               160

    Sexagesimal Multiplication

    2.مثل موارد بالا   254ثانیه را بر60 تقسیم کنید ,وخارج قسمت را به دقیقه اضافه کن وباقیمانده را زیر ستون ثانیه بگذارو

                                   باقیمانده =   5 ثانیه                            دقیقه  4 =   60    ÷     245

                       "49         '23               32   

               "5×                                     
                  "5         '119               160

    3.

    مثل موارد بالا 119 دقیقه را بر60 تقسیم کنید ,وخارج قسمت را به ساعت اضافه کن وباقیمانده را زیر ستوندقیقه بگذارو .

    Sexagesimal Multiplication     

                        "49         '23               32   

               "5×                                     
                  "5         '59               161

    تقسیم عددهای مرکب:  

      "25         '48               37   بر5

    تقسیم "37º 48' 25     بر 5مساوی:

    1. 37ساعت را بر5تقسیم کن  خارج قسمت=7  ساعت   وباقی مانده= 2 ساعت


    Sexagesimal Division

    2.

    2 ساعت باقی مانده را در60 ضرب کنید=120 دقیقه.

    Sexagesimal Division

    3.

    120دقیقه را  با 48 دقیقه جمع کنید = 168 دقیقه

    سپس 168 دقیقه را بر5 تقسیم کن. خارج قسمت=33 دقیقه    وباقی مانده= 3 دقیقه

    Sexagesimal Division

    4.

    3 دقیقه باقی مانده را در60 ضرب کنید=180 ثانیه..سپس 180ثانیه با 25 ثانیه جمع کنید:=205 ثانیه

    205را بر5 تقسیم کن. خارج قسمت=41 ثانیه   

    Sexagesimal Division

    نتیجه تقسیم:

               "25         '48               37   

               "5÷                                     
                  "41         '33               7





    علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
    نظرات() 

    اعداد حقیقی-عملیات

    تاریخ:پنجشنبه 26 شهریور 1394-10:39 ق.ظ

    جابه جایی-شرکت پذیری-توزیع پذیری

    اعداد حقیقی

    جمع اعداد حقیقی

    خواص

    1. بسته بودن:

    حاصل جمع دوعددحقیقی  ، عددحقیقی دیگر است.

    A + b PerteneceReal Number

    pi + Golden Section PerteneceReal Number

    عمل تفاضل در مجموعه اعداد حقیقی خاصیت شرکت پذیری ندارد.

    2. شرکت پذیری :

    شرکت پذیری در جمع  که 3 عدد لازم داریم:

      در جمع 3 عدد    ،دوتایی باهم تشکیل گروه دهند تاثیری در حاصل ندارد.

    (a + b) + c = a + (b + c)

    Real Number Properties

    3. جابه جایی :

    اگردوعدد جمع شود در جابجایی اعداد تاثیری در حاصل ندارد.

    a + b = b + a

    Real Number Properties

    4. این همانی:

    The 0 حاصل جمع هر عددبا صفر مساوی همان عدد.

    a + 0 = a

    pi + 0 = pi

    5. حاصل جمع هر عددبا قرینه اش :

    Tجمع هر عدد با قرینه اش مساوی صفر.

    a + (−a)= 0

    e − e = 0

    قرینه ی قرینه هر عدد =خود عدد.

    (Golden Section−) -= Golden Section

    تفریق اعداد حقیقی

    حاصل تفریق  دو عدد  حقیقی.

    a − b = a + (−b)

    ضرب اعدادحقیقی

    در ضرب اعداد حقیقی باید به ضرب علامت ها در اعداد صحیح وگویا توجه شود:

        +  در +=+

    در ـ =ـ


    ـ  در ـ =+


    ـ   در +=ـ

    خواص

    1. بسته بودن:

    حاصل ضرب اعداد حقیقی  باز اعداد حقیقی می شود.

    a · b PerteneceReal Number

    2. شرکت پذیری:


    شرکت پذیری در ضرب  که 3 عدد لازم داریم:

    در ضرب هردوتایی که باهم گروه تشکیل دهند تاثیری در حاصل ندارد..

    (a · b) · c = a · (b · c)

    (e · pi ) · Golden Section = e · (pi · Golden Section)

    3. جابه جایی:

    در ضرب اعداد جابه جایی تاثیری در حاصل ندارد..

    a · b = b · a

    Real Number Properties

    4. ضرب عدد در 1:

    هرعدد در 1 ضرب شد حاصل همان عدد.

    a · 1 = a

    pi · 1 = pi

    5. ضرب عدددر معکوس:

    هر عدد در معکوس خودش ضرب شد حاصل مساوی یک می شود.

    Real Number Properties

    Real Number Properties

    6. توزیع پذیری:


    a · (b + c) = a · b + a · c

    pi · (e + Golden Section) = pi · e + pi · Golden Section

    فاکتور گرفتن:

    .

    a · b + a · c = a · (b + c

    pi · e +pi · Golden Section = pi · (e + Golden Section

     حاصل تقسیم دو عدد حقیقی مثل ضرب عدداولی درمعکوس دومی

     





    علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
    نظرات() 

    عددهای حسابی

    تاریخ:سه شنبه 24 شهریور 1394-06:44 ق.ظ



    اعداد حسابی همان اعداد طبیعی در دستگاه اعداد عربی هستند که صفر هم به آنها اضافه شده است. به اعداد حسابی اعداد صحیح نامنفی هم گفته می‌شود. مجموعه اعداد طبیعی {... ،۳ ،۲ ،۱} است. در این مجموعه عدد صفر وجود ندارد و با اضافه کردن آن، مجموعه اعداد حسابی- {... ،۳ ،۲ ،۱ ،۰} - به وجود می‌آید. و به صورت W که میان ان یک مُمیَز می‌باشد نشان داده می‌شود. در حقیقت W حرف اول کلمه انگلیسی Whole به معنی کامل است که معمولاً یک خط کنار ان میگزارند تا با کلمات دیگر قاطی نشود.
    تمامی مجموعه‌هایی که از این نوع اعداد درست شده را با I نشان می‌دهند.



    علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
    نظرات() 

    زیرمجموعه ها

    تاریخ:شنبه 21 شهریور 1394-09:52 ق.ظ

    نمایش مجموعه با علائم ریاضی

    فاصله -اعدادبین دوعدد

    زیرمجموعه ها

    مجموعه ها در ریاضی

    مجموعه ها نمودار ون

    اگر A و B دو مجموعه باشند و تمام اعضای A در B نیز باشد، آنگاه:

    • می توان گفت که A زیرمجموعهٔ B است و آن را به صورت A \subseteq B نمایش می‌دهیم.

    همچنین از سوی دیگر می‌توان گفت:

    • B ابرمجموعهٔ A است.

    به عنوان مثال، اگر داشته باشیم {B = {۱, ۲, ۵, ۷

    آنگاه {A = {۱, ۷ که با حذف عضوهای ۲ و ۵ به‌دست آمده‌است را زیرمجموعهٔ B می‌گویند.

    اگر مجموعهٔ A زیرمجموعهٔ B باشد و هم‌زمان مجموعهٔ B نیز زیرمجموعهٔ A، مجموعه‌های A و B با یکدیگر برابرند.

    فعالیت: زیر مجموعه ها الگویابی

    خواهشمندم اول لینک زیر  را مطالعه کن !

                                                        

                                                  مجموعه ها در ریاضی مقدمه

    این فعالیت برای درک مفهوم زیر مجموعه انجام می شود.

    زیر مجموعه چیست?

    Bزیر مجموعه A,گوییم . وقتی هر عضوB  در عضوA  هم هست .

    ما با مثالی ساده مفهوم را روشن می کنیم:

    شما می توانید بستنی مورد علاقه خود را انتخاب کنید.:

    {بستنی موزی, شکلاتی, وانیلی}

    بستنی مورد علاقه شما می توانید یک نوع  بستنی   باشد: {موزی}, {شکلاتی}, یا {وانیلی},

    یا دو نوع : {موزی, شکلاتی}, {موزی, وانیلی}, یا {شکلاتی, وانیلی},

    یا هر سه نوع باشد: ,{بستنی موزی, شکلاتی, وانیلی}     (البته منظور شکمو بودن نیست)!!!!

    یا بگوید : نه متشکرم"هیچکدام ", که مفهوم آن  "تهی": { }

    مثال دیگر: مجموعه {احمد, بهرام, علی, داود}

    زیر مجموعه ها:یک نفره

    • {احمد}
    • {بهرام}
    • {علی}
    • {داود}

    دونفره:

    • {احمد, بهرام}
    • {احمد, علی}
    • {بهرام, داود}
    • {بهرام, علی}
    • {احمد , داود}
    • {علی, داود}

    3نفره:

    • {احمد, بهرام, علی}
    • {احمد, بهرام, داود}
    • غیره ...

    وهمچنین داریم:

    • تمام مجموعه: {احمد, بهرام, علی, داود}
    • هیچکدام  تهی: { }

    مجموعه تهی

    چند زیر مجموعه تهی داریم?

    یک مورد انتخاب:

    • هیچ یک ازکل گروه: {}
    • مجموعه تهی: {}

    اما , یک دقیقه شما هنگ کردید , این دو مفهوم که یکسان است؟!

    بنابراین یک مجموعه تهی هست (انتخاب مجموعه تهی است). هیچ!!!


    یک مجموعه با یک عضو

    شما می توانید انتخاب کنید , امانه هر چیزی  فقط از مجموعه زیر حق انتخاب دارید:

    {سیب}

    این مجموعه  {سیب} چند زیر مجموعه دارد؟

    • خود مجموعه: {سیب}
    • مجموعه تهی: {}

    همه انتخاب شما این است.شما یا می توانید یک سیب انتخاب کنید یا هیچ, .

    بنابراین  هر مجموعه با  یک  عضو  فقط  2 زیر مجموعه دارد.

    یک مجموعه با 2 عضو

    ما یک عضو به مجموعه قبل اضافه کردیم:

    {سیب,موز}

    این مجموعه  {سیب، موز} چند زیر مجموعه دارد؟

    انتخاب یک نوع میوه {سیب}, یا {موز}, :

    • همه میوه ها: {سیب,موز}
    • هیچکدام ، مجموعه تهی: {}

    بنابراین  هر مجموعه با 2  عضو  فقط  4 زیر مجموعه دارد.

    یک مجموعه با 3 عضو

    این مجموعه 3 عضوی چند زیر مجموعه دارد؟:

    {گیلاس، موز، سیب}

    زیرمجموعه ها عبارتند از::

    انتخاب یک نوع میوه: {سیب}, {موز}, {گیلاس}

    انتخاب 2نوع میوه: {سیب, موز}, {سیب, گیلاس}, {موز, گیلاس}

    و:

    • انتخاب کل میوه ها: {گیلاس، موز، سیب}
    • هیچکدام ، مجموعه تهی: {}

    در حقیقت می توانید از جدول استفاده کنید:

      لیست تعداد زیر مجموعه
    تهی {} 1
    یک عضوی
    {سیب}, {موز}, {گیلاس} 3
    دو عضوی
    {سیب, موز}, {سیب, گیلاس}, {موز, گیلاس} 3
    3 عضوی
    {سیب, موز, گیلاس} 1
    مجموع زیر مجموعه ها: 8

    (نکته: آیا می توانی  الگویی دراین جدول بیابی?)

    یک مجموعه با 4 عضو

    (این بار شما فعالیت  را انجام دهید!)

    با توجه به گفته ها وفعالیت های بالا همان فعالیت  را انجام دهید:

    {گیلاس، موز، سیب، خرمالو}

      در جدول وارد کنید:

      لیست تعدادزیرمجموعه
    هیچ عضو
    {}  
    یک عضوی    
    دو عضوی
       
    3عضوی    
    4 عضوی
       
    مجموع زیر مجموعه ها:  

    (نکته :اگر درست انجام دهید الگویی جالب پی دا می کنید..)

    یک مجموعه با 5 عضو

    وحالا:

    {گیلاس، موز، سیب، خرمالو، تخم مرع}

    در جدول وارد کنید::

      لیست تعدادزیرمجموعه
    هیچ عضو
    {}  
    یک عضوی    
    2عضوی    
    3 عضوی    
    4 عضوی    
    5  عضوی    
    مجموع زیر مجموعه ها:  

    (چه الگویی پیشنهاد می کنید?)

     

    یک مجموعه با 6 عضو

    دباره این مجموعه:

    {گیلاس، موز، سیب، خرمالو، تخم مرع، شربت}

    بله  ... احتیاجی نیست که دیگر جدول را پر کنید...

    ... حالا دیگر شما باید قادر باشید الگویی برای سریع پیداکردن تعداد زیر مجموعه پیدا کرده باشید!

    2 برابر کردن 

     پایه 2 به توان تعدادعضوها    :

    یک مجموعه با  nعضو   :        2n زیر مجموعه

    حالا شما قادرهستید جواب دهید که:

    • یک مجموعه 6 عضوی چند زیر مجموعه دارد؟ _____
    • یک مجموعه 7عضوی چند زیر مجموعه دارد؟ ? _____

    الگویی دیگر

    بیایید زیرمجموعه ها را جدا جدا بنویسیم:

    • تهی یک زیرمجموعه دارد:  1
    • یک مجموعه با یک عضو 1  زیر مجموعه ویک  زیر مجموعه تهی : 1و1
    • یک مجموعه بادو عضو  ،2  زیر مجموعه یک عضوی  ویک  زیر مجموعه تهی     ویک زیر مجموعه دو عضوی:1و2و1
    • یک مجموعه با3 عضو  ،زیر مجموعه یک عضوی  ویک  زیر مجموعه تهی  و2 زیر مجموعه دو عضوی  و یک زیر مجموعه 3 عضوی : 1و3و3و1=8
    •  
    • و ادامه....!

    ایا الگو را دریافتید?

    مثلث خیام -پاسکال!

    این خیلی مفید بود, به راحتی زیر مجموعه ها را می فهمید..

    نکته: شروع ستون از  0, وستون ها هر چه به پایین می اید باز تر می شود..

    مثال: مجموعه {سیب, موز, گیلاس, خرمالو,تخم مرغ} زیر مجموعه های 3 عضوی:

    • {گیلاس، موز، سیب}
    • {سیب, موز, خرمالو}
    • {سیب, موز, تخم مرغ}
    • {سیب, گیلاس, تخم مرغ}
    که 10 زیر مجموعه 3 عضوی!

    3 عضوی ها: {گیلاس، موز، سیب} {سیب,موز,خرمالو} {سیب,موز,تخم مرغ} {سیب,گیلاس,خرمالو} {سیب,گیلاس,تخم مرغ} {سیب,خرمالو,تخم مرغ } {موز,گیلاس,خرمالو} {موز,گیلاس,تخم مرغ} {موز,خرمالو,تخم مرغ} {گیلاس,خرمالو,تخم مرغ}

    محاسبه تعداد زیرمجموعه

    تعدادراه ها در مجموعه 4 عضوی 1, 4, 6, 4 و 1 (به مثلث خیام- پاسکال نگاه کن)?.

    مجموعه های 4  عضوی و...:

    • تعدا د انتخاب1 زیر مجموعه تهی از  4 عضو    = 4C0 = 1
    • تعدادانتخاب 1 عضوی از  4 عضو  = 4C1 = 4
    • تعدادانتخاب دو عضوی از  4 عضو= 4C2 = 6
    • تعدادانتخاب 3 عضوی از  4 عضو = 4C3 = 4
    • تعدادانتخاب 4 عضوی از  4 عضو = 4C4 = 1
    •                                                  مجموع زیر مجموعه ها در 4عضوی = 16

    آیا از همین راه برای مجموعه 5 عضوی میتوان به کار برد?

    تکمیل کن:

    • تعدا د انتخاب1 زیر مجموعه تهی از  5 عضو = 5C0 = 1
    • تعدادانتخاب 1 عضوی از  5 عضو   = ___________
    • تعدادانتخاب دو عضوی از  5 عضو = ___________
    • تعدادانتخاب 3 عضوی از  5 عضو  = ___________
    • تعدادانتخاب 4 عضوی از 5 عضو = ___________ 
    • تعدادانتخاب5 عضوی از5 عضو = ___________
    •                                         مجموع زیرمجموعه ها = ___________

    نتیجه

      دراین فعالیت فهمیدیم:

    • فرمولی برای تعداد زیرمجموعه ها : باn عضو    2nمی شود.
    • کمک گرفتن از مثلث خیام پاسکال.
    • یادگرفتیم که به سرعت بتوانیم تعداد زیرمجموعه ها را با    n عضو  محاسبه کنیم.



    علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
    نظرات() 

    مجموعه ها نمودار ون

    تاریخ:شنبه 21 شهریور 1394-09:50 ق.ظ

    نمایش مجموعه با علائم ریاضی


    زیرمجموعه ها

    مجموعه ها در ریاضی

    مجموعه ها نمودار ون



    مجموعه ها ونمودار ون

    مجموعه هامقدمه

     

    یک مجموعه از اشیا مختلف گرداوری شده است.

    مثال, پوشیدنی ها: کفش ها, جورابها,کلاه, پیراهن , شلوار, و...

     {  } علامت مجموعه  که عضوها را درون مجموعه می گذاریم وبین ها عضو کاما ( ،) می نویسیم.

    {جورابها, کفشها, ساعت, پیراهن, ...}


    می توانید مجموعه ای از اعداد بنویسید:

    10نفر دوستان خود

    می توانیدمجموعه ای از 10 نفردوستان خوب خودرا بنویسی:

    • {ااحمد، رضا، علی، شنتیا، محمد، ، پارسا،کیان،آرمین،سپهر،میلاد}

    هریک از این افراد  "عضو") مجوعه هستند.)

    احمد، رضا، علی، شنتیا فوتبال بازی می کنند.:مجموعه دوستان فوتبالیست:

    فوتبال = {ااحمد، رضا، علی، شنتیا}




    وعلی ورضا ومحمد تنیس بازی می کنند.

    علی ورضا ومحمد تنیس بازی می کنند.:

    تنیس = {علی, رضا, محمد}

    اسامی را در دو  دایره می نویسیم:

    اجتماع

    حالا مجموعه ای از دوستانی که تنیس وفوتبال بازی می کنند بنویسم. یعنی اجتماع تنیس وفوتبال

    علامت ویژه  "اجتماع" مجموعه ها    :

     به این صورت اجتماع فوتبال وتنیس  را می نویسیم:    فوتبال تنیس

    فوتبال تنیس = {شنتیا, علی, رضا, احمد,محمد}

    فقط دوستانی که تنیس یا فوتبال بازی می کنند.  (یا هردو بازی).

    انهارا در یک "نمودار ون" می گذاریم :


    نمودار ون : اجتماع دو مجموعه

    نمودارون یکی از نمودارهای جالب وپر اهمیت است زیرا از ان اطلاعات بسیاری به دست می اید.

    • آیا شما  احمد ،رضا ،علی وشنتیا در مجموعه( فوتبال) می بینید?
    • علی ،رضا ومحمد را در مجموعه ( تنیس )می بینید?
    • دراین نموداراطلاع  جالبی می بینید: علی ورضا درهر دو مجموعه قراردارند.!

    اشتراک:

    "اشتراک " یعنی مجموعه ای که اعضای ان در هر دو مجموعه باشند.  یا مثلا  اشتراک مجموعه A و  B یعنی اعضای ان هم درA وهم در Bباشند

    اشتراک در دو مجموعه بالا   کسانی که هم فوتبال وهم تنیس بازی می کنند ... که علی ورضا  هستند.

    علامت ویژه اشتراک  ""   که وارونه شده U می باشد.

    که ما اشتراک دو مجموعه فوتبال وتنیس را این طور نوشتیم:

    فوتبال تنیس = {رضا , علی}

    در نمودار ون اشتراک   را روی تصویر ببین:


    نمودار ون: اشتراک مجموعه ها

     

    این حرف  "U" شما را  به یاد چه می اندازد؟?

    فکر کنید به یک  "فنجان": ∪ که اب را   بیشتر از فنجان  ∩ نگه داشته, درسته?

    علامت ا شتراک ∩   یعنی فنجان  ∩ وارونه

    اختلاف دو مجموعه

    شما می توانید "اختلاف " یک مجموعه را از دیگری  به دست اورید..

    مثال, اختلاف اعضایی که  فوتبال وتنیس بازی می کنند.  کسانی که  فقط فوتبال بازی می کنند    ... شنتیا واحمد.

    که ما اختلاف  دو مجموعه فوتبال وتنیس را این طور نوشتیم::

    تنیس فوتبال = {احمد وشنتیا}

    در نمودار ون اختلاف دو مجموعه   را روی تصویر ببین:


    نمودار ون : اختلاف دو مجموعه

    خلاصه مطلب تا اینجا

    • علامت اجتماع دومجموعه:
    •   علامت اشتراک: بین دو مجموعه
    • اختلاف دو مجموعه: یعنی عضوهایی که در یک مجموعه هست ولی در دیگری نیست

    3 مجموعه

    نمودار ون را می توانید برای 3 مجموعه هم به کار ببرید.

    سومین  مجموعه  "والیبال" که رضا وپارسا ومحمد  دراین گروه بازی می کنند  :

    والیبال = {رضا, پارسا,محمد}

    در علوم   "ریاضیl" معمولا از حروف  لا تین خیلی استفاده می شود : که ما هر مجموعه بازی  را با حروف اول آن به کار می بریم .

    • S منظور بازی کنان فوتبال
    • T منظور بازیکنان تنیس
    • V منظور بازیکنان والیبال

    در نمودار ون 3 مجموعه   را روی تصویر ببین:

    اجتماع مجموعه ها: S T V

    می توانید  (برای مثال)  ببینید و نتیجه بگیرید :


    • زضا هم فوتبال هم تنیس هم والیبال  بازی می کند.
    • محمد تنیس و والیبال  بازی می کند.
    • شنتیا واحمد  فقط فوتبال بازی می کنند. اما والیبال یا تنیس بازی نمی کنند.
    • هیچ کدام به تنهایی  فقط تنیس بازی نمی کنند.

    حالا در رابطه با اشتراک و اجتماع   ... مطالب  وتصاویر زیر را مشاهده وبررسی کن


    مجموعه فوتبال S

    S = {شنتیا, علی, رضا, احمد}

     


    اجتماع مجموعه های  Tو V

    T ∪ V = {علی, زضا,محمد,پارسا}

     


    اشتراک مجموعه های  S و V

    S ∩ V = {رضا}

    ودرباره  دو سوال زیر  ...

    •    والیبال اشتراک فوتبال S V
    • اختلاف T   ( اختلاف انها  با تنیس):


    اشتراک دو مجموعه  S و V اختلاف آنها با  T

    S V) T )= { }

    این علامت { }جالب است . درون   ان خالی است  , "مجموعه تهی" نام دارد . هیچ عضوی ندارد : {  }

    هیچ عضوی ندارد: { }

    مجموعه جهانی یا عام :

    مجموعه ای که  کلیه  مجموعه های دیگر  زیر مجموعه ان باشد که ان را با علامت M  نشان می دهند .

    مثلا وقتی از اعداد اول سخن می گوییم مجموعه مرجع را عددهای طبیعی قرار می دهیم .

     وهنگامی که از بخش پذیری وتعیین باقیمانده تقسیم سخن می گوییم، مجموعه مرجع را اغداد صحیح قرار می دهیم.

    نکته :ولی مجموعه   مرجع در زبان لاتین را با حرف "U" نشان می دهند که باعلامت اجتماع نباید اشتباه بگیریم که علامت اجتماع کوچک تر است.

    حالا می خواهیم مجموعه مرجع  10 نفر از دوستان خوبمان را بنویسیم..

    U یا M= {ااحمد، رضا، علی، شنتیا، محمد، ، پارسا،کیان،آرمین،سپهر،میلاد}

    ما   در نمودار ون برای نشان دادن مجموعه مرجع( U یا M) یک مستطیل   اطراف  زیر مجموعه هایش رسم می کنیم .

    :

    حالا شما کلیه اعضا را در مجموعه مر جع می بینید  چه  اعضایی که فوتبال  یا والیبال یا تنیس  بازی کنند وچه اعضایی که هیچ بازی نمی کنند.).

    در نمودار زیر  اختلاف اعضایی که فو تبال بازی می کنند از کل افراد را ببینید.


    اختلاف مجموعه مرجع و فوتبال:

    U S = {میلاد, سپهر, آرمین, پارسا, کیان, محمد}

    که می گوییم "مجموعه مرجع  منهای مجموعه فوتبال {میلاد, سپهر, ارمین, پارسا,کیان, محمد}"

    به زبان دیگر یعنی  "کسانی که فوتبال بازی نکنند".

    متمم  یک مجموعه 

    مجموعه مرجع که  کلیه  مجموعه های دیگر  زیر مجموعه ان باشد که ان را با علامت M  نشان می دهند .

                      

    C\subseteq   M                             A\subseteq   M                                          B\subseteq   M

    اگر ّ  A   \subseteq   M      ،سایر عضو های   M  مجموعه ای را تشکیل می دهند که متمم مجموعه Aخوانده شده

    [جالبتر است بگوییم  "انچه که در آن مجموعه نباشد ", که می گوییم "متمم مجموعه ".

    در لاتین با حرف   "C" مثل:Sc

    منظور  "هر چیزی که در مجموعه  S", نباشد :

    در ریاضی زبان فارسی متمم در زبان فارسی متمم(A)   را با   (' A  )نشان می دهند.

    Sc = {میلاد, سپهر, ارمین, پارسا, کیان,محمد}
    درلاتین(متمم = U − C )

     یا در ریاضی ما، متمم = ' M −  A

    خلاصه مطالب:

    • علامت اجتماع در هر مجموعه
    • علامت اشتراک بین دو یا چند مجموعه
    • اختلاف دو مجموعه: یعنی عضوهایی که در یک مجموعه هست ولی در دیگری نیست
    • Ac متمم A: =  A مجموعه  زیر مجموعه  M باشد(    A M ) نسبت به مجموعه مرجع Mیعنی عضوهای آن درM    باشد ولی درA نباشد.
    • در زبان فارسی متمم(A)   را با   (' A  )نشان می دهند.
    • علامت مجموعه تهی  { }
    • مجموعه مرجع مجموعه ای که  کلیه  مجموعه های دیگر  زیر مجموعه ان باشد که ان را با علامت M  نشان می دهند در لاتین با علامت"U"




    علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
    نظرات() 

    مجموعه ها در ریاضی

    تاریخ:شنبه 21 شهریور 1394-09:47 ق.ظ

    نمایش مجموعه با علائم ریاضی


    زیرمجموعه ها

    مجموعه ها در ریاضی

    مجموعه ها نمودار ون

    اشنایی با مجموعه ها مقدمه

    تعریف مجموعه چیست? خوب , خیلی ساده , اجتماع، جمع آوری،گرد آوری.

    به تعدادی از اشیاء، اعداد ، افراد ، مشخص که گروهی را تشکیل بدهند و ازهم متمایز باشند مجموعه می گویند. هر یک از اشیاء ، افراد، اعداد یک مجموعه یک عضو مجموعه نامیده می شوند.

     حتی چیزهایی که عموما ویژگی مشترک دارند،  را دریک گروه  قرار میدهند  هم یک مجموعه هستند.

    مثال, پوشیدنی ها: کفش ها, جورابها,کلاه, پیراهن , شلوار, و...

    شما می توانید تا 100تا  یا بیشتر ادامه دهید.

    علامت مجموعه { } است

    این یعنی مجموعه.

     البته لازم نیست اعضای یک مجموعه ارتباط خاصی داشته باشند مثل:{   خیام ، 8، 5، تهران ، اکبر}

    مثال دیگر  انگشت های دست

    نشانه, میانی, انگشت حلقه, وکوچک.

     

    نکات:مثالی در زیر . یک مجموعه داریم, هریک از موارد با کاما( ، ) جدا می شوند, در دو طرف مجموعه علامت اکولاد  { } می گذاریم.

              {...،91 ، 6 ، 3 }

    هر یک از اعداد 3و6 و91  عضو مجموعه هستند.

     {  } علامت مجموعه  که عضوها را درون مجموعه می گذاریم وبین ها عضو کاما ( ،) می نویسیم.

     ... یعنی ادامه دارد.

    نکات مهم دررابطه با مثال قبل:

    {جورابها, کفشها, ساعت, پیراهن, ...}
    {نشانه, میانی, انگشت حلقه, کوچک}

    چرا مثال اول  دردنباله مجموعه 3 نقطه دارد؟ "..." (3 نقطه).

    این نقطه ها ... جاافتاده ها  یا حذف شده ها  نام می گیرد که , منظور اینست که  "ادامه دارد".

    (یعنی اگر لیست را ادامه دهیم تا چندین مورد اضافه کنیم.,لیست ممکنست که تا یک ساعت یا بیشتر طول بکشد  تا تمام شود شاید هم خیر بنابراین برای کوتاهی کار 3 نقطه می گذاریم. .)

    پس:

    • گروه اولی که 3 نقطه دارد {جورابها, کفشها, ساعت, پیراهن, ...} یک مجموعه نامتناهی ( تمام نشدنی  )  می گوییم,
    • دومین مجموعه  {نشانه, میانی, انگشت حلقه, کوچک} را مجموعه متناهی ( محدود-تمام شدنی  )  می گوییم .

    گاهی  "..." دربین مجموعه  نوشته شود:

    مثال: لیست حروف انگلیسی:

    {a, b, c, ..., x, y, z}

    این لیست متناهی نام دارد: (زیرا 26 حرف هست برای خلاصه نویسی کار چند حرف اول وچند حرف آخر را مینویسن وبین آنها ... می گذارند?)

    برای برخی از مجموعه‌های خاص، اسامی خاصی به کار می‌بریم که باید آن‌ها را به خاطر سپرد:

    • مجموعهٔ اعداد طبیعی را با  (  N)  نشان می‌دهیم و داریم .N{1،2،3  ،...}=N=
    • مجموعهٔ اعداد طبیعی نابیشتر از عدد طبیعی k را قطعه‌ای از اعداد طبیعی می‌گوییم و به صورت  نشان می‌دهیم و داریم 
    • .N{1،2،3  ،...،K}=N=
    • مجموعهٔ همهٔ اعداد اول را با P نشان می‌دهیم.
    • مجموعهٔ اعداد حسابی را با W نشان می‌دهیم و داریم .P{0،1،2،3  ،...،}=N=
    • مجموعهٔ اعداد صحیح را با  Z={...،-2،-1،0،1،2،3  ،...،}=Nنشان می‌دهیم.
  • مجموعهٔ اعداد گویا (منطق) را با  Q   نشان می‌دهیم. طبق تعریف داریم :.
  • مجموعه های عددی وشمارشی

    در مبحث ریاضی ما مجموعه های زیادی داریم ? می توانیم  مجموعه  هایی درریاضی می نویسیم که  ویژگی مشترک داشته باشند, آیا میتوان چنین مواردی را پیداکرد؟ بله :

    مجموعه  عددهای صحیح  زوج: {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}     نا متناهی
    مجموعه عددهای صحیح فرد: {..., -3, -1, 1, 3, ...}   نا متناهی
    مجموعه عددهای اول: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}    نامتناهی
    مجموعه عددهای بخش پذیر بر3 کمتراز 10: {3, 6, 9} متناهی

    ولیست  مجموعه هاادامه دارد  . ما می توانیم مجموعه های بسیاری در ریاضی بنویسیم..

    مجموعه هایی می نویسیم که هیچ  وجه اشتراکی ندارند ولی یک مجموعه هستند. مجموعه زیر را با کمک  کیبورد کامپیوتر تصادفی  عددها را نوشتم ویک مجموعه ساختم..برای مثال:

    {2, 3, 6, 828, 3839, 8827}
    {4, 5, 6, 10, 21}
    {2, 949, 48282, 42882959, 119484203}

    چرا مجموعه ها اهمیت دارند?

    مجموعه ها یکی از مفاهیم بنیادی در  ریاضی  هستند.

    یک گله گرگ، یک خوشه انگور یا یک دسته کبوتر، مثال‌هایی هستند از مجموعه‌ها یی از اشیا. از این مفهوم ریاضی مجموعه، می‌توان به عنوان اساسی برای تمامی ریاضیات امروزی استفاده کرد.

    وقتی شما با مجموعه ها اشنا باشید ودرک بهتری از ریاضی پیدا می کنید. . تئوری نموداری, انتگرال , اعدادحقیقی, اعدادمرکب, جبر خطی, تئوری اعداد, همه انها دریک چیز مشترکند : مجموعه.

    مجموعه اصلی

      مجموعه اصلی (مرجع یا عام)، مجموعه مادر،که مجموعه جهانی هم می گوییم.
    در هر بحث خاص مجموعه همهٔ عناصر مورد بحث را عضو یک مجموعهٔ کلی می‌گیریم و به آن مجموعهٔ جهانی(Universal set) یا مرجع(عام) می‌گوییم.
     
    مجموعه ها شامل: مجموعه عددهای صحیح، شامل کلیه عددهای مثبت و
     عددهای منفی وصفر
     مجموعه عددهای طبیعی :به عددهای صحیح مثبت عددهای طبیعی هم می گوییم.
    که مجموعه عددهای طبیعی زیر مجموعه عددهای صحیح هستند.
    Bزیر مجموعه A,گوییم . وقتی هر عضوB  در عضوA  هم هست .
    نماد \subseteq، علامت زیرمجموعه بودن است. به عنوان مثال می‌نویسیم \mathbb{N}\subseteq \mathbb{Z}

      مجموعه عددهای حقیقی
    همه ی اعداد گویا و اصم مجموعه ای را تشكیل می دهند كه به آن مجموعه اعداد حقیقی می گویند و با    R نشان می دهند

    نکات بیشتر:

    عضویت
    برای مثال, A نام یک مجموعه هست, و a یک عضو  این مجموعهA است .
    ومجموعه  Bنام یک مجموعه است   و bیک عضو مجموعه است,
    و C نام یک مجموعه هست و cعضو .

    همچنین, وقتی می گوییم aعضو مجموعه A است. , ما علامت را به کار می بریم .
      واین علامت یعنی  عضو مجموعه نیست .

    مثال: مجموعه A داریم: {1,2,3}. ما می بینیم که m   :              1 A    

    ,اما                      n:                   5          A   عدد 5 عضومجموعهA ّ نیست.

    تساوی مجموعه ها

     دو مجموعه زمانی با هم مساوی هستند که هر عضو A عضوB وهر عضو  B عضو A باشد.

    مثال:  A و B دو مجموعه مساوی هستند:

    •  مجموعهA   شامل عددهای مثبت  1تا4
    • B = {4, 2, 1, 3}

    بررسی کنیم . هردو عدد1 دارند ، هردو عدد2 دارند . و 3, و 4. وتعداداعضا  هرمجموعه را می شماریم,  4 عضو  بنابراین: بله, انها مساویند!

    علمت تساوی  (=)  را بین نام هر دو مجموعه می گذاریم:A = B

    {1،2،8}   نامساوی     {1،2}   

    اگر دو مجموعه، زیرمجموعه یکدیگر باشند، آنگاه با یکدیگر مساوی خواهند بود.

    زیر مجموعه \subseteq

    ما مجموعه {1, 2, 3, 4, 5}A.    را داریم     زیر مجموعه ها  ی این مجموعه{1, 2, 3} B   که و {5, 4}و  {1}  و...

    مثلا    {1, 6}زیر مجموعه Aنیست.زیرا 6 عضوان نیست.

    Bزیر مجموعهA گوییم هرگاه هرعضو  B عضوA نیز باشد.

    B\subseteqA

    مثال  دیگربزنیم:آیاAزیرمجموعه B چیست؟{ A = {1, 3, 4 و{ B = {1, 4, 3, 2?

     ببینید در مجموعه

       درمجموعه  A     }A ،و 1و3و4 هست درمجموعهB هم 1و4و3 هست.

     ` پس  A زیر مجموعهB     که شامل عضوهایی که  درAهست در  Bهم هست .

    مثال: مجموعه Aاز مضربهای4 ومجموعهB ازمضربهای 2  تشکیل شده آیاAمی تواند زیر مجموعهB  باشد؟

     B زیرمجموعه Aچطور

          { ...،  8 ،4،0،4-،8-،...}A  

         { ...     ،   8  ،   6 ،  4 ،2،0،2-،4-،  6- ، 8- ، ...}A 

      البته دومجموعه نامتناهی هستند . بهتراست مقایسه ای انجام دهیم   :                                             

    pairing off A and B

     هر عضو A،عضو Bهم هست  .پسA می تواند زیر مجموعه Bباشد. اما Bنمی تواندزیر مجموعهA باشد. زیرا همه عضو های Bدر Aنیست

    پس عبارت « .A  زیر مجموعه Bباشد
    نکته 1 : اگر« » و « » ، یعنی اگر هر عضو A در B وهر عضو B در A باشد، آنگاه A و B برابر خواهد بود یعنی A=B .

    در ریاضیات معمولا ً برای آنکه نشان دهند دو مجموعه با هم برابرند، نشان می دهند که هرکدام زیر مجموعه ی دیگری است

    مثال:

    {1, 2, 3} زیر مجموعه {1, 2, 3}, زیرا هر مجموعه زیر مجموعه خودش هم هست{1, 2, 3}.

    مثال:

    {1, 2, 3} یک زیر مجموعه {1, 2, 3, 4} است  هرعضو اولی در مجموعه دومی هم هست.

    اگر    {1،2،8}   B   {1،2}                     A   دراین صورتB  زیر مجموعهAاست.

      e  :                   B A.

     A B ("معادل با این مطلب است که عضوی در A هست که متعلق به B نمی‌باشد")

    , A B.

    مجموعه تهی

    مثال, مجموعه کلیدهای پیانو که روی گیتار است...

    "صبرکنید!" شما می گویید, هیچ کلیدی روی گیتار نیست!"

    درست گفتید. هیچی کلیدی روی گیتار نیست.

    پس یک مجموعه خالی  وتهی است.. البته : صفر نه.

    نماد مجموعه تهی

    یا {} (مجموعه تهی هیچ عضوی ندارد)

     مثال: مجموعه کشورهای جنوب قطب جنوب یک مجموعه تهی است.

    مجموعه تهی، زیرمجموعة تمام مجموعه ها است.

    تنها زیرمجموعه مجموعه تهی، خودش است

    • تعداد اعضای مجموعه تهی صفر است و به عبارتی متناهی است:

    اگر هر عضو مجموعه تهی در مجموعه A باشد پس مجموعه تهی مساوی مجموعهA  زیرا عضوی ندارد.

     مجموعه، نمی تواند عضو تکراری داشته باشد . در واقع از بین اعضای تکراری، فقط یکی از آنها باقی می ماند و بقیه حذف می شوند.
       ترتیب در نوشتن اعضای مجموعه، تأثیر ندارد. یعنی، می توان ترتیب اعضای مجموعه را به دلخواه جابجا کرد





    علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
    نظرات() 

    دایره مثلثاتی

    تاریخ:سه شنبه 17 شهریور 1394-11:08 ق.ظ

    برای مطالعه بیشتر روی لینکها کلیک کنید.

    مثلثات 2زاویه وضلع غیرمجاور(ززض)

    مثلثات 3 ضلع مثلث ض ض ض

    مثلثات دوضلع وزاویه بین(ض ز ض)

    مثلثات قانون سینوسها

    مثلثات 2زاویه وضلع

    مثلثات دوزاویه وضلع بین (ز ض ز)

    مثلثات مقدمه

    قانون کسینوس زاویه

    نسبت مثلثاتی


    دایره مثلثاتی

    چرخش یک نقطه روی  دایره ای با شعاع یک

     دایره مثلثاتی دایره ای جهت دار است که جهت حرکت خلاف عقربه شاعت  ونقطه(0  ، 1 )به عنوان مبدا کمان  حرکتی اختیار کردیم.

    . توضیح:

    دایره ای را روی محور مختصات  x وy به مرکز o که مبدا مختصات است وشعاع 1 در نظر بگیرید.. نقاط (x,y)به فاصله 1واحد محل برخورد دایره با محورهای مختصات است.

    یک نقطه  (محل فلش )روی محیط را انتخاب کرده  با رسم شعاع که

    با محور  زاویه θ می سازد. این نقطه روی محیط حرکت کرده وزاوبه های مختلف می سازد.


          سینوس ، کسینوس ، تانژانت

    Sine, Cosine و Tangent

    تشکیل زاویه ها:برای مطالعه بیشتر


    Bدایره به شعاع  1, sine, cosineو tangent.

    چه اتفاقی می افتد اگر زاویه , θ, مساوی 0°   باشد? در این صورت:

    • cos 0° = 1     , sin 0° = 0      و  tan 0° = 0

    وقتی θ می شود 90°    چه اتفاقی می افتد?

    • cos 90° = 0    , sin 90° = 1       و tan 90° تعریف نشده



     

     

    فیثاغورث:

    تئوری فیثاغورث

    تئوری فیثاغورث که برای مثلث قائم الزاویه است می گوید:

    مربع وتر=مجموع مربعات دوضلع دیگر

    x2 + y2 = 12

    اما در این دایره مربع وتر 12 دقیقا مساوی  1, بنابراین:

    x2 + y2 = 1
    (معادله دایره )

    نسبت های مثلثاتی داریم:


         y
         r
     =sinθ


    همچنین, since x=cos وy=sin, ما : 

    شعاع= r 

        y= ضلع مقابلزاویه θ       

         x=ضلع مجاور زاویه θ =   و    

         x
         r
     =cosθ
         y
         x
     =tanθ
         x
         y
     =cotθ

    جاگذاری در معادله دایره(cos(θ))2 + (sin(θ))2 = 1

     

    زاویه های مهم: 30°, 45° و 60°

    شما باید همیشه  sin, cos و tan زاویه های 30°, 45° و 60°را به خاطر بسپارید.

    درست است که خیلی مفاهیم را باید به خاطر سپرد اما بعضی مفاهیم انقدر اهمیت دارند که که به خاطر سپردن انهاحل  کلیه مسائل مثلثاتی 

    برای شما  آب خوردن می شود.

    این جدول را به خاطر بسپار!

    زاویه Sin Cos Tan=Sin÷Cos
    30° 3 /1
    45° 1
    60° 3√

    چگونه به خاطر بسپاریم?

    برای کمک ، به این اعدادفکر کن "1,2,3" :

      sin(30°)  =   1   =   1   (e:       √1 = 1)
    2 2
      sin(45°)  =   2
    2
      sin(60°)  =   3
    2

     

    و کسینوس cos راهم به این اعداد "3,2,1"

      cos(30°)  =   3
    2
      cos(45°)  =   2
    2
      cos(60°)  =   1   =   1   (e:         √1 = 1)
    2 2

    دقیقا 3 شماره

    در حقیقت دانستن 3 شماره کافیست:  1  ,   2√   و 
    3√
    2 2 2

    زیرا کسینوس  cosبه همان خوبی در سینوس   sin  عمل می کند اما جابه جا  :

     

    درباره tan تانژانت    چه?

    می دانیم که تانژانت= سینوس÷کسینوس     tan = sin/cos

     

    tan(30°) =

    1

    3√

     =  

    1/2

    3/2√

      =  

    sin(30°)

    cos(30°

     =tan(30°) 

             

    tan(45°) =

    1


     =  


    2/2√

    2/2√

      =  

    sin(45°)

    cos(45°

     =tan(45°) 

      

    tan(30°) =


    3√

    =  

    3/2√

    1/2

      =  

    sin(60°)

    cos(60°

     =tan(60°) 

      نکته شماره  ( 1)راه دیگر به خاطر سپاری 30° و 60° : کمک از مثلث متساوی الاضلاع

    دراین مثلث هر 3 ضلع  باهم مساوی وهر3 زاویه هریک 60 درجه
    مثلثی رسم کنیدطول هر ضلع 2
    .
     

    با رسم خط تقارن انرا نصف کنید. تا دو مثلث قائم الزاویه

    درست شود.

    با توجه به فرمول

    فیثاغورث:

    طول ارتفاع مثلث قائم الزاویه=3√ شد.

    12 + (√3)2 = 22
    1 + 3 = 4
     
    نسبت های مثلثاتی  برای sin, cos یا tan
     را محاسبه می کنیم
     

    مثال: sin(30°)

    Sine:  با تقسیم ضلع مقابل به وتر =0.5


    طول ضلع مقابل به زاویهθ
    طول وتر
     =sin300
    sin(30°) = وتر ÷ ضلع مقابل =

     

    روی محور مختصات حرکت یک نقطه)( 1،0)=p روی محیط دابره مثلثات درجهت خلاف عقربه ساعت  که یک دور کامل بزند .

    ربع اول(+، +)       ربع دوم(+، -)            ربع سوم(-، -)                       ربع چهارمل(-، +)


     توجه    (     ،   )   مختصات نقطه به جای طول cos ,وبه جای عرض sin          می نویسیم

    (    cos, sin     ) می گذاریم

    Unit Circle Degrees


    مثال: پیداکنید cos(330°) ?

     

    شکل را ببینید اندازه "طول"= :   3√
    2

    با توجه به دایره مثلثاتی.

    Unit Circle Radians

    مثال: پیداکنید sin(7π/6) ? سینوس 7×عددپی ÷6

    sin(7π/6) =                                             

     

    فکر کنید    میتوان به این صورت نوشت "7π/6 = π + π/6", .

     روی دایره =منفی : ½-

     

     

    Footnote: where do the values come from?

    ما می توانیم با معادله x2 + y2 = 1 پیداکنیم طول x و y (که مساوی با cos و sin وقتی شعاع= 1باشد  ):

     اگر در مثلث قائم  الزاویه ( θتتا)= 45درجه

    برای 45 درجه, x و y مساویند, بنابراین y=x:

    x2 + x2 = 1
    2x2 = 1
    x2 = ½
    x = y = √(½)

     

     اگر در مثلث قائم  الزاویه ( θتتا)= 60درجه

    مثل نکته شماره 1 در بالا اشاره شد : زسم مثلث متساوی الاضلاع(دراین مثلث هر 3 ضلع  باهم مساوی وهر3 زاویه هریک 60 درجه )

    و رسم خط میانه

    x2 + y2 = 1
    (معادله دایره )

    ضلع "x" = ½,

    وضلع= "y" :

    2(½) + y2 = 1
    ¼ + y2 = 1
    y2 = 1-¼ = ¾
    y =√ 3/4

     اگر در مثلث قائم  الزاویه ( θتتا)= 60درجه

    30° دقیقا با  60°  x و y معکوس هم هستند, پس x = √(¾) و y = ½

    و:

    (½)√ =:  
     :      (¾)√ :  

    به جدول دقت کن):

    زاویه Sin Cos Tan=Sin/Cos
    30° 3 √/
    45° 1
    60° √3






    علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
    نظرات() 

    نسبت مثلثاتی

    تاریخ:دوشنبه 16 شهریور 1394-06:35 ب.ظ

    روی لینک ها برای اطلاع بیشترکلیک کن

    مثلثات 2زاویه وضلع غیرمجاور(ززض)

    مثلثات 3 ضلع مثلث ض ض ض

    مثلثات دوضلع وزاویه بین(ض ز ض)

    مثلثات قانون سینوسها

    مثلثات 2زاویه وضلع

    مثلثات دوزاویه وضلع بین (ز ض ز)

    مثلثات مقدمه

    قانون کسینوس زاویه



    نسبت های مثلثاتی در مثلث قائم الزاویه

    ladder against wall

    نردبانی به طول 5   کنار دیوار تکیه دارد. اگر  فاصله  پای نردبان تا دیوار  ا2.5 باشد ، اندازه زاویه بین نردبان تا دیوار چقدر؟

    اگر شکل مثلث قائم الزاویه  را زسم کنیم که وتر طول نردبان است.

     حالا ثرینه این مثلث را رسم کنیم ع یک مثلث متساوی الاضلاع

    درست می شود.که همه ضلع ها باهم مساویند.


    Equilateral Triangle این مثلث متساوی الاضلاع است.
    که هر زاویه داخلی =60 درجه=
     60°

     

    بنابراین زاویه بین نردبان ودیوار =نصف 60 درجه

    = 30º

    پیدا کردن طول

    می توان از همان مثلث کمک گرفته وطول مجهول را به دست اورد..

    علی وسیله لیزری نوری دارد که با
    آن فاصله اشیا را  حساب می کند.

    با ایستادن در فاصله ای از یک درخت با تابش نور  با زاویه 300 به سر درخت

    فاصله 42متر ( طول وتر)شد.

    ارتفاع درخت چقدر است?

    ما بارسم مثلث وقرینه آن  کار را اسان تر می کنیم.:

    با رسم قرینه  مثلث قائم الزاویه یک مثلث متساوی الاضلاع با ضلع ها هر یک 42 متر وزاویه های مساوی  هریک 60 درجه  به دست می اید..

    بنابراین، ارتفاع درخت نصف  42 =

    = 21m

    همان مثلث را در موقعیت های مختلف می توان به کار برد.
     نتیجه : درمثلث قائم الزاویه  ضلع روبرو به زاویه 30 درجه= نصف وتر

    پیداکردن یک ضلع در مثلث قائم الزاویه

    وقتی مایک ضلع ویک زاویه را در مثلث قائم الزاویه داریم:

    می توانیم ضلع مجهول را محاسبه کنیم.

    •  داشتن یک زاویه مجاور زاویه قائمه
    • وداشتن طول یک ضلع.

    Ship Anchor Triangle

    مثال: عمق دریا چقدراست؟

    یک کشتی روی دریا با انداختن لنگر ایستاده .

    می دانیم که:

    • طول طناب لنگر30 متر (30 m), و لنگر با زاویه 39 درجه  کف دریا قرار دارد.

    ارتفاع آب  یا فاصله کشتی تا ته دریا چقدر؟!

    چگونه حساب شود?



      با به کار بردن قانون سینوس (sin(θ ، کسینوس( cos(θ ،تانژانت(tan(θ)


    ما فاصلهd کشتی تا کف دریا چقدر؟ " (فاصله عمودی یا عمق دریا چقدر؟).

    شروع:   sin 39° =
    تقسیم ضلع مقابل زاویه
    θ بر  وتر
       
    sin 39° = d/30
    طرفین وسطین:   d/30 = sin 39°



    d

    30

      =  

    ضلع مقابل زاویه =         وتر

     sin 39°
                            وتر
    محاسبه sin 39°:   d/30 = 0.6293…
     30:   d = 0.6293… x 30
        d = 18.88 با 2 رقم اعشاری.

    عمق دریا "d" = 18.88 m

    محاسبه هر یک از توابع :تقسیم طول یک ضلع بر ضلع دیگر
    اما کدام ضلع بر کدام ضلع.............؟

    برای یک مثلث با داشتن زاویه θ, به این صورت محاسبه می شوند.:

    تابع سینوس:
    sin(θ) = تقسیم ضلع مقابل زاویه θ بر  وتر
    تابع کسینوس:
    cos(θ) = تقسیم ضلع مجاوربه زاویه θ برطول وتر

    تابع تانژانت:
    tan(θ) = تقسیم ضلع ضلع مقابل زاویه θ برضلع مجاور زاویه θ



    Sine: sin(θ) = وتر ÷ ضلع مقابل

    Cosine: cos(θ) = وتر÷ضلع مجاور

    Tangent: tan(θ) = ضلع مجاور ÷ ضلعمقابل



    طول ضلع مقابل به زاویهθ
    طول وتر
     =sinθ
    طول ضلع مجاور به زاویهθ
    طول وتر

    =cosθ
    طول ضلع مقابل به زاویهθ

    طول ضلع مجاور به زاویهθ
    =tanθ

    مثال


    مثال: ارتفاع هواپیما چقدر ؟.

    می دانیم که فاصله هواپیما تا زمین با زاویه 60 درجه 1000  متر هست.

    فاصله هواپیما تا زمین  چقدر?

    دقت! زاویه 60 درجه بالا قرار دارد و ارتفاع   "h"   ضلع مجاور به زاویه 60 درجه است.

    گام 1 : رو مثلث قائم الزاویه نشان دادیم و می دانیم که طول وتر 1000و  

    ضلع(h) مجاور  زاویه 60 درجه

    •  گام 2    استفاده از نسبت کسینوس  ما باید از  کسینوس استفاده کنیم:.
    • گام 3 جاگذاری در فرمول:
      cos 60° = وتر÷ضلع مجاور= h ÷ 1000
    • گام 4  محاسبه:
    •     0.5=cos 60°
    شروع:   cos 60° = h/1000
    :   h/1000 = cos 60°
    حلcos 60°:   h/1000 = 0.5
    ضرب طرفین در 1000:   h = 0.5 x 1000
        h = 500

    ارتفاع هواپیما= 500 متر

    مثال:  در مثلث قائم الزاویه، زاویه روبروی ضلع

    a=53 درجه وضلع مجاور به این زاویه =7 س

    طول ضلع aچقدر:

     ضلع مقابل=

    • گام1 .  ضلع مقابل= a وضلع مجاور=7

                           گام2:کاربرد  نسبت تانژانت
      • نوشتن نسبت  tan 53° = ضلع مجاور ÷ضلع مقابل = a/7
      • گام4  محاسبه:
      شروع:   tan 53° = a/7
      طرفین:   a/7 = tan 53°
      تانژانت= 53°:   a/7 = 1.32704...
      ضرب طرفین در 7:   a = 1.32704... × 7
          a = 9.29 )

      ضلع = "a" = 9.29

      مثال: نسبت دکل نفت

      دکل نفت 70 مت بلندی دارد..

      یک سیم مهار کننده  از بالای دکل  به زمین وصل شده وبا زمین زاویه 68 درجه می سازد.

      طول سیم چقدر

      • گام اول: ضلع مقابل زاویه=70 متر  طول وتر=W
      •  استفاده از نسبت سینوس.
      • گام3:  نوشتن نسبت  sin 68° = 70/w
      • حل:


      شروع:   sin 68° = 70/w
      طرفین ضرب در w:   w × (sin 68°) = 70
      طرفین تقسیم بر "sin 68°":   w = 70 ÷ (sin 68°)
      حل:   w = 70 ÷0.9271...
          w = 75.5 m

      طول سیم = 75.5 m





      علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
      نظرات() 

      قانون کسینوس زاویه

      تاریخ:شنبه 14 شهریور 1394-10:53 ق.ظ

       روی لینک ها برای اطلاع بیشترکلیک کن


      مثلثات 2زاویه وضلع غیرمجاور(ززض)

      مثلثات 3 ضلع مثلث ض ض ض

      مثلثات دوضلع وزاویه بین(ض ز ض)

      نسبت مثلثاتی

      مثلثات قانون سینوسها

      مثلثات 2زاویه وضلع

      مثلثات دوزاویه وضلع بین (ز ض ز)

      مثلثات مقدمه

      قانون کسینوس زاویه

      قانون کسینوس(  cosA,B,C)

      قانون کسینوس ها برای حل مثلث ها بسیارمهم هستند:

         (  C2=a2+b2-2ab cos(C

      Law of Cosines

      ودرهر مثلثی کاربرد دارد.:

      a, b وc ضلع هاو

      C زاویه مقابل صلعc

      و...

      با یک مثال :

      مثال: طول ضلع  "c" چقدر  ... ?اگر درمثلث ABCزاویه C=37 درجه وضلعABروبروی زاویه Cباشد،

      وِCB=8 ,AC=11 

      می دانیم که: C = 37º, a = 8وb = 11

      قانون کسینوس:   c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C
           
      انچه دارید، جایگزین کنید:   c2 = 82 + 112 − 2 × 8 × 11 × cos(37º)
           
      محاسبه:   c2 = 64 + 121 − 176 × 0.798…
           
      دراخز:   c2 = 44.44...
           

      جذر تقریبی گام به گام کلیک کنید.

      :جذر بگیرید
        c = √44.44 = 6.67 تا دو رقم اعشار


      جواب: c = 6.67

      چگونه به خاطر بسپارید!

      در درجه اول در قسمتی از  قانون کسینوس زاویه ، از تئوری فیثاغورث  فقط در مثلث  های قائم الزاویه کمک می گیریم?


      تئوری فیثاغورث:   a2 + b2 = c2   (فقط در مثلث  های قائم الزاویه)
               
      قانون کیسنوس:   a2 + b2 − 2ab cos(C) = c2   (وبرای همه ی مثلث ها)

      پس:

      • 1- به ضلع های abc مثلث  فکر کنید "abc": a2 + b2 = c2,     
      • 2- بعد  2برابر ضلع a وb در کسینوس زاویه را کم کنید.           "abc": 2ab cos(C),
      • حالا مورد او2 را کنار هم بگذارید: a2 + b2 − 2ab cos(C) = c2

      چه هنگام قانون کسینو س کاربرد دارد؟

      قانون کسینوس برای پیدا کردن:


      • برای پیداکردن  3 ضلع مثلث ،  وقتی دوضلع ویک زاویه بین دوضلع را داریم مثل مثال بالا
      • برای پیدا کردن زاویه های یک مثلث وقتی هر 3 ضلع را داریم.

      مثال: پیدا کنید اندازه زاویه"C" ...?

      اگر درمثلث ABCزاویه C=؟ درجه

      ضلعAB=8روبروی زاویه Cباشد،

      وِCB=9 ,AC=5 

      طول ضلع c= "8" بنابراین  cمقابل زاویه  C, . ضلع های دیگر  a و b.

      حالا با کمک  قانون کسینوس:

      شروع با فرمول قانون کسینوس:  
      c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C
           
      جایگزین اندازه ضلع های a, b و c        
         ;کسینوس زاویه )×  5 ×  9× 2 - 52 + 92 =    82  :  c:   
           
      محاسبه:cos(C  از چپ به راست 
        
      64 = 81 + 25 − 90 × cos(C)            
           
      از مهارت های حل مسئله کمک می گیریم:
           




        42 -= −90 × cos(C)

        90- × cos(C) = −42
      طرفین بر90- تقسیم شود :   cos(C) = 42/90
      معکوس کردیم:   C = cos-1(42/90)
           
      محاسبه:   C = 62.2° (تا یک رقم اعشار)

      به گونه ای دیگر :

      که آسانتر است . میتوانید  همان فرمول قانون کسینوس      (  C2=a2+b2-2ab cos(C  را به صورت زیر بنویسید واعداد را جایگزین کنید و حل کنید:  



      (2)
        
           a2+b2-c2 
      2ab
       =c0s C

      law of cosines alt

      مثال: پیداکنید کسینوس "C" با به کاربردن  فرمول شماره(2)

      درمثلث  به شرخ زیر, 3 ضلع داریم:

      • a = 8ضلع
      • b = 6 ضلع
      • c = 7ضلع

      کسینوس "C" با به کاربردن  فرمول شماره(2) پیدا می کنیم:

       :

      cos C  = a2 + b2 − c2)÷2ab
        =(2×8×6)÷ (72 - 62 + 82)
        = (96)÷51
        = 51/96
        = 0.53125
         
      = cos-1(0.53125)
        = 57.9° تادو رقم اعشار

       

      همین طور برای محاسبه کسینوس زاویه a, b و c

      میتوانید  از فرمول      c2 = a2 + b2 - 2ab cos(C) هریک از مجذور ضلع ها را مجهول قرادهید "a2=" و "b2=" شکل.

      هرسه را ببینید:

          a2=b2+c2-2bc× cos( A

         b2=a2+c2-2ac× cos( B

         c2=a2+b2-2ab× cos( C

      Law of Cosines

      Law of Cosines

      Law of Cosines

      در مثال دیگر:

      مثال: پیدا کنید طول ضلع "z"

      اهمیت ندارد که حروف را تغییر دادیم  . میتوانید باهمان (حروف  x به جایa)و  ( y به جای  b   ) و     zبه جای c

      شروع:   c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C)
           
      x به جای a  و y به جای b و z به جایc  (   z2 = x2 + y2 − 2xy cos(Z)
           
      جای گذاری اعداد:   z2 = 9.42 + 6.52 − 2×9.4×6.5×cos(131º)
      محاسبه شد:   z2 = 88.36 + 42.25 − 122.2 × (−0.656...)
          z2 = 130.61 + 80.17...
          z2 = 210.78...
          z = √210.78... = 14.5 تا یک رقم اعشار.

       

      جواب: z = 14.5





      علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
      نظرات() 

      مثلثات 3 ضلع مثلث ض ض ض

      تاریخ:شنبه 14 شهریور 1394-08:56 ق.ظ

      روی لینکها کلیک

      مثلثات 2زاویه وضلع غیرمجاور(ززض)

      مثلثات 3 ضلع مثلث ض ض ض

      مثلثات دوضلع وزاویه بین(ض ز ض)

      نسبت مثلثاتی

      مثلثات قانون سینوسها

      مثلثات 2زاویه وضلع

      مثلثات دوزاویه وضلع بین (ز ض ز)

      مثلثات مقدمه

      قانون کسینوس زاویه

      مثلثات مقدمه

      قانون کسینوس زاویه




      حل مثلث با داشتن 3ضلع ض ض ض

      "ض ض ض " منظور " ضلع ضلع, ضلع"

      SSS Triangle

      "ض ض ض" ما 3 ضلع مثلث را داریم می خواهیم .

      زاویه های مجهول را پیدا کنیم, .


      برای حل مثلث با داشتن"ض ض ض" منظور داشتن 3ضلع  در یک مثلث از  3قانونهای ریاضی زیر استفاده می کنیم::

      1-قانون کسینوس زاویه کلیک کن


                           فرمول:       C2=a2+b2-2ab cos(C

      •  قانون کسینوس برای پیداکردن  3 ضلع مثلث ،  وقتی دوضلع ویک زاویه بین دوضلع را داریم
      • برای پیدا کردن زاویه های یک مثلث وقتی هر 3 ضلع را دارید.
      • 2-قانون سینوس ها کلیک کن

      •      sinC
         c
         = 
             sin
         b
         = 
           sin A
          a

      • برای پیدا کردن زاویه های مجهول از قانون سینوس استفاده می کنیم.,
      • 3- قانون مجموع زاویه های داخلی هر مثلث=180 درجه

       

      مثال 1

      در این مثلث 3 ضلع  ( ض ض ض) را  داریم :

      • a = 8,
      • b = 6 و
      • c = 7.
       برای حل این مثلث لازم است  زاویه Aرا پیدا کنیم.باکمک از قانون کسینوس
        
           b2+c2-a2 
              2cb
       =c0s A

      cos A = (b2 + c2 − a2) ÷ 2bc
      cos A = (62 + 72 − 82) / (2×6×7)
      cos A = (36 + 49 − 64) / 84
      cos A = 0.25
      A = cos−1(0.25)
      A = 75.5224...°
      A = 75.5°تا 2 رقم اعشار.

        حالابرای حل این مثلث لازم است  زاویه Bرا پیدا کنیم.باکمک از قانون کسینوس :

        
           c2+a2-b2 
              2ca
       =c0s B
      cos B = (c2 + a2 − b2)/2ca
      cos B = (72 + 82 − 62)/(2×7×8)
      cos B = (49 + 64 − 36) / 112
      cos B = 0.6875
      B = cos−1(0.6875)
      B = 46.5674...°
      B = 46.6°  زاویه گرد کردیم.
      حالا دو زاویه را داریم. برای محاسبه زاویه   C, از قانون مجموع 3زاویه داخلی مثلث = 180°' استفاده :

      C = 180° − 75.5224...° − 46.5674...°
      C = 57.9° گردکردیم

      حالا ما 3 زاویه و3 ضلع را داریم .

       

      مثال2

      در این مثلث 3 ضلع  ( ض ض ض) را  داریم :


      درایم مثلث 3 ضلع را به این شرح داریم: x = 5.1, y = 7.9 وz = 3.5. با کمک قانون کسینوس زاویه  Xرا حساب می کننیم.:

          

           y2+z2-x2 
              2yz
       =c0s X
      cos X = (y2 + z2 − x2)÷2yz
      cos X = ((7.9)2 + (3.5)2 − (5.1)2)/(2×7.9×3.5)
      cos X = (62.41 + 12.25 − 26.01)/55.3
      cos X = 48.65/55.3 = 0.8797...
      X = cos−1(0.8797...)
      X = 28.3881...°
      X = 28.4°'گرد کردیم.

        حالابرای حل این مثلث لازم است  زاویه Y را پیدا کنیم.باکمک از قانون کسینوس : :

      cos Y = (z2 + x2 − y2)÷2zx
      cos Y = −24.15/35.7 = −0.6764...
      cos Y = (12.25 + 26.01 − 62.41)÷35.7
      cos Y = −24.15÷35.7 = −0.6764...
      Y = cos−1(−0.6764...) 
      Y = 132.5684...°
      Y = 132.6° تا یک رقم گرد.
      حالا دو زاویه را داریم. برای محاسبه زاویه   Z از قانون مجموع 3زاویه داخلی مثلث = 180°' استفاده :

      Z = 180° − 28.3881...° − 132.5684...°
      Z = 19.0° تا یک رقم گرد.

      روش دیگر:

      اگر درمثلث ض ض ض داریم  با محاسبه زاویه بزرگتر شروع کنیم. واز 3 قانون زیر که قبلا گفتیم استفاده شود.

      -قانون کسینوس زاویه کلیک کن


                           فرمول:       C2=a2+b2-2ab cos(C

      •  قانون کسینوس برای پیداکردن  3 ضلع مثلث ،  وقتی دوضلع ویک زاویه بین دوضلع را داریم
      • برای پیدا کردن زاویه های یک مثلث وقتی هر 3 ضلع را دارید.

      • 2-قانون سینوس ها کلیک کن

      •      sinC
         c
         = 
             sin
         b
         = 
           sin A
          a

      رای پیدا کردن زاویه های مجهول از قانون سینوس استفاده می کنیم., 3- قانون مجموع زاویه های داخلی هر مثلث=180 درجه

      چرا زاویه بزرگتر را اول حساب کنیم با داشتن ض ض ض?

      دراین صورت    دو زاویه دیگر  که حاده هستند ( کمتر از 90 ) وبا قانون  سینوس زاویه های بیشتر از 90 اشکال پیش می اید. ممکن است  دو زاویه حاده دو جواب 95 و85   شود که درست نیست.

       بنابراین اول از زاویه بزرگتر شروع می کنیم با کمک قانون کسینوس

      مثال  مثلثی داریم با 3ضلع(ض ض ض) a  =11.6         b =15.2       c=7.4

      زاویه B بزرگترین زاویه است با کمک از قانون کسینوس زاویهB   را حساب کنیم.

          

           a2+c2-b2 
              2ca
       =c0s B
      cos B = (a2 + c2 − b2) / 2ac
      cos B = (11.62 + 7.42 − 15.22) / (2×11.6×7.4)
      cos B = (134.56 + 54.76 − 231.04) / 171.68
      cos B = −41.72 / 171.68
      cos B = −0.2430...
      B = 104.1° گرد کردیم
       با قانون سینوس یک از  زاویه کوچکتر  Cرا حساب کنیم.

             = 
           sin
           b
       = 
         sin C
       
      c

      ind angle A:

      sin C ÷ 7.4 = sin 104.1° ÷15.2
      sin C = 7.4 × sin 104.1° ÷ 15.2
      sin C = 0.4722...
      C = 28.2°  گرد شد


      حالا دو زاویه را داریم. برای محاسبه زاویه   A از قانون مجموع 3زاویه داخلی مثلث = 180°' استفاده :":

      A = 180° − (104.1° + 28.2°)
      A = 180° − 132.3°
      A = 47.7° گرد شد

       

      پس A = 47.7°, B = 104.1°, و C = 28.2°





      علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
      نظرات() 

      مثلثات دوضلع وزاویه بین(ض ز ض)

      تاریخ:شنبه 14 شهریور 1394-08:53 ق.ظ

      مثلثات 2زاویه وضلع غیرمجاور(ززض)

      مثلثات 3 ضلع مثلث ض ض ض

      مثلثات دوضلع وزاویه بین(ض ز ض)

      نسبت مثلثاتی

      مثلثات قانون سینوسها

      مثلثات 2زاویه وضلع

      مثلثات دوزاویه وضلع بین (ز ض ز)

      مثلثات مقدمه

      قانون کسینوس زاویه


      محاسبه مثلث ض زض

      "ض ز ض" یعنی2 ضلع مثلث  و یک زاویه بین را داریم  "ضلع, زاویه,ضلع".


      SAS Triangle

      "ض زض" منظور داشتن دوضلع وزاویه بین .

       برای حل مثلث با داشتن"ض زض" منظور داشتن دوضلع وزاویه بین در یک مثلث از  قانونهای ریاضی زیر استفاده می کنیم:

       1-قانون کسینوس زاویه کلیک کن


         C2=a2+b2-2ab cos(C

      •  قانون کسینوس برای پیداکردن  3 ضلع مثلث ،  وقتی دوضلع ویک زاویه بین دوضلع را داریم
      • برای پیدا کردن زاویه های یک مثلث وقتی هر 3 ضلع را دارید.
      • 2-قانون سینوس ها کلیک کن

      •      sinC
         c
         = 
             sin
         b
         = 
           sin A
          a


      • برای پیدا کردن زاویه های مجهول از قانون سینوس استفاده می کنیم.,
      • 3- قانون مجموع زاویه های داخلی هر مثلث=180 درجه

      مثال 1

      در این مثلث دو ضلع ویک زاویه بین را  داریم :

      • زاویه بین دو ضلع    A = 49°
      • b = 5ضلع
      • ضلع c = 7

       برای حل این مثلث لازم است ضلع a و زاویه های   B   و Cرا پیدا کنیم.

      به این لینک قانون کسینوس مراجعه کن

      از قانون کسینوس  ضلع a را حساب می کنیم .

      a2 = b2 + c2 − 2bc cosA

      a2 = 52 + 72 − 2 × 5 × 7 × cos(49°)
      a2 = 25 + 49 − 70 × cos(49°)
      a2 = 74 − 70 × 0.6560...
      a2 = 74 − 45.924... = 28.075...
      a = √28.075...
      a = 5.298...
      a = 5.30    ضلع تا دو رقم اعشار

        زاویه کوچکتر را به دست می آوریم:حالا از قانون سینوس برای محاسبه زاویه ها.

      چرا زاویه کوچکتر را اول حساب کنیم? زیرا معکوس تابع سینوس جواب کمتر از 90 درجه میدهد. حتی اگر زاویه بیشتراز 90 درجه باشد.

       با انتخاب زاویه کوچکتر ( در یک مثلث هیچوقت دو زاویه قائمه نداریم) مشکل را حل می کنیم.

      نکته:زاویه کوچکتر همیشه روبروی ضلع کوچکتر است.

      انتخاب زاویه B: قانون سینوس

           sinA 
       a
       = 
         sin B
        b

           sin490 
       5.298
       = 
         sin B
        5

      sin B÷ b = sin A÷ a

      sin B÷ 5 = sin(49°)÷5.298...

      ما ضلع مجهول را قبلا محاسبه کردیم  5.298...که       a = 5.30. که ما با تقریب کمتراز 10 گرد کردیم.  

      sin B = (sin(49°) × 5) / 5.298...
      sin B = 0.7122...
      B = sin−1(0.7122...)
      B = 45.4°   زاویه  تا دورقم
       

      حالا دو زاویه را داریم برای محاسبه زاویه C  C, از قانون مجموع 3زاویه داخلی مثلث = 180°' استفاده :

      C = 180° − 49° − 45.4°
      C = 85.6° زاویه

       حالا ما 3 زاویه و3 ضلع را داریم .


       

      مثال 2 مثلث: ض ز  ض

      در این مثلث دو ضلع ویک زاویه بین را  داریم : می دانیم که حروف کوچک ضلع های روبروی زاویه با همان نام است.

      • زاویه بین دو ضلع Pو    Qداریم         R = 117°
      • p = 6.9ضلع
      • ضلع q = 2.6

      با کمک قانون کسینوس ضلع   r را حساب می کنیم.


      r2 = p2 + q2 − 2pq cos R

      r2 = 6.92 + 2.62 − 2 × 6.9 × 2.6 × cos(117°)
      r2 = 47.61 + 6.76 − 35.88 × cos(117°)
      r2 = 54.37 − 35.88 × (−0.4539...)
      r2 = 54.37 + 16.289... = 70.659...
      r = √70.659...
      r = 8.405... = 8.41  ضلع تا دو رقم اعشار

       

      خالا قانون سینوس.

      انتخاب زاویه کوچک تر.

       

           sin1170 
       8.41
       = 
         sin P
        6.9

      sin P ÷ p = sin R÷ r

      sin P ÷ 6.9 = sin(117°) ÷ 8.405...
      sin P = ( sin(117°) × 6.9 ) ÷ 8.405...
      sin P = 0.7313...
      P = sin−1(0.7313...)
      P = 47.0° زاویه

       دو زاویه را حالا داریم.

      زاویهQ را پیدا می کنیم   با کمک از قانون مجموع زاویه های داخلی هر مثلث =  180°':

      Q = 180° − 117° − 47.0°
      Q = 16.0°






      علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
      نظرات() 

      مثلثات دوزاویه وضلع بین(ز ض ز)

      تاریخ:شنبه 14 شهریور 1394-08:52 ق.ظ

      مثلثات 2زاویه وضلع غیرمجاور(ززض)

      مثلثات 3 ضلع مثلث ض ض ض

      مثلثات دوضلع وزاویه بین(ض ز ض)

      نسبت مثلثاتی

      مثلثات قانون سینوسها

      مثلثات 2زاویه وضلع

      مثلثات دوزاویه وضلع بین (ز ض ز)

      مثلثات مقدمه

      قانون کسینوس زاویه



      محاسبه مثلث با داشتن دو زاویه وضلع بین

      "زض ز"" یعنی 2 زاویه مثلث وضلع بین را داریم  "زاویه, ضلع, زاویه" "

      ASA Triangle

      "با توجه به شکل .

       

      برای حل از دو قانون کمک بگیرید.

      مثال 1

      دراین مثلث آنچه داریم:

      • زاویه A = 76°
      • زاویه B = 34°
      • ضلع c = 9

       محاسبه اندازه زاویه C با کم کردن مجموع دو زاویه دیگر از  180°':

      پس C = 180° − 76° − 34° = 70° 

      از قانون سینوس ها برای پیدا کردن اندازه ضلعa کمک بگیریم :علامت /  خط کسری یا تقسیم

       
       
           c
      sin C
       = 
           a 
      sin A
       =
       
       
           9
      sin 700
       = 
           a 
      sin 760
       =

      a/sinA = c/sin C

      a/sin76° = 9/sin70°

      a = (9 × sin76°)/sin70°
      a = 9.29 تا 2 دو رقم اعشار

      از قانون سینوس ها برای پیدا کردن اندازه ضلعb کمک بگیریم:در صورتی که داریم:پس

      C = 180° − 76° − 34° = 70°

           9
      sin 700
       = 
           b 
      sin 340
       =

      b/sinB = c/sin C

      b/sin34° = 9/sin70°

      b = (9 × sin34°)/sin70°
      b = 5.36 تا 2 رقم اعشار

      حالا ما به راحتی می توانیم با کمک زاویه ها وضلعها مثلث را محاسبه کنیم.

       

      مثال 2

      دراین مثلث YXZداریم.

      • زاویه Y = 87°
      • زاویه Z = 42°
      • ضلع x = 9

      محاسبه اندازه زاویه X با کم کردن مجموع دو زاویه دیگر از  180°'::

      X = 180° − 87° − 42° = 51°

      از قانون سینوس ها برای پیدا کردن اندازه ضلع y کمک بگیریم ::

           x
      sin X
       = 
           y
      sin Y
       =
           18.9
      sin 510
       = 
           y 
      sin 870
       =

      y/sinY = x/sin X

      y/sin(87°) = 18.9/sin(51°)

      y = (18.9 × sin(87°))/sin(51°)
      y = 24.29تا 2 رقم اعشار .

      از قانون سینوس ها برای پیدا کردن اندازه ضلع z کمک بگیریم ::

      z/sinZ = x/sin X

      z/sin(42°) = 18.9/sin(51°)

      a = (18.9 × sin(42°))/sin(51°)
      a = 16.27 تا 2 دو رقم اعشار.





      علم اموختن بر هر مرد و زن مسلمان واجب است
      نظرات() 


      • تعداد صفحات :2
      • 1  
      • 2